彎曲變形第六章

材料力學第六章彎曲變形1第六章彎曲變形§6-1工程問題中的彎曲變形撓度和轉(zhuǎn)角§6-2撓曲線的近似微分方程§6-3用積分法求彎曲變形§6-4用疊加法求梁的彎曲變形§6-5簡單靜不定梁§6-6提高彎曲剛度的措施§6-7彎曲變形能習題解答§6-8彎曲習題課2一、工程實例§6-1工程問題中的彎曲變形撓度和轉(zhuǎn)角34但在另外一些情況下,有時卻要求構(gòu)件具有較大的彈性變形,以滿足特定的工作需要.例如,車輛上的板彈簧,要求有足夠大的變形,以緩解車輛受到的沖擊和振動作用.5回顧與比較內(nèi)力變形變形？6

1、撓度二、基本概念橫截面形心C(即軸線上的點)在垂直于x軸方向的線位移,稱為該截面的撓度。用w表示。撓度：向上為正,向下為負.ABwxw撓度C'C72、轉(zhuǎn)角ABwxC'Cw撓度轉(zhuǎn)角橫截面變形前后的夾角稱為該截面的轉(zhuǎn)角。用表示自x轉(zhuǎn)至切線方向,逆時針轉(zhuǎn)為正,順時針轉(zhuǎn)為負。8ABwxC'Cw撓度轉(zhuǎn)角3、撓曲線撓曲線式中,x為梁變形前軸線上任一點的橫坐標,w為該點的撓度。撓曲線方程為梁變形后的軸線稱為撓曲線。94、撓度與轉(zhuǎn)角的關(guān)系A(chǔ)BwxC'Cw撓度轉(zhuǎn)角撓曲線10§6-2撓曲線的近似微分方程推導純彎曲正應力公式時，得到：橫力彎曲時忽略剪力對變形的影響：由數(shù)學知識可知：略去高階小量11在規(guī)定的坐標系中,x軸水平向右為正,w軸豎直向上為正.曲線凸向上時：OxwxOw因此,與的正負號相同曲線凹向上時:12由于彎矩的符號與撓曲線的二階導數(shù)符號一致，所以撓曲線的近似微分方程為：由上式進行積分，就可以求出梁橫截面的轉(zhuǎn)角和撓度。近似原因:(1)略去了剪力的影響;(2)略去了

項;13§6-3用積分法求彎曲變形積分一次得轉(zhuǎn)角方程為：再積分一次得撓度方程為：1、公式推導14積分常數(shù)C、D

由梁的位移邊界條件和光滑連續(xù)條件確定。位移邊界條件光滑連續(xù)條件

－彈簧變形AAAAAA152、剛度條件數(shù)學表達式剛度條件的應用(1)校核剛度(2)設(shè)計截面尺寸(3)求許可載荷16例6-1、已知EIz為常數(shù)，M0，L，求qA，qB，及中點的撓度；若，試校核剛度。ABM0wLx解：1、外力分析FAFBx撓曲線、轉(zhuǎn)角、撓度方程3、變形分析2、內(nèi)力分析17ABM0wLx確定積分常數(shù)得：所以求qA，qB，wL/2()()184、剛度計算所以，剛度滿足要求。校核剛度19例6-2、已知EI為常數(shù)，F(xiàn)，l，寫出AC段梁的撓度方程。解：1、外力分析2、內(nèi)力及變形分析xAC段l/2ABFwl/2xCFAFBCB段x20AC段l/2ABFwl/2xCCB段邊界條件光滑連續(xù)條件AC段撓度方程211、對每一段梁,由截面左側(cè)梁段上的外力來寫彎矩方程的；積分法的原則l為分段點到坐標原點的距離。xF1F3a1a2xF2mF22、寫后一段梁的彎矩方程時，只需在前一段梁的彎矩方程中增加一項；分段點的外力為集中力偶m時，增加了m項，分段點外力為集中力F時，增加了F(x-l)項。3、對(x-l)的項作積分時，應該將(x-l)項作為積分變量。從而簡化了確定積分常數(shù)的工作。221、疊加法原理（力的獨立性原理）

在小變形前提下，當構(gòu)件或結(jié)構(gòu)同時作用幾個載荷時，如果各載荷與其產(chǎn)生的效果(支反力，內(nèi)力，應力和位移、變形等)成線性關(guān)系,則各載荷與其產(chǎn)生的效果互不影響，各自獨立，它們同時作用所產(chǎn)生的總效果等于各載荷單獨作用時所產(chǎn)生的效果之和。2、求梁的彎曲變形的疊加法分別求出各載荷單獨作用時的變形，然后把各載荷在同一處引起的變形進行疊加(代數(shù)疊加)。§6-4用疊加法求梁的彎曲變形23例6－3、一抗彎剛度為EI的簡支梁受荷載如圖所示。試按疊加原理求梁跨中點的撓度wC和支座處橫截面的轉(zhuǎn)角A,B。qCABmCABqmlCABqAqqAmwCqwCmqBmqBq解：將荷載分為兩項簡單荷載()()()24討論：如何分解載荷？BAlqFBAlqBAlFBAl分解原則：分解后每根梁只作用單個載荷。25q討論：如何分解載荷？BqAaaCAaaCBAaaCBq如何求B截面的撓度及轉(zhuǎn)角？26AaaCBqBCABqCAaaqAaaCBAaaCBq如何用另一種方法求C截面及B截面的撓度及轉(zhuǎn)角？27使用疊加法計算撓度和轉(zhuǎn)角時，根據(jù)不同的載荷情況和梁的變形形式，可采取兩種處理方式：(1)載荷疊加：將載荷分解為幾種基本載荷，梁某處的總變形等于各基本載荷作用下在該處產(chǎn)生變形的代數(shù)和。(2)變形疊加：將梁分解成以一定方式連接的幾種受基本載荷作用的簡單梁，利用變形積累的原理，求梁某處的變形。在將梁分解成簡單梁時，要求各簡單梁的內(nèi)力與原梁的內(nèi)力完全相同，只是端部的約束條件可以不同。逐段剛化法內(nèi)力疊加法28例6-4、試用疊加法(變形疊加)求C截面的撓度。BqCAaaBqCAaBCAaaBqACAC段BC段第1根第2根29例6-4、試用疊加法(變形疊加)求C截面的撓度。解：（1)BC段變形，AC段剛化BqCAaaBqCAa(2)AC段變形，BC段剛化qBCAaaF=qa(3)總變形思考題：求wB30例6-5、用疊加法(變形疊加)求B截面的撓度。解：（1)BC段變形，AC段剛化BqCAaaBqCAa(2)AC段變形，BC段剛化qBCAaaF=qa()()()31(3)總變形32ABFC500300f20510例6-6、已知F=60N，E=210GPa，G=0.4E，求B截面的垂直位移。解：1）AC段剛化ABF2）AB段剛化33ABFC500300f20510例6-7、已知F=60N，E=200GPa，G=0.4E，求B截面的垂直位移。解：1）AC段剛化ABF2）AB段剛化CAF34靜定梁：§6-5簡單靜不定梁CABFqABCABFqAB靜不定梁：多余約束：足夠維持結(jié)構(gòu)靜力平衡以外的約束。多余約束反力：多余約束提供或承受的反力。靜不定次數(shù)=約束反力個數(shù)—靜平衡方程的個數(shù)相當系統(tǒng)：用多余約束力代替多余約束的靜定系統(tǒng)35求解超靜定梁的步驟qAB1、建立相當系統(tǒng)：將可動絞鏈支座作看多余約束,解除多余約束代之以約束反力FB。得到原超靜定梁的相當系統(tǒng)。qABFB2、列幾何方程——變形協(xié)調(diào)方程變形幾何方程為36qABFB3、列物理方程—變形與力的關(guān)系

qABABFB將變形與力的關(guān)系代入變形幾何方程得補充方程4、建立補充方程由該式解得37qABFB5、求解其它問題（反力、應力、變形等）只要求出了多余約束反力，求解其它問題與靜定問題完全一致38qAB方法二:取支座A處阻止梁轉(zhuǎn)動的約束為多余約束.qAB代以其相應的多余反力偶mA得相當系統(tǒng)。M變形相容條件為請同學們自行完成！39例6-8、梁的受力如圖，求解梁的支反力。FKABFBFBABFKFBFAB40例6-9、梁AC如圖所示,梁的A端用一鋼桿AD與梁AC鉸接,在梁受荷載作用前,桿AD內(nèi)沒有內(nèi)力,已知梁和桿用同樣的鋼材制成,材料的彈性模量為E,鋼梁橫截面的慣性矩為I,拉桿橫截面的面積為A,其余尺寸見圖,試求鋼桿AD內(nèi)的拉力FN。a2aABCq2qDl41解：這是一次超靜定問題。將AD桿與梁AC之間的連結(jié)絞看作多余約束。拉力FN為多余反力。相當系統(tǒng)如圖CABq2qDAFNFNA點的變形相容條件是拉桿和梁在變形后仍連結(jié)于A點。即42ABq2qFNABFNABq2q根據(jù)疊加法A端的撓度為變形幾何方程為可求得可算出:43ABq2qDAFNFNC拉桿AD的伸長為:補充方程為:由此解得:44

§6–6提高彎曲剛度的措施控制條件：(1)增大梁的抗彎剛度EI工程中常采用工字形,箱形截面為了減小梁的變形,可采取下列措施(2)降低彎矩設(shè)法縮短梁的跨長,將能顯著地減小其撓度和轉(zhuǎn)角。這是提高梁的剛度的一個很有效的措施。45橋式起重機的鋼梁通常采用兩端外伸的結(jié)構(gòu)就是為了縮短跨長而減小梁的最大撓度值.lqBAlBAqq同時,由于梁的外伸部分的自重作用,將使梁的AB跨產(chǎn)生向上的撓度,從而使AB跨向下的撓度能夠被抵消一部分,而有所減小.增加梁的支座也可以減小梁的撓度。46§6-7彎曲變形能外力作功：U（變形能）=W（外力功）一般情形：由功能原理，得：qM47§6-8彎曲習題課48習題5.16、鑄鐵梁載荷及橫截面尺寸如圖所示，[s+]=40MPa，[s-]=160MPa；試用正應力強度條件校核梁的強度。若載荷不變，將橫截面倒置，是否合理？AC1mF=20kNBD3m2mq=10kN/m20020030yczcyz解：(1)求yc與Izc49[s+]=40MPa，[s-]=160MPaAC1mF=20kNBD3m2mq=10kN/m20020030yczcyz(2)外力分析FBFD(3)內(nèi)力分析MOx20kN.m10kN.m(4)強度計算B截面上拉下壓可能的危險截面在B和C處50[s+]=40MPa，[s-]=160MPa20020030yczcyzMOx20kN.m10kN.mC截面上壓下拉若倒置，則B截面安全不合理51AF=8kNB11200100010001習題5.17、計算矩形截面簡支梁1-1截面上a點和b的正應力和剪應力。解：(1)求支反力FBFA(2)內(nèi)力分析(3)應力分析52習題5.21、起重機下的梁由兩根工字型鋼組成，起重機自重P=50kN,起重量F=10kN,[s]=160MPa,[t]=100MPa。不考慮梁的自重，試按正應力強度條件選定工字鋼型號，然后按切應力強度條件校核。AB10m4m11FPCD解：(1)外力分析FDFC研究吊車：AB10m2mCDFDFC研究梁：xFBFA53AB10m2mCDFDFCxFBFA(2)內(nèi)力分析（作M圖）MOxMCMD(a)計算MC的極值(b)計算MD的極值（3）強度計算選取兩根No.28a工字鋼，則WZ＝2×508＝1016cm3，滿足條件。54AB10m2mCDFDFCxFBFA（4）剪應力強度校核AB10m2mCDFDFCxFBFA當輪D無限靠近支座B時，剪力最大每根梁承受的最大剪力為No.28a工字鋼，b=8.5mm，Iz/Sz*=24.6cm故安全55習題5.27、圖示梁由兩根36a工字鋼鉚接而成。鉚釘?shù)拈g距為s=150mm，直徑d=20mm，許用切應力[t]=90MPa。梁橫截面上的剪力FS=40kN。試校核鉚釘?shù)募羟袕姸?。z解：故安全56ACaFBDaaFCFA例1、槽形鑄鐵外伸梁如圖所示，已知：F=30kN，a=1m，h=200mm，y=53.2mm，IZ=2.8×107mm4，[s+]=40MPa，[s-]=170MPa；試用正應力強度條件校核梁的強度。1)外力分析：2)內(nèi)力分析(M圖)解：危險截面：B和CD段的所有截面MOx57B截面：CD段：3)強度校核：故該梁的正應力強度滿足。58F例2、截面為T字形的鑄鐵梁如圖所示，欲使梁內(nèi)最大拉應力與最大壓應力之比為1：3，試求水平翼緣的合理寬度b。1)中性軸的位置2)求b解：(中性軸必過形心)59例3、把直徑為d的鋼絲繞在直徑為2m的卷筒上，設(shè)鋼絲的E=200GPa。1、若d=1mm，試計算鋼絲中產(chǎn)生的smax。2、若鋼絲的[s]=200MPa，則該卷筒上能繞多粗的鋼絲。2md1)計算smax2)求d解：60例4、截面為b×t的鋼條，長為l，重量為P(均布)，放在水平剛性平面上，當鋼條A端作用P/3的向上拉力時，求：1)鋼條脫開剛性平面的距離d？2)鋼條內(nèi)的smax?1)求d：解：研究C截面左段梁研究C截面右段梁cC612)求smax

由AC段內(nèi)的彎矩方程cx62例5、圖示空心圓桿,內(nèi)外徑分別為:d=40mm、D=80mm,桿的E=210GPa,工程規(guī)定C點的[w/L]=0.00002,B點的[]=0.001弧度,試校核此桿的剛度.0.4mF2=2kN0.1mDF1=1kNCAB0.2m=DF1=1kNCABF2=2kNDCAB+F2=2kNDCAB=F2CBF2DCAB+M630.4mF2=2kN0.1mDF1=1kNCAB0.2m=DF1=1kNCABF2CB++DCABF2M解:(1)結(jié)構(gòu)變換,查表求簡單載荷變形.640.4mF2=2kN0.1mDF1=1kNCAB0.2m=DF1=1kNCABF2CB++DCABF2M(2)疊加法求復雜載荷下的變形65(3)校核剛度:C點的[w/L]=0.00002,B點的[]=0.001弧度66討論題：例5-7、確定圖示手搖絞車所能起吊的重量P。PP400400180MMd=30mm材料為Q235鋼解：1、外力分析（略）2、內(nèi)力分析3、應力分析及強度計算67按彎曲強度確定起吊的重量P。PP400400180d=30mm材料為Q235鋼解：1、外力分析2、內(nèi)力分析3、應力分析及強度計算CBDPFBFD68PP400400180d=30mm材料為Q235鋼橫截面上應力實際情況橫截面同時存在正應力和切應力，為復雜應力狀態(tài)應建立復雜應力狀態(tài)下的強度條件，重新進行計算69例6、勻質(zhì)梁水平放置，外伸長度為a，求抬起臺面的距離BC（b）。ABCDqEIbaqB=0解：(1)

作梁的受力簡圖qCBDqCBbF=qa(2)列變形協(xié)調(diào)條件70例7、設(shè)梁的橫截面為矩形，高為300mm，寬為150mm，橫截面上負彎矩數(shù)值為240kN.m，材料的抗拉彈性模量Et為抗壓彈性模量Ec的1.5倍，若梁中應力未超過材料的比例極限，試求最大拉應力及最大壓應力。1)中性軸的位置：解：seoEC712)r表達式3)求stmax

及scmax72例8、外伸梁受載及等截面形