第九章習題課二重積分的定義與性質

例 判別(x2y2)ln(x2y2)d的符號，其中 章為|x||y|章 由于當(x,y)D時積及 x2y2(|x||y|)2及其用

(x2y2)ln(x2y2)(x2y2)ln(x2y2)dD-1100100sinxsin D其中D:|x||y|

xy

xy 當(x,y)D時 章 分 分及其

100sin2xsin2

xy2

xy2

100100sin2xsin2 -2 計算

ex2y2cos(xr0r

x2y2r第 由積分中值定理知：存在(,)滿足22r2第*章使得積其

ex2y2cos(xx2y2re22cos()r應r用

lime22cos()-31例4設fx)在[0,1111

f(x

f(y

dy1 1

f(x

f(y

f(y

f(x 章

101

dy

101

101 D:0x

1ef(x

f(y

ef(x)f(y設 0y 設分

D1其及1其f(y

f(x

ef(y)f(x 0

1D11用1

f(x

f(y21[ef(x)f(y)ef(y)f(x)]dxdy2D-4y

y( f(x,y)dxdy

y(重adx(x)f(x,重積

d分d dy

f(x,

x( x(c -5 D

y2x2dxdy,其中D

yy2xy1第

(1

y 積 積

2dxdy

xy 1x1

x 2 21應 1應

x2

(1,1) 2(1

y)dy4-6例 D

y2x2dxdy,其中D

yy2xy1 *

(1 y y

xy

yyy

x2dxdy

x2dxdy

x2

其 1 x2其

1dx x2

1(

1)dx

2(

32 3 32

-7例6計算二重積分|sinxsiny| DyD2D:0x,0y 2 解章 |sinxsiny|解章D

積重(sinxsiny)dxdy(sinysin 積 及 應2dx(sinxsin

2

2(xsinxcosx1)dx0

2(xsinxcosx0

sin24

-8例 化二重積分f(x,y)dxdy為直角坐標下二D 1）D是由y*章

xy111x2 f(x,

y 1y2分 1分 其

1f(x,1

xyy1 0

1y2f(x,1-92）Dy2x2y1 f(x, x 2

112

2

f(x,1x1x2

1

f(x,分 分其 f(x,其2y2y

x 2y

xx 1 dy10

2y

f(x,212

222

f(x,-10 ln

f(x, 1e解* e解*

ln0

f(x,

D f(x,

及 0dye及

f(x,-1111

f(x,y)dy

1(3x2

f(x,x3 x3 原章 章

f(x,y)dxdy

f(x,yy yy Do1 分 1其1y用 dyy用0

32

f(x,-120

f(x,2axx2 原式f(x,D* f(x,*

xyy2xa

x

f(x,

y 2axx x2D x2D

xa

2其 f(x,其D

xa a aa2a2a

a

f(x,y)dxdy

f(x,a2a2y0

aa a

f(x,-13f(x,* *章f(cossin

y1(

2(分積分

d2(

-14例 計算二重積分x2y2dxdy,其中D是由y2x2xx24xy 3x,y第

y x2y2dxdy,yy3yy3o4x積 積

34

應

4

56(

32 32-15 化下列二重積分f(x,y)dxdy為極坐標下Dy D是有yx,2yx2,yx2圍成的區(qū)y* f(x, 分積分D其 f(cos,sinD其應

o

y 040

-16 D:x2y22x,x2y22 f(x, D

x2y22

* f(x,y)dxdyf(x,y)dxdy* 分

o

x2y224x其 f(cos,sin其 4d

f(cos,sin)d02

f(cos,sin)d -17

y f(x,*

f(x, 重分 重分

f(x,

y4 應 f(cos,sin應 4

0-18x2x112)11

f(x,y)dy

dx

f(x, 第*

yy 1 f(x,y)dxdyf(x, 分 f(x,分其 其用 f(cos,sin用D

yo

2 4

-19例 設D(t):x2y2t2

sin(x2y2)x2y2 x2y2 章*章

積

sin(x2y2)dxdyx2x2

sin

2d2

tsint t 用

t3

3t

3-20 D例13計算二重積分xy)2dxdy其中D:|x||y|D (xy)2 章

xyD

y重(x22xyy2重分 分

xy xy其 (x2y2)dxdy4(x2y2其1 1

1

1x(x2y204

x2x2

)dx -21例14計算0zx2y2x2y22x 第zx2y2第章 D:x2y22x章

zx2 積及 V(x2