2023屆江蘇省淮安市淮陰中學(xué)、姜堰中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若滿足約束條件則的最大值為（）A．5 B． C．4 D．32．（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)，且，則（）A． B． C． D．4．將曲線y=sin2x按照伸縮變換后得到的曲線方程為（）A． B． C． D．5．執(zhí)行如右圖所示的程序框圖，則輸出的的值是（）A．7 B．6 C．5 D．36．球面上有三個(gè)點(diǎn)，其中任意兩點(diǎn)的球面距離都等于大圓周長(zhǎng)的，經(jīng)過這3個(gè)點(diǎn)的小圓周長(zhǎng)為，那么這個(gè)球的半徑為（）A． B． C． D．7．設(shè)隨機(jī)變量，且，，則（）A． B．C． D．8．設(shè)，復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)一定不在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．設(shè)，，都為正數(shù)，那么，用反證法證明“三個(gè)數(shù)，，至少有一個(gè)不小于2”時(shí)，做出與命題結(jié)論相矛盾的假設(shè)是（）A．這三個(gè)數(shù)都不大于2 B．這三個(gè)數(shù)都不小于2C．這三個(gè)數(shù)至少有一個(gè)不大于2 D．這三個(gè)數(shù)都小于210．已知ξ服從正態(tài)分布，a∈R，則“P（ξ＞a）=0.5”是“關(guān)于x的二項(xiàng)式的展開式的常數(shù)項(xiàng)為3”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．既不充分又不必要條件 D．充要條件11．為第三象限角，，則（）A． B． C． D．12．如圖，在正方形內(nèi)任取一點(diǎn)，則點(diǎn)恰好取自陰影部分內(nèi)的概率為（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．四面體ABCD中，AB＝CD＝2，AC＝AD＝BC＝BD＝4，則異面直線AB與CD的夾角為_____．14．在極坐標(biāo)系中,過點(diǎn)作圓的切線,則切線的極坐標(biāo)方程是__________.15．若的展開式中的系數(shù)為，則實(shí)數(shù)的值為__________.16．若復(fù)數(shù)，則__________．（是的共軛復(fù)數(shù)）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）甲乙兩隊(duì)參加奧運(yùn)知識(shí)競(jìng)賽，每隊(duì)3人，每人回答一個(gè)問題，答對(duì)者為本隊(duì)贏得一分，答錯(cuò)得零分．假設(shè)甲隊(duì)中每人答對(duì)的概率均為，乙隊(duì)中3人答對(duì)的概率分別為且各人正確與否相互之間沒有影響.用ε表示甲隊(duì)的總得分.（Ⅰ）求隨機(jī)變量分布列；(Ⅱ)用A表示“甲、乙兩個(gè)隊(duì)總得分之和等于3”這一事件，用B表示“甲隊(duì)總得分大于乙隊(duì)總得分”這一事件，求P(AB).18．（12分）如圖，在三棱柱中，側(cè)面底面，，．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若，，且與平面所成的角為，求二面角的平面角的余弦值．19．（12分）新高考方案的考試科目簡(jiǎn)稱“”，“3”是指統(tǒng)考科目語數(shù)外，“1”指在首選科目“物理、歷史”中任選1門，“2”指在再選科目“化學(xué)、生物、政治和地理”中任選2門組成每位同學(xué)的6門高考科目.假設(shè)學(xué)生在選科中，選修每門首選科目的機(jī)會(huì)均等，選擇每門再選科目的機(jī)會(huì)相等.（Ⅰ）求某同學(xué)選修“物理、化學(xué)和生物”的概率；（Ⅱ）若選科完畢后的某次“會(huì)考”中，甲同學(xué)通過首選科目的概率是，通過每門再選科目的概率都是，且各門課程通過與否相互獨(dú)立.用表示該同學(xué)所選的3門課程在這次“會(huì)考”中通過的門數(shù)，求隨機(jī)變量的概率分布和數(shù)學(xué)期望.20．（12分）已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：的左焦點(diǎn).右焦點(diǎn)，橢圓上的點(diǎn)與F1的最大距離等于4，離心率等于，過左焦點(diǎn)F的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，圓E內(nèi)切于三角形F2MN；（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）求圓E半徑的最大值21．（12分）已知數(shù)列滿足，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.22．（10分）閱讀：已知a、b∈(0,+∞)，a+b=1，求y=1解法如下：y=1當(dāng)且僅當(dāng)ba=2a則y=1a+應(yīng)用上述解法，求解下列問題：（1）已知a,b,c∈(0,+∞)，a+b+c=1，求y=1（2）已知x∈(0,12)（3）已知正數(shù)a1、a2、a3求證：S=a

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案．【詳解】由約束條件作出可行域如圖，

聯(lián)立，可得，

化目標(biāo)函數(shù)為，

由圖可知，當(dāng)直線過A時(shí)，直線在y軸上的截距最大，z有最大值為．

故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．2、A【解析】

通過求出，然后得到復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】由得所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限．【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的基本概念，兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法，復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．3、C【解析】

由已知可得，再由，即可求出結(jié)論.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線為，點(diǎn)在拋物線上，所以，.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，應(yīng)用焦半徑公式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

根據(jù)反解,代入即可求得結(jié)果.【詳解】由伸縮變換可得:代入曲線,可得:,即.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查曲線的伸縮變換,屬基礎(chǔ)題,難度容易.5、B【解析】,,判斷否,,,判斷否,,判斷是,輸出,故選.6、B【解析】

解:7、A【解析】

根據(jù)隨機(jī)變量符合二項(xiàng)分布，根據(jù)二項(xiàng)分布的期望和方差公式得到關(guān)于，的方程組，注意兩個(gè)方程之間的關(guān)系，把一個(gè)代入另一個(gè)，以整體思想來解決，求出的值，再求出的值，得到結(jié)果．【詳解】解：隨機(jī)變量，，，，①②把①代入②得，，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量的期望和方差，考查二項(xiàng)分布的期望和方差公式，屬于基礎(chǔ)題．8、C【解析】

在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)考查點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的正負(fù),分情況討論即可.【詳解】由題得,在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為.當(dāng),即時(shí),二次函數(shù)取值范圍有正有負(fù),故在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)可以在一二象限.當(dāng),即時(shí),二次函數(shù),故在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)可以在第四象限.故在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)一定不在第三象限.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)平面的基本定義與根據(jù)參數(shù)范圍求解函數(shù)范圍的問題,屬于基礎(chǔ)題型.9、D【解析】分析：利用反證法和命題的否定分析解答.詳解：“三個(gè)數(shù)，，至少有一個(gè)不小于2”的否定是“這三個(gè)數(shù)都小于2”，所以做出與命題結(jié)論相矛盾的假設(shè)是這三個(gè)數(shù)都小于2.故答案為：D.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查反證法，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平.(2)三個(gè)數(shù)a,b,c至少有一個(gè)不小于m的否定是三個(gè)數(shù)都小于m.10、A【解析】試題分析：由，知．因?yàn)槎?xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為＝，令，得，所以其常數(shù)項(xiàng)為，解得，所以“”是“關(guān)于的二項(xiàng)式的展開式的常數(shù)項(xiàng)為3”的充分不必要條件，故選A．考點(diǎn)：1、正態(tài)分布；2、二項(xiàng)式定理；3、充分條件與必要條件．11、B【解析】分析：先由兩角和的正切公式求出，再利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式進(jìn)行求解．詳解：由，得，由同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，得，解得又因?yàn)闉榈谌笙藿?，所以，則．點(diǎn)睛：1.利用兩角和差公式、二倍角公式進(jìn)行三角恒等變形時(shí)，要優(yōu)先考慮用已知角表示所求角，如：、；2.利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式中的“”求解時(shí)，要注意利用角的范圍或所在象限進(jìn)行確定符號(hào)．12、B【解析】

由定積分的運(yùn)算得：S陰（1）dx＝（x），由幾何概型中的面積型得：P（A），得解．【詳解】由圖可知曲線與正方形在第一象限的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），由定積分的定義可得：S陰（1）dx＝（x），設(shè)“點(diǎn)M恰好取自陰影部分內(nèi)”為事件A，由幾何概型中的面積型可得：P（A），故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了定積分的運(yùn)算及幾何概型中的面積型，考查基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，屬基礎(chǔ)題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，，再根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可得平面，然后根據(jù)直線與平面垂直的性質(zhì)可得，從而可得答案.【詳解】如圖所示：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以，又，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以異面直線與所成的角為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，考查了直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.14、.【解析】試題分析：點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，將圓的方程化為直角坐標(biāo)方程為，化為標(biāo)準(zhǔn)式得，圓心坐標(biāo)為，半徑長(zhǎng)為，而點(diǎn)在圓上，圓心與點(diǎn)之間連線平行于軸，故所求的切線方程為，其極坐標(biāo)方程為.考點(diǎn)：1.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)化；2.圓的切線方程15、.【解析】

利用二項(xiàng)展開式通項(xiàng)，令的指數(shù)為，解出參數(shù)的值，再將參數(shù)的值代入展開式，利用系數(shù)為，求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為，令，解得，由題意得，解得，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用二項(xiàng)式指定項(xiàng)的系數(shù)求參數(shù)的值，解題的關(guān)鍵就是充分利用二項(xiàng)式定理求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.16、2【解析】分析：利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)求得z，進(jìn)而得到最后求出復(fù)數(shù)的模即可．詳解：由，可得∴，∴故答案為：2點(diǎn)睛：復(fù)數(shù)的運(yùn)算，難點(diǎn)是乘除法法則，設(shè)，則，.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）的分布列為ε

0

1

2

3

P

(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)由題意知，的可能取值為0，1，2，3,且所以的分布列為ε0123P（Ⅱ）用C表示“甲得2分乙得1分”這一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”這一事件，所以AB=C∪D,且C、D互斥，又由互斥事件的概率公式得18、（1）見解析；（2）余弦值為.【解析】分析：（1）由四邊形為菱形，得對(duì)角線,由側(cè)面底面，,得到側(cè)面，從而，由此能證明平面；（2）由題意易知為等邊三角形，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸,為軸，過平行的直線為，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面的法向量和平面的法向量，由此能求出二面角的平面角的余弦值．詳解：（Ⅰ）由已知側(cè)面底面，,底面,得到側(cè)面，又因?yàn)閭?cè)面,所以,又由已知，側(cè)面為菱形，所以對(duì)角線,即，，,所以平面.（Ⅱ）設(shè)線段的中點(diǎn)為點(diǎn)，連接,，因?yàn)?，易知為等邊三角形，中線,由（Ⅰ）側(cè)面，所以,得到平面，即為與平面所成的角，,,,,得到;以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸,為軸，過平行的直線為，建立空間直角坐標(biāo)系，,,,,,,，由（Ⅰ）知平面的法向量為，設(shè)平面的法向量，,解得,,二面角為鈍二面角，故余弦值為.點(diǎn)睛：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，涉及到線線、線面、面面平行與垂直的性質(zhì)、向量法等知識(shí)點(diǎn)的合理運(yùn)用，是中檔題.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.【解析】

（Ⅰ）顯然各類別中，一共有種組合，而選修物理、化學(xué)和生物只有一種可能，于是通過古典概率公式即可得到答案；（Ⅱ）找出的所有可能取值有0，1，2，3，依次求得概率，從而得到分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】解：（Ⅰ）記“某同學(xué)選修物理、化學(xué)和生物”為事件，因?yàn)楦黝悇e中，學(xué)生選修每門課程的機(jī)會(huì)均等則，答：該同學(xué)選修物理、化學(xué)和生物的概率為.（Ⅱ）隨機(jī)變量的所有可能取值有0，1，2，3.因?yàn)?，，，，所以的分布列?123所以數(shù)學(xué)期望.【點(diǎn)睛】本題主要考查分布列和數(shù)學(xué)期望的相關(guān)計(jì)算，意在考查學(xué)生處理實(shí)際問題的能力，對(duì)學(xué)生的分析能力和計(jì)算能力要求較高.20、（1）；（2）【解析】

（1）根據(jù)橢圓上點(diǎn)與的最大距離和離心率列方程組，解方程組求得的值，進(jìn)而求得橢圓方程.（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，寫出韋達(dá)定理，利用與三角形內(nèi)切圓有關(guān)的三角形面積公式列式，求得內(nèi)切圓半徑的表達(dá)式，利用換元法結(jié)合基本不等式求得圓半徑的最大值.【詳解】由條件知，所以.故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由條件不為，設(shè)交橢圓于，設(shè)圓的半徑為，由可得，即令，（），則當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線和橢圓位置關(guān)系，考查三角形內(nèi)切圓半徑有關(guān)計(jì)算，考查換元法和基本不等式求最值，屬于中檔題.21、(1)；(2).【解析】試題分析：（1）由等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式可得an；運(yùn)用數(shù)列的遞推式：當(dāng)n=1時(shí)，b1=S1，當(dāng)n≥2時(shí)，bn=Sn-Sn-1，即可得到{bn}的通項(xiàng)公式；

（2）由（1）知cn=，運(yùn)用數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可得到所求和．試題解析：（1）因?yàn)椋?，所以為首?xiàng)是1，公差為2的等差數(shù)列，所以又當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，…①…②由①-②得，即，所以是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，故.（2）由（1）知，則①②①-②得所以點(diǎn)睛：用錯(cuò)位相減法求和應(yīng)注意的問題(1)要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式；(3)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求