常見曲線物極坐標(biāo)方程

常見曲線物極坐標(biāo)方程第1頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一新課引入思考1：在平面直角坐標(biāo)系中1、過點(diǎn)(3,0)且與x軸垂直的直線方程為____;過點(diǎn)(3,3)且與x軸垂直的直線方程為______x=3x=32、過點(diǎn)(a,b)且垂直于x軸的直線方程為____x=a特點(diǎn)：所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是一樣，縱坐標(biāo)可以取任意值。

與直角坐標(biāo)系里的情況一樣，求曲線的極坐標(biāo)方程就是找出曲線上動點(diǎn)Ｐ的坐標(biāo)與之間的關(guān)系，然后列出方程f(,)=0

，再化簡并討論。思考2:怎樣求曲線的極坐標(biāo)方程？第2頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一例1、求過極點(diǎn)，傾角為π/4的射線的極坐標(biāo)方程。oMx﹚分析：如圖，所求的射線上任一點(diǎn)的極角都是π/4，其極徑可以取任意的非負(fù)數(shù)。故所求直線的極坐標(biāo)方程為新課講授引申1：求過極點(diǎn),傾角為5π/4的射線的極坐標(biāo)方程引申2：求過極點(diǎn),傾角為π/4的直線的極坐標(biāo)方程第3頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一

和前面的直角坐標(biāo)系里直線方程的表示形式比較起來，極坐標(biāo)系里的直線表示起來很不方便，要用兩條射線組合而成。原因在哪？為了彌補(bǔ)這個不足，可以考慮允許極徑可以取全體實(shí)數(shù)。則上面的直線的極坐標(biāo)方程可以表示為或原因在ρ≥0第4頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一求直線的極坐標(biāo)方程步驟:1、根據(jù)題意畫出草圖；2、設(shè)點(diǎn)M(ρ,θ)是直線上任意一點(diǎn)；3、連接MO；4、根據(jù)幾何條件建立關(guān)于ρ,θ的方程，并化簡；5、檢驗(yàn)并確認(rèn)所得的方程即為所求。第5頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一例4設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(ρ0,θ0,)，直線l過點(diǎn)P且與極軸所成的角為a,求直線l的極坐標(biāo)方程。oxMP﹚﹚解：如圖，設(shè)點(diǎn)M(ρ,θ)為直線上除點(diǎn)P外的任意一點(diǎn)，連接OM，在△MOP中有顯然點(diǎn)P的坐標(biāo)也是它的解。第6頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一第7頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一練習(xí)：按下列條件寫出直線的極坐標(biāo)方程：第8頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一小結(jié)：直線的幾種極坐標(biāo)方程。1、過極點(diǎn)2、過某個定點(diǎn)，且垂直于極軸3、過某個定點(diǎn)，且與極軸成一定的角度第9頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一若圓心的坐標(biāo)為M(ρ0,θ0)，圓的半徑為r，求圓的方程。OMPx第10頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一運(yùn)用此結(jié)果可以推出一些特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程。練習(xí)1:求下列圓的極坐標(biāo)方程(１)圓心在極點(diǎn)，半徑為2；

(２)圓心在Ｃ(a,0)，半徑為a；

(３)圓心在(a,/2)，半徑為a；

(４)圓心在Ｃ(0

,０)，半徑為r

＝2

＝2acos

＝2asin

2-2r0rcos(-０)

+

0

2-r2=0第11頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一辨析:圓心在不同位置時圓參數(shù)方程和特征.第12頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一練習(xí)4:以極坐標(biāo)系中的點(diǎn)(1,1)為圓心,1為半徑的圓的方程是()C練習(xí)3:極坐標(biāo)方程分別是r＝cosq和r＝sinq的兩個圓的圓心距是多少?第13頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一例3、在圓心的極坐標(biāo)為A(4,0)，半徑為4的圓中，求過極點(diǎn)O的弦的中點(diǎn)的軌跡。練習(xí)5:在極坐標(biāo)系中,已知圓C的圓心C(3,

/6),半徑r=3①求圓C的極坐標(biāo)方程。②若Q點(diǎn)在圓C上運(yùn)動,P在QO的延長線上,且OQ:OP=3:2,求動點(diǎn)P的軌跡方程。第14頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一

我們已經(jīng)學(xué)過，橢圓、雙曲線、拋物線有兩種幾何定義，其中，第二定義把三種圓錐曲線統(tǒng)一起來了，請回憶后說出三種圓錐曲線的第二定義．

到定點(diǎn)F(焦點(diǎn))的距離與到定直線l(準(zhǔn)線)的距離比是一個常數(shù)e(離心率)的點(diǎn)的軌跡。當(dāng)e∈(0，1)時，軌跡為橢圓，當(dāng)e∈(1，+∞)時，軌跡為雙曲線，當(dāng)e=1時，軌跡為拋物線．第15頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一

在極坐標(biāo)系中，同樣可以根據(jù)圓錐曲線的幾何定義，求出曲線的極坐標(biāo)方程．

設(shè)到定點(diǎn)F到定直線l的距離為p，求到定點(diǎn)F和定直線l的距離之比為常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡的極坐標(biāo)方程。Fl第16頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一對圓錐曲線的統(tǒng)一極坐標(biāo)方程，請思考討論并深入了解下述幾個要點(diǎn)：1、該方程是以雙曲線右焦點(diǎn)和橢圓的左焦點(diǎn)為極點(diǎn)建立的，若以雙曲線的左焦點(diǎn)和橢圓的右焦點(diǎn)建立極坐標(biāo)系，它們的統(tǒng)一方程什么？2、統(tǒng)一方程中的p、e分別是什么？p表示焦準(zhǔn)距；e表示離心率。第17頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一練習(xí)1第18頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一數(shù)學(xué)運(yùn)用例1、2003年10月15—17日，我國自主研制的神舟五號載人航天飛船成功發(fā)射并按預(yù)定方案安全、準(zhǔn)確的返回地球，它的運(yùn)行軌道先是以地球中心為一個焦點(diǎn)的橢圓，橢圓的近地點(diǎn)（離地面最近的點(diǎn)）和遠(yuǎn)地點(diǎn)（離地面最遠(yuǎn)的點(diǎn)）距離地面分別為200km和350km，然后進(jìn)入距地面約343km的圓形軌道。若地球半徑取6378km，試寫出神舟五號航天飛船運(yùn)行的橢圓軌道的極坐標(biāo)方程。第19頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一

例2、求證：過拋物線的焦點(diǎn)的弦被焦點(diǎn)分成的兩部分的倒數(shù)和為常數(shù)。練習(xí)2、已知拋物線y2=x的焦點(diǎn)為F。①以F為極點(diǎn),x軸正方向?yàn)闃O軸的正方向,寫出此拋物線的極坐標(biāo)方程；②過F作直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn),若|AB|＝4,運(yùn)用拋物線的極坐標(biāo)方程,求直線l的傾斜角。數(shù)學(xué)運(yùn)用第20頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一練習(xí)3、已知橢圓長軸，焦距長，過左焦點(diǎn)作一直線交橢圓于M、N兩點(diǎn)，設(shè)∠F2F1M=θ(0≤θ＜π)，求θ的值，使|MN|等于短軸長．解：以F1為極點(diǎn)，F(xiàn)1F2為極軸建立極坐標(biāo)系橢圓的極坐標(biāo)方程