塑性力學(xué)第三章 應(yīng)力和應(yīng)變

第三章應(yīng)力和應(yīng)變§3.1應(yīng)力分析§3.2應(yīng)變分析§3.1應(yīng)力分析

一、應(yīng)力張量及其分解(1)一點的應(yīng)力狀態(tài)通過一點P的各個面上應(yīng)力狀況的集合——稱為一點的應(yīng)力狀態(tài)x面的應(yīng)力：y面的應(yīng)力：z面的應(yīng)力：(2)應(yīng)力張量一點

的應(yīng)力狀態(tài)可由九個應(yīng)力分量來描述，這些分量構(gòu)成一個二階對稱張量，稱為應(yīng)力張量。上式中左邊是工程力學(xué)的習(xí)慣寫法，右邊是彈性力學(xué)的習(xí)慣寫法定義：寫法：采用張量下標(biāo)記號的應(yīng)力寫法把坐標(biāo)軸x、y、z分別用x1、x2、x3表示，或簡記為xj(j=1,2,3),(3)斜截面上的應(yīng)力與應(yīng)力張量的關(guān)系在xj坐標(biāo)系中，考慮一個法線為N的斜平面。N是單位向量，其方向作弦為則這個面上的應(yīng)力向量SN的三個分量與應(yīng)力張量之間的關(guān)系采用張量下標(biāo)記號，可簡寫成說明：i）重復(fù)出現(xiàn)的下標(biāo)叫做求和下標(biāo)，相當(dāng)于這稱為求和約定；ii）不重復(fù)出現(xiàn)的下標(biāo)i叫做自由下標(biāo)，可取i=1,2,3；(4)應(yīng)力張量的分解1.靜水“壓力”：在靜水壓力作用下，應(yīng)力—應(yīng)變間服從彈性規(guī)律，且不會屈服、不會產(chǎn)生塑性變形。應(yīng)力不產(chǎn)生塑性變形的部分產(chǎn)生塑性變形的部分反映靜水“壓力”：2.平均正應(yīng)力：3.應(yīng)力張量的分解：應(yīng)力張量可作如下分解：用張量符號表示：其中：或應(yīng)力球張量——單位球張量——應(yīng)力球張量，它表示各方向承受相同拉（壓）應(yīng)力而沒有剪應(yīng)力的狀態(tài)。應(yīng)力偏張量——應(yīng)力偏張量——與單元體的體積變形有關(guān)說明：材料進入塑性后，單元體的體積變形是彈性的，只與應(yīng)力球張量有關(guān)；而與形狀改變有關(guān)的塑性變形則是由應(yīng)力偏張量引起的。應(yīng)力張量的這種分解在塑性力學(xué)中有重要意義。二、主應(yīng)力和應(yīng)力不變量（1）主應(yīng)力1.一點的主應(yīng)力與應(yīng)力主向若某一斜面上，則該斜面上的正應(yīng)力稱為該點一個主應(yīng)力；（2）應(yīng)力主向主應(yīng)力所在的平面——稱為主平面；主應(yīng)力所在平面的法線方向——稱為應(yīng)力主向；根據(jù)主平面的定義，SN與N重合。若SN的大小為，則它在各坐標(biāo)軸上的投影為代入（3-3）式應(yīng)有或即將這個行列式展開得到其中2.應(yīng)力張量的不變量當(dāng)坐標(biāo)軸方向改變時,應(yīng)力張量的分量均將改變,但主應(yīng)力的大小不應(yīng)隨坐標(biāo)軸的選取而改變.因此,方程(3-9)的系數(shù)的值與坐標(biāo)軸的取向無關(guān)，稱為應(yīng)力張量的三個不變量?？梢宰C明方程（3-9）有三個實根，即三個主應(yīng)力當(dāng)用主應(yīng)力來表示不變量時應(yīng)力偏張量Sij顯然也是一種應(yīng)力狀態(tài)即J1=0的應(yīng)力狀態(tài)。不難證明，它的主軸方向與應(yīng)力主軸方向一致，而主值（稱為主偏應(yīng)力）為：應(yīng)力偏張量也有三個不變量：

其中應(yīng)力偏張量的第二不變量今后用得最多。再介紹它的其他幾個表達式：在第四章中將看到，在屈服條件中起重要作用。至于可以注意它有這樣的特點：不管的分量多么大，只要有一個主偏應(yīng)力為零，就有。這暗示在屈服條件中不可能起決定作用。

說明：三、等斜面上的應(yīng)力等斜面：通過某點做平面，該平面的法線與三個應(yīng)力主軸夾角相等八面體面：滿足（3-20）式的面共有八個，構(gòu)成一個八面體，如圖所示。等斜面常也被叫做八面體面。若八面體面上的應(yīng)力向量用F8表示，則按（3-3）式有設(shè)在這一點取坐標(biāo)軸與三個應(yīng)力主軸一致，則等斜面法線的三個方向余弦為八面體面素上的正應(yīng)力為八面體面素上的剪應(yīng)力為說明：八面體面上的應(yīng)力向量可分解為兩個分量：i)垂直于八面體面的分量，即正應(yīng)力，它與應(yīng)力球張量有關(guān)，或者說與有關(guān)；ii)沿八面體面某一切向的分量，即剪應(yīng)力，與應(yīng)力偏張量的第二不變量有關(guān)。四、等效應(yīng)力1.定義：如果假定相等的兩個應(yīng)力狀態(tài)的力學(xué)效應(yīng)相同，那么對一般應(yīng)力狀態(tài)可以定義：——在塑性力學(xué)中稱為應(yīng)力強度或等效應(yīng)力注意：這里的“強度”或“等效”都是在意義下衡量的2.等效應(yīng)力的特點與空間坐標(biāo)軸的選取無關(guān)；各正應(yīng)力增加或減少同一數(shù)值（也就是疊加一個靜水應(yīng)力狀態(tài)）時數(shù)值不變，即與應(yīng)力球張量無關(guān)；

全反號時的數(shù)值不變。3.空間空間指的是以的九個分量為坐標(biāo)軸的九維偏應(yīng)力空間；標(biāo)志著所考察的偏應(yīng)力狀態(tài)與材料未受力（或只受靜水應(yīng)力）狀態(tài)的距離或差別的大小。聯(lián)系到（3-17）式，不難看出代表空間的中的廣義距離4.等效剪應(yīng)力聯(lián)系到（3-19）式，可知或也可以定義,剪應(yīng)力強度或等效剪應(yīng)力:5.八面體剪應(yīng)力、等效應(yīng)力和等效剪應(yīng)力之間的換算關(guān)系為：

說明：這些量的引入，使我們有可能把復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)化作“等效”（在意義下等效）的單向應(yīng)力狀態(tài)，從而有可能對不同應(yīng)力狀態(tài)的“強度”作出定量的描述和比較。五、三向Mohr圓和Lode應(yīng)力參數(shù)在平面上三點中的任意兩點為直徑端點，可作出三個Mohr圓，如圖3-3.其半徑為：——稱為主剪應(yīng)力——最大剪應(yīng)力1.三向Mohr圓2.Lode應(yīng)力參數(shù)[分析]由圖3-4可見，若在已知應(yīng)力狀態(tài)上疊加一個靜水壓力，其效果僅使三個Mohr圓一起沿軸平移一個距離，該距離等于所疊加的靜水應(yīng)力，并不改變Mohr圓的大小。[結(jié)論]

軸的位置與屈服及塑性變形無關(guān)，決定屈服與塑性變形的只是Mohr圓本身的大小。若將上軸平移撕到件，擋并使則：移軸后稍的三向Mohr圓正是描偏述應(yīng)力偏張量的宗三向Moh贈r圓，如圖愛所示。M點是P1P2線段的中幻玉點Lod己e在19補25年腐引進的潔參數(shù)Lode應(yīng)力參響數(shù)當(dāng)P2點由P3移向P1時，的變化范圍是：下面三較個特殊踏情況是鴨常用到酷的：i)單向拉伸亂：ii)純剪切高：iii)單向壓匹縮：只由P1、P2、P3三點的相對位置決定而與坐標(biāo)原點的選擇無關(guān)，故是描述應(yīng)力偏張量的一個特征值。綜上所述，OO’表示了一點應(yīng)力狀態(tài)的球張量部分；而以O(shè)’為坐標(biāo)原點的三向Mohr圓（由和所確定）則表示了應(yīng)力的偏張量部分。六、應(yīng)力空愈間和主鏡應(yīng)力空時間1.應(yīng)力空成間一點的應(yīng)懸力張量有何九個應(yīng)力鞭分量，以邁它們?yōu)榫胖e個坐標(biāo)軸就得到勞假想的蔽九維應(yīng)臉力空間侄?？紤]到頃九個應(yīng)炕力分量神中只有椒六個是緒獨立的趟，所以繳又可構(gòu)成一個六要維應(yīng)力空匯間來描述薦應(yīng)力狀態(tài)先。一點的淋應(yīng)力狀駱態(tài)可以針用九維柿或六維罵應(yīng)力空怨間中的嗓一個點敞來表示貍。2.主應(yīng)農(nóng)力空間（Hai謙gh-砍Wes芝ter絹gaa牲rd空間）它是以為坐標(biāo)軸的假想的三維空間，這個空間中的一個點，就確定了用主應(yīng)力所表示的一個應(yīng)力狀態(tài)。2.主應(yīng)誕力空間忘的性質(zhì)L直線：主旬應(yīng)力空間磨中過原點片并坐標(biāo)軸葡成等角的叼直線。其方程為顯然，L直線上的點代表物體中承受靜水應(yīng)力的點的狀態(tài)，這樣的應(yīng)力狀態(tài)將不產(chǎn)生塑性變形。平面：主楚應(yīng)力空間礎(chǔ)中過原點膚而與L直線垂菜直的平臥面。其方程為由于平面上任一點的平均正應(yīng)力為零，所以平面上的點對應(yīng)于只有應(yīng)力偏張量、不引起體積變形的應(yīng)力狀態(tài)。主應(yīng)力退空間中蒼任意一腰點P所確定的驚向量澡總可脊以分解為莫：這樣任伍意應(yīng)力殿狀態(tài)就教被分解婆為兩部槳分，分別與應(yīng)舍力球張量登和應(yīng)力偏層張量部分對應(yīng)。小結(jié)物體內(nèi)褲一點的句應(yīng)力狀衫態(tài)用應(yīng)蒜力張量句描述，膀它又可萍分解為蓄應(yīng)力球張量信和應(yīng)力績偏張量那兩個部么分。塑性變外形只與涼應(yīng)力偏瓣張量有溝關(guān)。三向Mohr應(yīng)力圓和督主應(yīng)力空載間為應(yīng)力龜張量的分辯解提供了壓幾何形象和香數(shù)學(xué)工付具。這樣取嶺的目的是予使辣構(gòu)成右一個二階掀對稱張量半，即應(yīng)變張量軋?！?.叢2應(yīng)連變分析一、位書移與應(yīng)育變的關(guān)辜系1.Cau歲chy公式其中抓與工程剪干應(yīng)變相差飽一半，即張量記法陶:以記,以記。

記號約定栗：以下標(biāo)繪之間的襲逗號表賊示微商如Cau捆chy公式的張吧量形式：（3-2炎9）（3-嘆29）揭式是在爽小變形脂條件建橋立的。二、應(yīng)變張量鄙的分解應(yīng)變張量因也可以分師解為應(yīng)變等球張量和薦應(yīng)變偏張夕量，即（3-沒31）應(yīng)變球詢張量——它與彈柳性的體預(yù)積改變貢部分有倒關(guān)；其中稱狗為膽平均正裙應(yīng)變應(yīng)變偏張平量——只反映變這形中形狀優(yōu)改變的那息部分。二、應(yīng)變張量混的不變量應(yīng)變偏張量的三個不變量用表示：其中以分趨別是主淋應(yīng)變和誓應(yīng)變偏串張量的暗主值。應(yīng)變偏張濤量的分解柏：三、等效銀應(yīng)變和Lod要e應(yīng)變參惠數(shù)等斜面少（八面夕體面）先上的正灣應(yīng)變和辛剪應(yīng)變茫：等效應(yīng)變和等效剪應(yīng)變Lode應(yīng)變參數(shù)三個特殊狀情況為：i)單向拉伸稈：著則漁=-1去.ii