慣性矩的計算

慣性矩的計算第1頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一§1靜矩和形心§2慣性矩、慣性積和慣性半徑§3平行移軸公式附錄截面幾何性質(zhì)§4主慣性軸、形心主慣性軸第2頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一§1靜矩和形心

Sy和Sz分別稱為整個截面積對于y軸和z軸的靜矩。1、靜矩和形心的定義形心坐標應用式第3頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一結論：若圖形對某一軸的靜距等于零，則該軸必然通過圖形的形心；若某一軸通過圖形的形心，則圖形對該軸的靜距必然等于零；形心軸：通過圖形的形心的坐標軸。第4頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一1、組合截面的靜矩和形心截面對某一軸的靜距等于其組成部分對同一軸的靜距之和。

其中，yi與zi分別為第i個簡單圖形的形心坐標。第5頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一例題1、截面圖形如圖所示，試計算截面的形心位置。解：將該截面看成由矩形①和矩形②組成，每個矩形的面積和形心坐標分別為：矩形①：A1=1250mm2，y1=5mm，z1=62.5mm矩形②：A2=700mm2，y2=45mm，z2=5mm第6頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一§2慣性矩、慣性積和慣性半徑iy

、

iz分別稱為截面對y軸和z軸的慣性半徑。1、定義Iy

、

Iz分別稱為截面面積對y軸和z軸的慣性矩，Iyz

稱為截面面積對y軸和z軸的慣性積。第7頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一常見截面的慣性矩和慣性半徑：y第8頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一常見截面的慣性矩和慣性半徑：y第9頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一常見截面的慣性矩和慣性半徑：y圓環(huán)第10頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一Ip=A2dAIp—截面的極慣性矩截面的極慣性矩：2=z2+y2

第11頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一Ip＝d432Wp=d316Ip＝D

432(1-4)Wp=D

316(1-4)

=d/D對于實心圓截面：對于圓環(huán)截面：Wp=maxIpWp扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)y圓形y圓環(huán)第12頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一

=d/D對于實心圓截面：對于圓環(huán)截面：y圓形y圓環(huán)第13頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一

若y軸或z軸為截面的一個對稱軸，則慣性積Iyz=0Iyz

稱為截面面積對y軸和z軸的慣性積。慣性積的性質(zhì)：

若Iyz=0，且y與z軸同時通過截面形心，則稱其為截面的一對形心主慣性軸，對應的Iy與Iz稱為截面的形心主慣性矩。

若Iyz=0，則坐標軸y與z軸稱為截面的一對主慣性軸；Iy與Iz稱為主慣性矩。第14頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一組合截面的慣性矩和慣性積：

當截面由ｎ個簡單圖形組合而成時，截面對于某根軸的慣性矩等于這些簡單圖形對于該軸的慣性矩之和。即:第15頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一§3平行移軸公式IaC22=證明：y=yc+bCzCyIIIabAAbIAIyyzzy+=++=zC基準軸:過形心的兩正交坐標軸第16頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一例2、

(同例1)

試計算截面對水平形心軸yc的慣性矩。

解：例1中已算出該截面形心C的坐標為：yc=19.36mm，zc=41.9mm矩形①對yc軸的矩為：

截面對軸yc的慣性矩應等于矩形①對軸yc的慣性矩加上矩形②對yc軸的慣性矩。即：第17頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一矩形①對yc軸的慣性矩為：矩形②對yc軸的慣性矩為：第18頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一類似地可求出:

例3、

(同例1)

試計算截面對水平形心軸yc和鉛直形心軸zc的慣性積。

解：例1中已算出該截面形心C的坐標為：yc=19.36mm，zc=41.9mm第19頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一矩形①對yc和zc軸的慣性積為：矩形②對yc和zc軸的慣性積為：第20頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一§4主慣性軸、形心主慣性軸

微面積dA在新舊兩個坐標系中的坐標(y1,z1)和(y,z)之間的關系為：第21頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一同樣可得：

若Iy1z1=0，則坐標軸y1與z1軸稱為截面的一對主慣性軸；Iy1與Iz1稱為主慣性矩。

主慣性軸位置的確定：轉(zhuǎn)軸公式第22頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一主慣性矩Iyp與Izp的確定：第23頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一形心主慣性軸和形心主慣性矩的計算步驟：(1)計算截面形心；(2)計算通過截面形心的一對坐標軸yc與zc的慣性矩Iyc、

Izc和慣性積Iyczc

；(3)通過轉(zhuǎn)軸公式確定形心主慣性軸的方位角 ，并計算形心主慣性矩Iyp和Izp

。

若Iy1z1=0，且y1與z1軸同時通過截面形心，則稱其為截面的一對形心主慣性軸，對應的Iy1與Iz1稱為截面的形心主慣性矩。注意：對稱軸必為形心主慣性軸。第24頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一

例4、

(同例1)

試確定截面的形心主慣性軸的位置，并計算截面的形心主慣性矩。

解：例1中已算出該截面形心C的坐標為：yc=19.36mm，zc=41.9mm

例3中已算出截面對于水平形心軸yc和鉛直形心軸zc的慣性矩和慣性積：或第25頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一第26頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一若圖形具有三根（或三根以上）對稱軸，則通過圖形形心的所有軸都是形心主慣性軸，且圖形對任一形心軸的慣性矩（即形心主慣性矩）都相同。

2)所有的正多邊形截面圖形的形心軸均為形心主慣性軸。關于形心主慣性軸的兩個推論：第27頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一小結

基本要求：掌握靜