2.2.3-向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義(教案)

高2015級(jí)教案必修4第二章平面向量撰稿人：王海紅第4頁(yè)共6頁(yè)2.2.3【教學(xué)目標(biāo)】1、知識(shí)與技能掌握實(shí)數(shù)與向量的積的定義，理解實(shí)數(shù)與向量的積的幾何意義；掌握實(shí)數(shù)與向量的積得運(yùn)算律；理解兩個(gè)向量共線的充要條件，能夠運(yùn)用兩向量共線條件判定兩向量是否平行。2、過(guò)程與方法通過(guò)本節(jié)的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合和分類討論思想，同時(shí)滲透類比和化歸思想方法。3、情感、態(tài)度與價(jià)值觀通過(guò)對(duì)向量共線的充要條件的分析理解，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)習(xí)慣?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】實(shí)數(shù)與向量積的定義、運(yùn)算律，向量共線的充要條件。【教學(xué)難點(diǎn)】向量共線定理的理解?！窘虒W(xué)方法】講練結(jié)合法?！窘虒W(xué)過(guò)程】〖創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入新課〗【導(dǎo)語(yǔ)】在物理學(xué)科中我們學(xué)習(xí)過(guò)如下的公式：等，這些公式都是實(shí)數(shù)與向量的乘積的具體體現(xiàn)，并且從這些公式可以看出，實(shí)數(shù)可以與向量相乘，并且一個(gè)實(shí)數(shù)乘以一個(gè)向量的結(jié)果還是一個(gè)向量。因此，在數(shù)學(xué)中我們就從這些公式出發(fā)，抽象出一般的實(shí)數(shù)與向量的乘積的定義以及它們的一些運(yùn)算律和性質(zhì)。在小學(xué)我們由幾個(gè)相同的有理數(shù)相加導(dǎo)出了數(shù)的乘法的運(yùn)算法則，現(xiàn)在我們已經(jīng)學(xué)過(guò)了向量的加法運(yùn)算，那么由幾個(gè)相同的向量相加，我們又能否得出類似的實(shí)數(shù)與向量的乘法運(yùn)算呢？已知向量，求向量和，并思考和向量與向量的關(guān)系?！究偨Y(jié)】（1）由于向量是由三個(gè)向量相加得到的，因此為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們將記作：，因此是一個(gè)向量，又因?yàn)榈姆较蚺c向量的方向相同，模長(zhǎng)為向量的模長(zhǎng)的倍，所以的方向與向量的方向相同，模長(zhǎng)為向量的模長(zhǎng)的倍。即：向量與向量同向且。（2）類似地，由于是由三個(gè)向量相加得到的，因此為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們將記作：，因此，也是一個(gè)向量，又因?yàn)榈姆较蚺c向量的方向相反，模長(zhǎng)為向量的模長(zhǎng)的倍，所以的方向與向量的方向相反，模長(zhǎng)為向量的模長(zhǎng)的倍。即：向量與向量反向且。由上面的作圖可知：向量與向量互為相反向量，因此，又由于可記作：，所以又可記作，從而：，這樣，。所以，的方向與向量的方向相反，模長(zhǎng)為向量的模長(zhǎng)的倍。即：向量與向量反向且?！緦?dǎo)語(yǔ)】從另一個(gè)角度也可以這樣理解上述結(jié)論：既然是一個(gè)記號(hào)，因此，也可以看成是實(shí)數(shù)與向量相乘得到；同理，也可以看成是實(shí)數(shù)與向量相乘得到。同時(shí)，上面這兩種記法實(shí)際上是由多個(gè)相同的向量相加而且為了簡(jiǎn)化結(jié)果而引入。但是為了得到更一般的結(jié)論，我們規(guī)定任意實(shí)數(shù)與任意向量之間也可以相乘，但此時(shí)不代表多個(gè)相同的向量相加，而是一種實(shí)數(shù)與向量的乘法運(yùn)算了。下面我們就來(lái)學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)與向量的積的相關(guān)知識(shí)?！己献鹘涣鹘庾x探究〗1、實(shí)數(shù)與向量的積（也叫數(shù)乘向量）的定義：一般地，設(shè)是任意一個(gè)實(shí)數(shù)，是任意一個(gè)向量，則實(shí)數(shù)與向量的乘積仍然是一個(gè)向量，記作，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：（1）；（2）當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相同；當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相反；當(dāng)時(shí)，?！菊f(shuō)明】（1）實(shí)數(shù)與向量可以作乘積運(yùn)算，其結(jié)果是一個(gè)向量；但不能作加減運(yùn)算，即：是無(wú)意義的；（2）；（3）；（4）的幾何意義：當(dāng)時(shí)，我們可以認(rèn)為是將向量同向伸長(zhǎng)（）或縮短（）到原來(lái)的倍得到的；當(dāng)時(shí)，我們可以認(rèn)為是將向量反向伸長(zhǎng)（）或縮短（）到原來(lái)的倍得到的；綜上：我們可以認(rèn)為是將向量同向（）或反向（）伸長(zhǎng)（）或縮短（）到原來(lái)的倍得到的。（5）向量的線性運(yùn)算：向量的加法、減法和實(shí)數(shù)與向量的乘積的綜合運(yùn)算，通常叫做向量的線性運(yùn)算（或線性組合，也叫初等運(yùn)算）。對(duì)于任意向量以及任意實(shí)數(shù)，恒有：。這里只有定義向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算，沒(méi)有定義向量與向量的除法運(yùn)算，如式子是沒(méi)有定義的，在解題過(guò)程中不能隨便創(chuàng)造符號(hào)與運(yùn)算?！纠?】點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且，設(shè)向量，試用向量表示向量和?！咀兪?】1、課本練習(xí)1、2【總結(jié)】已知直線上三點(diǎn)，用向量表示向量時(shí)，實(shí)系數(shù)的求法：（1）根據(jù)向量與向量的方向決定的正負(fù)：同向?yàn)檎聪驗(yàn)樨?fù)；（2）求：；（3）由（1）（2）求出的值。2、如圖所示，是的邊上的中點(diǎn)，則向量?！纠?】課本例6【例6】已知非零向量不共線。（1）若，求證：三點(diǎn)共線。（2）欲使和共線，試確定實(shí)數(shù)的值?！咀兪?】已知非零向量和不共線，若求證：三點(diǎn)共線?！纠?】如圖所示，已知在中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且。求證：三點(diǎn)共線。【變式5】如圖，在中，在上取點(diǎn)，使得在上取點(diǎn)，使得,在的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)，使得，在的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)，使得時(shí)有成立，試確定的值?！纠?】在四邊形中，，求證：四邊形為梯形?！纠?】課本例7【變式6】課本練習(xí)6〖應(yīng)用遷移鞏固提高〗（本節(jié)無(wú)其它提升例題和練習(xí)題）〖當(dāng)堂檢