歷年試題2011清華自主數(shù)學(xué)

以去掉三個(gè)圓，已知條件變?yōu)椋害O1O2O1O2C，OO1、OO2延長線上分別一點(diǎn)A、BO1A=O1C，O2B=O2C。O1O2CO1O2OO1O2OO2O1 OCAOCB1(OOOOOO) 1 2

，2(O1CAO2CB)

sin OCAOCB1OOO 1

，4(O1CAO2CB)

2

sin 2a，b60°角。AAa，b45 A有且只有一個(gè)B有且只有兩個(gè)C有且只有三個(gè)D知兩條相交直線a，b60°角，求空間中過交點(diǎn)與a，b都成45°角的直線。答案4個(gè)。 已知向量a0,1),b

,),c ,

xaybzc1,1)x2y2z2的最小值為

A B C D xaybzc1,1 3y 3z

3(yz)

， xyz

xyz (yz)2(yxy

x 2z，yz三個(gè)變量，變形

yz

2323yz2(x (yz)2(yxy

x2x22(x1)223x24x83(x2)24 AB為過拋物線y2=4x焦點(diǎn)F的弦，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且OFA135，C為拋物線準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，則ACB的正切值為( 2454322454323F（1，0，（-1，0，ABA2222)，B2222)kCAA

=2 222

222

kCAkCB21kCAkCB

22ABCD中，∠BAD=45°，EF∥DA，EF=2，AF=AD，BF=BC，求∠AEB。FB FBEC2 tanAEFtanEAD 2 2tanBEFtanEBC 22tanAEBtan2AEF22 SBDFDESBDEzSBDESBDEABSABE1x)SABE

AES

，于是

(1x)

2(1xyz。將1yzx1，變形為yzx1，暫時(shí)將x看成常數(shù)，欲使yz1yz

x2

，于是SBDF2(1x)(x

12 123取極大 (10)11911邊形內(nèi)兩兩不相交，則（）ABC3D1∠ADC180°-∠B，所以∠DB，CEAEBD ABADC假設(shè)ΔABC中∠BACAC的另一側(cè)的相鄰(AC)ΔACD，則∠D=180°-∠B是銳角，這時(shí)如果或是鈍角，我們用同樣的方法繼續(xù)找下去，則最后可以找到一個(gè)銳角三角形。所以答案是D。

tanCtan(AB)

tanAtantanAtanB1

3tanB3

3 1 2

43sin2Asin 43sin2又

sin

sin

sin3

3 sin2Asin 3 sin(AC)cos(A cos2(AC)cos2(Acos2(AC)cos2B

sin(AC)sinB 13， 2132，代入得2cos2(AC13cos(AC)，4cos2(AC)3cos(AC)10

cos(AC)4

cosAC1， （12）a克，其重心在圓柱軸的中點(diǎn)處（杯底厚度及重量忽略不=1。 底面的距離）為2，水的重心位置為4213 42 ) =a：x22b a1xa2置為b，于是 2bx，解得x a2a （13）f(xaxb，f(11，f23x12，xn1f(xn求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)x 證明x f(11，f()2

得ab1，f(x3

x

x12，x23，x35，x49xn2n112k明。當(dāng)n=1顯然成立；假設(shè)n=k顯然成立，即xk2k11，則xk1

f(x)2xk

kkkx 2kkkk 2e。事實(shí)上 (11(11x

)(1

1 12a1a)22na1a)2n1x

1)2n121

1)2n12(1

1)2n2e1 已知雙曲線C

1(a0b0)F1F2C的左右焦點(diǎn)。PC （I）Ce(II)AC的左頂點(diǎn)，QC上的任意一點(diǎn)，問是否存在常數(shù)FEFEPx ΔPF1F2中，F(xiàn)PF，F(xiàn)PF的面積為3 F1F22cca

，EPF1上一點(diǎn)，PEPF2，EF13設(shè)PE=PF2=EF2