常微分方程初值問題的數(shù)值解法

常微分方程初值問題的數(shù)值解法第1頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一考慮一階常微分方程的初值問題/*Initial-ValueProblem*/:只要f(x,y)在[a,b]R1上連續(xù)，且關(guān)于y

滿足Lipschitz

條件，即存在與x,y無關(guān)的常數(shù)L

使對任意定義在[a,b]上的y1(x)和y2(x)都成立，則上述IVP存在唯一解。（1）第2頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一對于問題(1),要求它的數(shù)值解第3頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一-----------(1)從(1)的表達式可以看出,求它的數(shù)值解的關(guān)鍵在于而數(shù)值微分或數(shù)值積分問題我們都已經(jīng)學習過第4頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一要計算出解函數(shù)y(x)在一系列節(jié)點a=x0<x1<…<xn=b

處的近似值節(jié)點間距為步長，通常采用等距節(jié)點，即取hi=h

(常數(shù))。第5頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一§1歐拉方法

/*Euler’sMethod*/

歐拉公式：x0x1向前差商近似導(dǎo)數(shù)記為亦稱為歐拉折線法

/*Euler’spolygonalarcmethod*/

第6頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一定義

在假設(shè)yi=y(xi)，即第

i

步計算是精確的前提下，考慮的截斷誤差Ri=y(xi+1)

yi+1稱為局部截斷誤差/*localtruncationerror*/。定義若某算法的局部截斷誤差為O(hp+1)，則稱該算法有p

階精度。

歐拉法的局部截斷誤差：歐拉法具有1階精度。Ri

的主項/*leadingterm*/第7頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一例1.解:由前進Euler公式第8頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一得依此類推,有

01.00000.10001.10000.20001.19180.30001.27740.40001.35820.50001.43510.60001.50900.70001.58030.80001.64980.90001.71781.00001.7848第9頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一

歐拉公式的改進：隱式歐拉法/*implicitEulermethod*/向后差商近似導(dǎo)數(shù)x0x1))(,()(1101xyxfhyxy+)1,...,0(),(111-=+=+++niyxfhyyiiii第10頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一由于未知數(shù)yi+1

同時出現(xiàn)在等式的兩邊，不能直接得到，故稱為隱式/*implicit*/

歐拉公式，而前者稱為顯式/*explicit*/歐拉公式。一般先用顯式計算一個初值，再迭代求解。隱式歐拉法的局部截斷誤差：即隱式歐拉公式具有1階精度。

Hey!Isn’ttheleadingtermofthelocaltruncationerrorofEuler’smethod?Seemsthatwecanmakeagooduseofit…第11頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一梯形公式/*trapezoidformula*/—顯、隱式兩種算法的平均注：的確有局部截斷誤差，即梯形公式具有2

階精度，比歐拉方法有了進步。但注意到該公式是隱式公式，計算時不得不用到迭代法，其迭代收斂性與歐拉公式相似。第12頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一方法顯式歐拉隱式歐拉梯形公式簡單精度低穩(wěn)定性最好精度低,計算量大精度提高計算量大

Can’tyougivemeaformulawithalltheadvantagesyetwithoutanyofthedisadvantages?

Doyouthinkitpossible?

Well,callmegreedy…

OK,let’smakeitpossible.第13頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一改進歐拉法

/*modifiedEuler’smethod*/Step1:

先用顯式歐拉公式作預(yù)測，算出),(1iiiiyxfhyy+=+Step2:再將代入隱式梯形公式的右邊作校正，得到1+iy)],(),([2111+++++=iiiiiiyxfyxfhyy注：此法亦稱為預(yù)測-校正法