初中數(shù)學(xué)競賽代數(shù)部分

初中數(shù)學(xué)競賽題選講〔代數(shù)局部〕數(shù)學(xué)組1內(nèi)容主要分為四局部：代數(shù)式的求值問題方程與方程組的求解問題及其應(yīng)用一元一次不等式〔組〕及二元一次不等式〔組〕的求解及應(yīng)用二次函數(shù)問題2關(guān)于整式的求值問題關(guān)于分式的求值二次根式代數(shù)式的求值的相關(guān)考點(diǎn)：3一、一元一次方程與多元一次方程組；二、一元二次方程；三、可化為一元二次方程的方程；四、列方程組解應(yīng)用題。方程與方程組相關(guān)考點(diǎn)：4不等式〔組〕的考點(diǎn)：5二次函數(shù)考點(diǎn)：1、二次函數(shù)的性質(zhì)2、二次函數(shù)的表達(dá)式3、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系4、根與系數(shù)的關(guān)系6有關(guān)知識(shí)拓展：整式：1、高次二項(xiàng)式的變形：2、的變形：73、的變形：4、公式：5、帶余除：假設(shè)關(guān)于x的多項(xiàng)式A與B相除，商式為f(x),余式為Q(x),那么A=f(x)B+Q(x)8分式：運(yùn)算法那么：二次根式：9代數(shù)式的求值與代數(shù)式的恒等變形關(guān)系十分密切．許多代數(shù)式是先化簡再求值，特別是有附加條件的代數(shù)式求值問題，往往需要利用乘法公式、絕對(duì)值與算術(shù)根的性質(zhì)、分式的根本性質(zhì)、通分、約分、根式的性質(zhì)等等，經(jīng)過恒等變形，把代數(shù)式中隱含的條件顯現(xiàn)出來，化簡，進(jìn)而求值．因此，求值中的方法技巧主要是代數(shù)式恒等變形的技能、技巧和方法．下面結(jié)合例題逐一介紹．10一、靈活運(yùn)用乘法公式和運(yùn)算法那么代數(shù)式的變形化簡，離不開乘法公式、各種運(yùn)算法那么及它們的變形用法。有些條件求值問題，條件與結(jié)論間存在明顯的結(jié)構(gòu)聯(lián)系。利用乘法公式或適合的運(yùn)算性質(zhì)就能解。11二、設(shè)參數(shù)法與換元法求值如果代數(shù)式字母較多，式子較繁，為了使求值簡便，有時(shí)可增設(shè)一些參數(shù)(也叫輔助未知數(shù))，以便溝通數(shù)量關(guān)系，這叫作設(shè)參數(shù)法．有時(shí)也可把代數(shù)式中某一局部式子，用另外的一個(gè)字母來替換，這叫換元法．

分析：假設(shè)從求的值入手，可考慮到應(yīng)把條件兩邊平方，在平方之后，雖然會(huì)出現(xiàn)一些交叉項(xiàng)，但能從另一個(gè)條件給予解決。采用換元法求解。1213三、將條件整體代入求值〔整體法〕例3，那么分析：共有1996項(xiàng)，將每四項(xiàng)分成一組，共499組，每組中都有因式，因此結(jié)果為0.〔第八屆“祖沖之〞杯競賽試題〕1415方法二：〔這道題也可以從條件入手〕16例4假設(shè)a、b都是正實(shí)數(shù)，且，那么〔1992年全國聯(lián)賽試題〕17例5分析：如果把所給的條件看成是方程組，那么它是四元五次方程組，要求解這樣的高次方程組是無能為力的。觀察待求值的多項(xiàng)式，它是關(guān)于x=y、xy、a+b的多項(xiàng)式，如果能通過條件的變形，求出x+y、xy、a+b，問題就解決了。或者構(gòu)造出關(guān)于x+y、xy、a+b,且易求解的方程組，問題也解決了。四、構(gòu)造方程的求解181920例6p、q是有理數(shù)，滿足，那么p+q的值是〔〕?！睞〕-1〔B〕1〔C〕-3〔D〕3〔1997年安徽省競賽試題〕五、考慮數(shù)的性質(zhì)假設(shè)所給條件限制于整數(shù)、有理數(shù)，或涉及到質(zhì)數(shù)，奇偶數(shù)，整除性等，把握住這方面的性質(zhì)，有利于尋到突破口。2122方程與方程組一、一元一次方程與多元一次方程組；二、一元二次方程；三、可化為一元二次方程的方程；四、列方程組解應(yīng)用題。23考點(diǎn)：2.利用含字母系數(shù)的一次方程求字母的值；3.含字母一元二次方程的整數(shù)根；4.一元二次方程的根的相關(guān)問題；5.解高次方程；6.含字母無理方程的根的相關(guān)問題；7.方程〔組〕的實(shí)際應(yīng)用；

24一、一元一次方程1.關(guān)于x的方程ax=b的解得情況：時(shí)，方程有唯一解；且時(shí)，方程有無窮多個(gè)解;且時(shí)，方程無解。2.關(guān)于x的方程的解得情況：時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，方程無解。3.對(duì)于多元方程可以用消元法、參數(shù)法等；

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思路：兩個(gè)方程消去x，可得：為了解y，需要去掉絕對(duì)值，所以需要明確絕對(duì)值里代數(shù)式的符號(hào)，即考慮y的范圍，從而在每個(gè)范圍中由式子解得y,從而解得x。262.關(guān)于x的方程，無論k為何值，總有根，求m,n的值。思路：方程總有根表示滿足方程，將-2代入方程并化簡，可得有關(guān)k的一次方程，又因“無論k為何值〞都成立，所以有關(guān)k的方程為0k=027解：將x=-2代入方程并化簡為：

因?yàn)閷?duì)任何k都成立所以：解得：

28二、一元二次方程1.利用判別式判斷一元二次方程有無實(shí)根；2.韋達(dá)定理；3.解一元二次方程的方法：求根公式〔通用〕;因式分解、開平方法、配方法〔據(jù)方程的自身特點(diǎn)〕；4.有理系數(shù)一元二次方程有整數(shù)根〔有理根〕那么有判別式為一個(gè)完全開平方數(shù)。291.是否存在正整數(shù)m，使關(guān)于x的方程有整數(shù)根，假設(shè)存在，請(qǐng)求出m的值。3031解2：322.方程，k為實(shí)數(shù)且，證明方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，其中一根大于1，另一根小于1。思路1：證方程有實(shí)根，即證：；證兩根為α、β，α>1，β<1，即α-1>0，β-1<0從而利用韋達(dá)定理證〔α-1〕〔β-1〕<0。思路2：直接將原方程轉(zhuǎn)為，證兩根之積小于0思路3：用圖像法。33解1〔1〕因所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根；〔2〕設(shè)方程的兩根為α、β，那么：即異號(hào)故：兩根中有一個(gè)大于1，另一個(gè)小于1.解2:將原方程轉(zhuǎn)化為由韋達(dá)定理得：新方程的兩根異號(hào)，即原方程的兩根一個(gè)大于1，另一個(gè)根小于1

343.a,b,c為整數(shù)，滿足c>0，a+b=3,假設(shè)關(guān)于x的方程的解只有一個(gè)，求d.思路：可以將a,b作為關(guān)于x的方程的兩根，根據(jù)判別式和c的范圍來求出c的值；再根據(jù)原方程的判別式為零求出d.35解：易知a,b是的兩根，又，那么：由c為正整數(shù)，那么：c=1,2當(dāng)c=1時(shí)，a,b無整數(shù)解；當(dāng)c=2時(shí)，a=1,b=2或a=2,b=1從而原方程可化為當(dāng)d=0時(shí)，x=-1;當(dāng)d≠0時(shí)，方程有等根，那么：

綜上所述：36三、可化為一元二次方程的方程1.分式方程整式方程；無理方程有理方程；高次方程一元一〔二〕次方程2.余數(shù)定理：x的多項(xiàng)式f(x),假設(shè)對(duì)于常數(shù)a,有f(a)=0，那么f(x)有因式〔x-a〕；3.解分式、有理、無理方程時(shí)，可能會(huì)產(chǎn)生增根，因此必須檢驗(yàn)。37

解1〔因式分解〕：原式可化為：解2〔余數(shù)定理〕：

因f(-1)=0，所以f(x)有因式〔x+1〕原方程可化為1.解方程：382.是否存在正數(shù)a，使方程有四個(gè)實(shí)根，假設(shè)存在，求出a；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由。

思路：觀察方程，方程中有根號(hào)，可用換元法將原方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程；為使原方程有四個(gè)實(shí)根，那么二次方程必須有兩個(gè)不相等的非負(fù)實(shí)根。39解：令原方程轉(zhuǎn)化為因原方程有四個(gè)實(shí)根，所以方程〔*〕必須有2個(gè)不等的實(shí)根。即：

因a為正數(shù)，所以a=5,6,7當(dāng)a=5時(shí)，解得：y=0，y=3，當(dāng)y=0時(shí)，方程無實(shí)根；

當(dāng)a=6時(shí)，解得：40

無實(shí)根

當(dāng)a=7時(shí)，綜上所述：不存在整數(shù)a使得原方程有四個(gè)實(shí)根。413.關(guān)于x的方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求m的值。思路：將原方程化簡為關(guān)于x的一元二次方程，因原方程只有一實(shí)根，要分類討論判別式：△=0與△>0；對(duì)于△>0：一元二次方程有兩個(gè)根，但是當(dāng)其中一個(gè)為增根時(shí)，原方程還是只有一個(gè)實(shí)根。42四、列方程〔組〕解應(yīng)用題列方程〔組〕解應(yīng)用題一般步驟：1.審題；2.設(shè)元；3.列方程〔組〕；4.解方程〔組〕；5.檢驗(yàn)。431.A，B兩地相距120千米，人的步行速度是每小時(shí)5千米，摩托車的行駛速度是每小時(shí)50千米，摩托車后座可載一人。問：有三人并配備一輛摩托車從A地到B地最少需要多少小時(shí)?(保存一位小數(shù))解：設(shè)甲騎摩托車帶乙從A到D行駛x千米，放下乙后騎摩托車折回，而此時(shí)丙已從A地步行至E后與甲在F處相遇，甲騎摩托車帶丙徑直駛向B，恰好與乙同時(shí)到達(dá)。44依題意得：

所用的總時(shí)間為：〔2〕

當(dāng)甲騎摩托車回去載丙時(shí)至兩人相遇，有：

當(dāng)甲騎摩托車去載丙直至甲丙在B地追上乙，有：〔1〕解方程〔1〕中x，再將x代入〔2〕，即可得出總的時(shí)間7.5小時(shí)。

45一元一次不等式〔組〕性質(zhì)步驟解得情況（1）不等式的兩邊都加上（或都減去）同一個(gè)數(shù)，不等號(hào)的方向不變。與解一元一次方程的步驟相同，知識(shí)在用到性質(zhì)（3）時(shí)，要改變不等號(hào)的方向如果x>ax>b且a>b，那么x>a如果x<ax<b且b<a，那么x>b（2）不等式的兩邊都乘以（或都除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變。如果x>ax<b且a<b，那么a<x<b（3）不等式的兩邊都乘以（或都除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向要改變。如果x>ax<b且a<b，那么解集是空集46二元一次不等式〔組〕47常用解法48提示：由9x－a≥0得到x≥后，注意題目中的“僅為”兩字含義，確定出a的值；同樣確定出b值即可．所以答案選C?。?！例1：如果不等式組的整數(shù)解僅為1、2、3，那么，適合這個(gè)不等式組的整數(shù)a、b的有序數(shù)對(duì)（a、b）共有（）（A）17個(gè) （B）64個(gè) （C）72個(gè)（D）81個(gè)根本解法49例2．已知b,c為正整數(shù)，方程的兩根都大于－1且小于0，求b和c的值。-10數(shù)形結(jié)合法50

解：根據(jù)函數(shù)的圖象和題設(shè)條件知：當(dāng)x=0時(shí)，>0，∴c>0…①；當(dāng)x=-1時(shí)，>0，∴b<5+c…②。拋物線頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足-1<<0，∴0<b<10…③。∵