多體問題和近似方法

多體問題和近似方法第1頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一$4-1二體問題和多體問題一、二體問題1、什么是二體問題：研究的體系含二個粒子。2、兩粒子體系的定態(tài)薛定諤方程為（1）第2頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一3、質(zhì)心坐標(biāo)和相對坐標(biāo)。設(shè)：第一個粒子的質(zhì)量為m1，坐標(biāo)為第二個粒子的質(zhì)量為m2，坐標(biāo)為(坐標(biāo)系略)第3頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一根據(jù)質(zhì)心坐標(biāo)定義：分量表示為（2）質(zhì)心坐標(biāo)為：第4頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一所以分量（3）引入相對坐標(biāo)

定義：第5頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一其中轉(zhuǎn)換坐標(biāo)和到和（從（2）和（3）出發(fā)）第6頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一同理且對稱。同理有第7頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一

（4）（5）第8頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一（4）和（5）式代入（1）有（6）（7）方程（7）可以用變量分離求解第9頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一

(8)(8)代入（7）并乘以（9）從（9）式即得：（10）平動第10頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一（11）相對運動二多體問題1、什么是多體？兩個以上質(zhì)點的體系。數(shù)學(xué)上無準(zhǔn)確解。2、多體體系的波函數(shù)。第11頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一3、的意義：在時刻t，第一個粒子在q1，第一個粒子在q2，…，第n個粒子在qn的幾率。4、多體體系的薛定諤方程5、由于數(shù)學(xué)上無法對多體體系的薛定諤方程進(jìn)行求，必須引出用近似方法進(jìn)行解決問題。（在下一節(jié)將作詳細(xì)介紹）第12頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一$4-2全同性原理一全同粒子和全同粒子體系1、全同粒子：質(zhì)量、電荷、自旋等一切固有性質(zhì)都相同的粒子。2、全同粒子體系：多個全同粒子構(gòu)成的體系。二全同粒子體系哈密頓算符的特點1、交換算符（）第13頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一2、全同粒子體系的哈密頓算符在的作用下不變

3、和之間的數(shù)學(xué)關(guān)系（對易）(全同粒子體系的哈密頓算符對于任何一對粒子的坐標(biāo)互換是不變的)第14頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一三全同粒子體系波函數(shù)的特點1、和都是體系的可能狀態(tài)用作用二邊結(jié)論得證。（為什么？）第15頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一2、全同性原理：全同粒子體系粒子的任意兩粒子的互換對換不改變體系的狀態(tài)。即：和表示同一態(tài)。四、對稱波函數(shù)和反對稱波函數(shù)因為（1）那么：取值如何？用作用（1）式兩邊（2）第16頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一

對稱波函數(shù)

反對稱波函數(shù)五Pauli原理微觀粒子：玻色子自旋量子數(shù)為整數(shù)對稱波函數(shù)費米子自旋量子數(shù)為半整數(shù)反對稱波函數(shù)第17頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一六、Slater行列式在單電子模型下，N個電子的波函數(shù)用一個行列式表示。第18頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一七、有關(guān)slater行列式的計算。（一）H2的矩陣元計算。1、Hamiltonian第19頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一2、計算能量?？煞謩e計算：上式可見，四項中，后兩項為零。（正交性）第20頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一同理，第21頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一因為第22頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一以自旋軌道：以空間軌道：計算的一般推導(dǎo)庫侖積分交換積分第23頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一$4-3定態(tài)微擾理論微擾理論的基本思想1、基本思想（1）真實體系

（1）（2）微擾思想（2）分為二部分且例第24頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一（3）可以求解（已知）（4）從出發(fā)結(jié)合（微擾項）近似的得到和2、基本數(shù)學(xué)關(guān)系式。（零級）（7-1）（一級）（7-2）（二級）（7-3）第25頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一二非簡并情況下的微擾理論。（即E’為非簡并的）1）零級微擾2）一級微擾第26頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一3)二級微擾能量計算例子見WORD文檔4第27頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一三、簡并情況下的微擾理論第28頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一計算例子見WORD文檔4第29頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一$4-5變分法變分原理給定一個體系的哈密頓算符，如果是任意一個合格條件的函數(shù)，則有（E0為基態(tài)能量，未歸一化）

或（歸一化）

第30頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一二變分原理的證明設(shè)體系的解為正交