常微分方程的概念

常微分方程的概念第1頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第六章常微分方程本章學(xué)習(xí)要求：了解微分方程、解、通解、初始條件和特解的概念.了解下列幾種一階微分方程：變量可分離的方程、齊次方程和一階線性方程.熟練掌握分離變量法和一階線性方程的解法.第2頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期一微分方程淺談1676年詹姆士.貝努利致牛頓的信中第一次提出微分方程。直到18世紀(jì)中期，微分方程才成為一門(mén)獨(dú)立的學(xué)科。微分方程建立以后，立即成為表示自然科學(xué)中各種基本定律和各種問(wèn)題的基本工具之一。

例如，1846年9月23日，數(shù)學(xué)家與天文學(xué)家合作，通過(guò)微分方程求解，發(fā)現(xiàn)了一顆有名的新星——冥王星。第3頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期一微分方程淺談?dòng)?guó)數(shù)學(xué)家懷特曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)是一門(mén)理性思維的科學(xué)，它是研究、了解和知曉現(xiàn)實(shí)世界的工具。”微分方程就顯示著數(shù)學(xué)的這種威力和價(jià)值?，F(xiàn)代建立起來(lái)的自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中的數(shù)學(xué)模型大多都是微分方程。第4頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第一節(jié)微分方程的基本概念一、問(wèn)題的提出二、微分方程的定義三、主要問(wèn)題——求方程的解四、總結(jié)第5頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期一在許多物理、力學(xué)、生物等現(xiàn)象中，不能直接找到聯(lián)系所研究的那些量的規(guī)律，但卻容易建立起這些量與它們的導(dǎo)數(shù)或微分間的關(guān)系。

含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的關(guān)系式。一、問(wèn)題的提出第6頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期一設(shè)所求曲線的方程為yy(x),則一曲線通過(guò)點(diǎn)(1,2),且在該曲線上任一點(diǎn)M(x,y)處的切線的斜率為2x,求這曲線的方程.

解

上式兩端積分得因?yàn)榍€通過(guò)點(diǎn)(12)即當(dāng)x1時(shí)

y2所以212CC=1因此所求曲線方程為yx21

(C為任意常數(shù))ò=xdxy2

引例1第7頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期一列車在平直路上以的速度行駛,制動(dòng)時(shí)獲得加速度求制動(dòng)后列車的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.解:

設(shè)列車在制動(dòng)后

t秒行駛了s米,已知由前一式兩次積分,可得利用后兩式可得因此所求運(yùn)動(dòng)規(guī)律為說(shuō)明:利用這一規(guī)律可求出制動(dòng)后多少時(shí)間列車才能停住,以及制動(dòng)后行駛了多少路程.即求

s

=s(t).引例2第8頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1、含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程，稱為微分方程。未知函數(shù)可以不出現(xiàn)，但其導(dǎo)數(shù)一定要出現(xiàn)。未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程，稱為常微分方程。未知函數(shù)為多元函數(shù)的微分方程，稱為偏微分方程。二、微分方程的定義(本章內(nèi)容)第9頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例常微分方程偏微分方程第10頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2、常微分方程的階數(shù)微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的最高次數(shù)，稱為微分方程的階數(shù)。一階二階一階第11頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期一微分方程的一般表示形式一階微分方程n階微分方程第12頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期一引例2—使方程成為恒等式的函數(shù).通解—解中所含獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程的階數(shù)相同.特解引例1通解:特解:1、微分方程的解

—不含任意常數(shù)的解.三、主要問(wèn)題-----求方程的解第13頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期一初始條件:用來(lái)確定任意常數(shù)的條件.初值問(wèn)題:求微分方程滿足初始條件的解的問(wèn)題.常微分方程初始條件問(wèn)題分歧問(wèn)題第14頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期一初始條件:用來(lái)確定任意常數(shù)的條件.初值問(wèn)題:求微分方程滿足初始條件的解的問(wèn)題.一階:過(guò)定點(diǎn)的積分曲線;二階:常微分方程初始條件也稱為初值問(wèn)題問(wèn)題柯西第15頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例1解微分方程初始條件通解特解第16頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例1解微分方程初始條件通解特解有何想法？第17頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2、積分曲線（解的幾何意義）常微分方程解的幾何圖形稱為它的積分曲線。通解的圖形是一族積分曲線。特解是這族積分曲線中過(guò)某已知點(diǎn)的那條曲線。第18頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例2解第19頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期一所求特解為補(bǔ)充:微分方程的初等解法:初等積分法.求解微分方程求積分(通解可用初等函數(shù)或積分表示出來(lái))第20頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期一四、小結(jié)微分方程;微分方程的階;微分方程的解;通解;初始條件;特解;初值問(wèn)題;積分