測量誤差的基本知識

測量學基礎項目5測量誤差的基本知識5.15.25.35.4測量誤差概述評定精度的標準觀測值的算術平均值和改正值觀測值的精度評定5.55.65.7誤差傳播定律誤差傳播定律的應用加權平均值及其中誤差學習目標

【知識目標】明確測量誤差概念及分類；掌握精度評定的標準及觀測值的精度評定；掌握誤差傳播定律及其應用。

【技能目標】能夠進行工程測量中的誤差計算與分析。項目5測量誤差的基本知識測量誤差產(chǎn)生的原因5.1.1儀器的原因1.5.1測量誤差概述測量工作是需要用測量儀器進行的，而每一種測量儀器只具有一定的精確度，因此會對測量結果造成一定的影響。例如，DJ6級經(jīng)緯儀的水平度盤分劃誤差可能達到3″，因此所測的水平角會存在誤差。另外，儀器結構的不完善，如水準儀的視準軸不平行于水準管軸，也會使觀測到的高差產(chǎn)生誤差。人的原因2.由于觀測者的感覺器官的鑒別能力存在局限性，因此在對儀器進行對中、整平、瞄準和讀數(shù)等操作時都會產(chǎn)生誤差。例如，在厘米分劃的水準尺上，由觀測者估讀毫米數(shù)，則1mm以下的估讀誤差就極有可能產(chǎn)生。另外，觀測者的技術熟練程度也會給觀測成果帶來不同程度的影響。5.1測量誤差概述外界環(huán)境的影響3.

測量工作進行時所處的外界環(huán)境（如空氣溫度、風力、日光照射、大氣折光、煙霧等）是時刻變化的，這必然使測量結果產(chǎn)生誤差。例如，溫度變化使鋼尺產(chǎn)生伸縮，風吹和日光照射使儀器的安置不穩(wěn)定，大氣折光使望遠鏡的瞄準產(chǎn)生偏差等。5.1測量誤差概述測量誤差的分類及處理方法5.1.2系統(tǒng)誤差1.在相同的觀測條件下對某個固定量進行多次觀測，如果觀測誤差在正負號及量的大小上表現(xiàn)出一致的傾向，即按一定的規(guī)律變化或保持為常數(shù)，則這類誤差稱為系統(tǒng)誤差。例如，用一把名義長度為20m而實際比20m長出Δ的鋼卷尺去量距，測量結果為D′，則D′中就含有因尺長不準確而帶來的誤差ΔD′/20，這種誤差的大小與所量直線長度成正比，而正負號始終一致，所以這種誤差屬于系統(tǒng)誤差。5.1測量誤差概述偶然誤差2.

在相同的觀測條件下對某個固定量所進行的一系列觀測，如果觀測結果的差異在正負號和數(shù)值上都沒有表現(xiàn)出一致的傾向，即沒有任何規(guī)律性，如讀數(shù)時估讀小數(shù)的誤差等，則這種誤差稱為偶然誤差。5.1測量誤差概述偶然誤差的性質5.1.35.1測量誤差概述（1）在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限度。（2）絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的可能性大。（3）絕對值相等的正誤差與負誤差，其出現(xiàn)的可能性相等。（4）當觀測次數(shù)無限增多時，偶然誤差的算術平均值趨近于零。偶然誤差具有如下的規(guī)律性5.1測量誤差概述上述第（4）個特性是由第（3）個特性推導出來的。從第（3）個特性可知，在大量的偶然誤差中，正誤差與負誤差出現(xiàn)的可能性相等。因此，在求全部誤差總和時，正的誤差與負的誤差就有互相抵消的可能。當誤差個數(shù)無限增大時，真誤差的算術平均值將趨于零，即（5-2）實踐表明，對于在相同條件下獨立進行的一組觀測來說，不論其觀測條件如何，也不論是對一個量還是對多個量進行觀測，這組觀測的誤差必然具有以上四個特性。而且，當觀測個數(shù)越多時，這種特性就表現(xiàn)得越明顯。偶然誤差的這種特性又被稱為統(tǒng)計規(guī)律性。5.1測量誤差概述以橫坐標表示誤差的大小，縱坐標表示各區(qū)間誤差出現(xiàn)的相對個數(shù)除以區(qū)間的間隔值（本例為3″）。這樣，每一誤差區(qū)間上方的長方形面積就代表誤差出現(xiàn)在該區(qū)間的相對個數(shù)。例如，圖中有斜線的長方形面積就代表誤差出現(xiàn)在6″～9″內的相對個數(shù)。用直方圖表示誤差分布5.1測量誤差概述當觀測次數(shù)越來越多時，誤差出現(xiàn)在各個區(qū)間的相對個數(shù)的變動幅度就越來越小。當n足夠大時，誤差在各個區(qū)間出現(xiàn)的相對個數(shù)就趨于穩(wěn)定。也就是說，一定的觀測條件對應著一定的誤差分布?？梢韵胂?，當觀測次數(shù)足夠多時，如果把誤差的區(qū)間間隔無限縮小，則圖5-1中各長方形頂邊所形成的折線將變成一條光滑曲線，這條曲線稱為誤差分布曲線，如圖5-2所示。誤差分布曲線5.1測量誤差概述在概率論中，把這種誤差分布稱為正態(tài)分布，描繪這種分布的方程（概率密度）為式中，σ是觀測誤差的標準差（方根差或均方根差）。5.1測量誤差概述5.1測量誤差概述從圖5-2可知，誤差分布曲線在縱軸兩邊各有一個轉向點（拐點）。如果對fΔ求二階導數(shù)，使其等于零，則可以求得曲線拐點的橫坐標Δ拐=±σ。因為誤差出現(xiàn)在－σ～+σ的相對次數(shù)是某個定值，即介于曲線fΔ、橫軸和直線Δ=－σ、Δ=+σ之間的曲邊梯形面積是個定值，故σ越小，曲線將越陡峭，即誤差分布比較密集；反之，曲線將越平緩，即誤差分布比較分散。由此可見，參數(shù)σ的值表征了誤差擴散的特征。5.1測量誤差概述例如，有兩組在不同觀測條件下進行觀測的觀測值，其中一組的觀測條件較好，誤差分布比較密集，它具有較小的參數(shù)σ1；另一組觀測曲線的最大縱坐標必然小于具有σ1的誤差曲線的最大縱坐標，如圖所示。觀測條件在誤差分布曲線上的形態(tài)反映5.1測量誤差概述由于每條曲線與橫軸之間的面積（落在各區(qū)間的誤差個數(shù)總和與全部觀測個數(shù)之比k/n）恒等于1，因此，具有σ1的誤差分布曲線會自最大縱坐標點向兩側以較陡的趨勢迅速下降；而具有σ2的誤差分布曲線則會自點向兩側以較平緩的趨勢伸展在橫軸上方。由此可見，觀測條件的好壞在誤差分布曲線的形態(tài)（誤差擴散情況）上得到了充分的反映，而曲線的形態(tài)又可用具體的數(shù)值σ來表達。5.1測量誤差概述測繩是外皮用線或麻繩包裹，中間加有金屬絲，其外形如電線，并涂以蠟，每隔1m包一金屬片，注明米數(shù)。測繩的長度一般有50m和100m兩種，一般用于精度要求較低的測量工作。5.1測量誤差概述中誤差5.2.1在一定的觀測條件下進行一組觀測，它對應著一定的誤差分布。如果該組誤差值總體來說偏小，即誤差分布比較密集，則表示該組觀測質量較好，這時標準差σ的值也較小；反之，則表示該組觀測質量較差，標準差σ的值也較大。因此，一組觀測誤差所對應的標準差值的大小反映了該組觀測結果的精度。所以在評定觀測精度時，就不再做誤差分布表，也不繪制直方圖，而是設法計算出該組觀測結果的精度。5.2評定精度的標準5.2評定精陡度的標磚準從式（5-4）可知，求σ值時要求觀測個數(shù)n→∞，但實際是不可能的。因為在測量工作中觀測個數(shù)總是有限的，所以評定精度時一般采用式（5-5）計算。式中，m為中誤差；方括號［］表示總和。從式（5-4）和式（5-5）可以看出，標準差σ跟中誤差m的不同在于觀測個數(shù)n。標準差表征了一組同精度觀測在n→∞時誤差分布的擴散性，即理論上的觀測精度指標。而中誤差則是一組同精度觀測在n為有限個數(shù)時的觀測精度指標。中誤差實際上是標準差的近似值（估值），隨著n的增大，m將趨近于σ。在相同列觀測條腹件下進抹行的一盞組觀測膀，其得別出的每君一個觀山測值都拘稱為同薪精度觀貫測值。榮由于它僻們對應集著一個拳誤差分君布，即冠對應著裙一個標泰準差（誼標準差榜的估值蛇即為中餃誤差）再，因此裳，同精愚度觀測乓值具有槍相同的軋中誤差敬。但是檢，同精籮度觀測缺值的真蕉誤差卻垃彼此并建不相等獄，有的宴差別還謙比較大滾（見表5-1），這仍是因為拉真誤差已具有偶硬然誤差鋤的性質召。在應用式旺（5-5）求一組監(jiān)同精度觀闖測值的中研誤差m時，真誤淡差Δ可以是同鎮(zhèn)一個量的德同精度觀稿測值的真臉誤差，也妨可以是不被同量的同廉精度觀測牲值的真誤訊差。在計違算m值時注揀意取2～3位有效數(shù)令字，并在皺數(shù)值前冠闊以“±”，數(shù)值玻后寫上抽單位。5.2評定精等度的標喪準【例5-1】5.2評定精薦度的標石準【例5-1】5.2評定精度坡的標準相對中誤差5.2.2對于評副定精度才來說，包有時利帖用中誤圖差還不煤能反映收測量的街精度。表例如，負丈量兩您條直線釀，一條間長度為100西m，另一水條長度懼為20m，雖然它核們的中誤誼差都是±10足mm，但是姑卻不能怎說明兩紛者的測腔量精度句相同（盟實際上棉是前者喚優(yōu)于后丟者）。紫利用中蛾誤差與啦觀測值帽的比值mi/Li來評定貿精度，介通常稱俘此比值箏為相對撫中誤差叉。相對剪中誤差路都要求孟寫成分貴子為1的分式，革即1/N。故上例忘為m1/L1=1/1腥000牲0,m釘2/L2=1/2池000，可見m1/L1<m2/L2，即前者邀的精度比怎后者高。5.2評定精問度的標若準有時，求得真誤差和容許誤差后，也用相對誤差來表示。例如，在進行導線測量時，假設起算數(shù)據(jù)沒有誤差，則求出的全長相對閉合差也就是相對真誤差，而《工程測量規(guī)范》（GB50026—2007）中規(guī)定的全長相對閉合差不能超過1/2000或1/5000，指的是相對容許誤差。5.2評定精度喬的標準容許誤差5.2.3由圖5-1可知，圖中各矩形條的面積代表誤差出現(xiàn)在該區(qū)間中的頻率，當統(tǒng)計誤差個數(shù)無限增加、誤差區(qū)間無限減小時，頻率將逐漸趨于穩(wěn)定而成為概率，直方圖的頂邊即形成正態(tài)分布曲線。因此，根據(jù)正態(tài)分布曲線可以表示出誤差出現(xiàn)在微小區(qū)間dΔ中的概率，即5.2評定精斬度的標攔準根據(jù)式（5-6）的積分，可以得到偶然誤差在任意大小區(qū)間中出現(xiàn)的概率。設以k倍中誤差作為區(qū)間，則在此區(qū)間中誤差出現(xiàn)的概率為分別以k=1、k=2、k=3代入式（5-7），可得到偶然誤差的絕對值不大于中誤差、2倍中誤差和3倍中誤差的概率。即5.2評定精旨度的標脂準觀測值的算術平均值5.3.15.3觀測值騎的算術強平均值澆和改正錯值在相同的觀測條件下，對某個未知量進行n次觀測，其觀測值分別為l1，l2，…，ln，取這些觀測值的算術平均值作為該量的最可靠的數(shù)值，該值稱為最或是值，即多次獲得觀測值而取算術平均值的合理性和可靠性，可以用偶然誤差的特性來證明。設某一個量的真值為X，各次觀測值為l1，l2，…，ln，其相應的真誤差為Δ1，Δ2，…，Δn，則5.3觀測值的估算術平均為值和改正潮值將上列等式相加，并除以n，得到根據(jù)偶然誤差的特性，當觀測次數(shù)無限增多時，Δn就會趨近于零，即5.3觀測值的妻算術平均傍值和改正衣值

當觀測次數(shù)無限增多時，觀測值的算術平均值趨近于該量的真值。但是，在實際工作中，不可能對某一個量進行無限次的觀測，因此，就把有限個觀測值的算術平均值作為該量的最或是值。5.3觀測值裹的算術正平均值努和改正自值觀測值的改正值5.3.25.3觀測值鋤的算術震平均值劣和改正每值算術平均值與觀測值之差稱為觀測值的改正值v，即

將上列等式相加，得再根據(jù)式（5-8），得到一組觀測值取算術平均值后，其改正值之和恒等于零。式（5-12）可以作為計算中的校核。對于一組等精度的觀測值，取其算術平均值作為最或是值的合理性還可以用各個改正值vi符合最小二乘原則來說明。5.3觀測值演的算術饑平均值肉和改正久值

5.3觀測值弟的算術傲平均值燥和改正換值

由此可知，取一組等精度觀測值的算術平均值作為最或是值，并據(jù)此得到各個觀測值的改正值，符合vv=min的最小二乘原則。5.3觀測值的令算術平均逐值和改正天值5.4觀測值的內精度評定在一般情況下，由于觀測值的真值X是不知道的，因此真誤差Δi也就無法求得，此時，就不可能用式（5-5）求中誤差。但根據(jù)5.3節(jié)講述的內容可知，在同樣的觀測條件下對某一個量進行多次觀測，可以取其算術平均值作為最或是值，也可以算得各個觀測值的改正值vi，并且還知道在觀測次數(shù)無限增多時將趨近于真值X。對于有限的觀測次數(shù)，以代替X即相應于以改正值vi代替真誤差Δi

。參照式（5-5）得到按觀測值的改正值計算觀測值的中誤差的公式為5.4觀測值的姥精度評定

將式（5-13）與式（5-5）對照，可知除了以[vv]代替[ΔΔ]之外，還以n－1代替n。簡單的解釋為：在真值已知的情況下，所有的觀測值（n個）均為多余觀測；在真值未知的情況下，只有一個觀測值是必要的，其余n－1個觀測值是多余的。因此，n和n－1是分別代表真值已知和未知兩種不同情況下的多余觀測數(shù)。5.4觀測值鎖的精度草評定式（5-13）可以用偶然誤差的特性來證明。將式（5-1）和式（5-11）的左右兩式分別相減，得5.4觀測值的捆精度評定由式（5-14）得式（5-15）中，右端第二項中的ΔiΔji≠j為任意兩個偶然誤差的乘積，它仍然具有偶然誤差的特性。根據(jù)偶然誤差的特性，有根據(jù)式（5-17），可以將式（5-1）演化為式（5-13）。式（5-13）是對于某一個量進行多次觀測（又稱“子樣統(tǒng)計”）而評定其精度的公式，是統(tǒng)計計算的常用公式之一。5.4觀測值的慌精度評定【例5-2】5.4觀測值伐的精度擁評定觀測值的函數(shù)5.5.1對某個瓶量（如焰一個角掏度、一稠段距離復）直接譯進行多虜次觀測熔，以求馬得最或短是值，胞計算觀聞測值的巨中誤差含，將其籮作為衡桃量精度撓的標準錯。但是植，在測疤量工作君中，有決一些需巡壽要知道捧的量并棚非是直遣接觀測匆值，而拌是需要議根據(jù)一膏些直接熱觀測值行用一定淹的數(shù)學校公式（則函數(shù)關斑系）計壇算得到因的，因顛此稱這脈些量為謎觀測值獎的函數(shù)邁。由于貿觀測值棍中含有身誤差，廈而使得冒函數(shù)受嚷其影響塵也含有搶誤差，果因此稱臺為誤差娘傳播。5.5誤差傳脾播定律和差函數(shù)1.例如，將兩點間的水平距離D分為n段來丈量，各段量得的長度分別為d1,d2，…,dn，則D=d1+d2+…+dn，即距離D是各分段觀測值d1,d2，…,dn之和。又如，一個水平角值是兩個方向觀測值之差。這些函數(shù)都稱為和差函數(shù)。5.5誤差傳婦播定律倍函數(shù)2.例如，用尺子在1∶1000的地形圖上量得兩點間的距離為d，其相應的實地距離D=1000d，則D是d的倍函數(shù)。5.5誤差傳播回定律線性函數(shù)3.例如，計算算術平均值的公式為式中，在直接觀測值li之前乘某一系數(shù)（不一定是相同的系數(shù)），并取其代數(shù)和。因此，可以把算術平均值看成是各個觀測值的線性函數(shù)。和差函數(shù)和倍函數(shù)也屬于線性函數(shù)。5.5誤差傳播紐奉定律一般函數(shù)4.

例如，用三角高程測量方法得到兩點間的高差h是通過測量斜距S和豎直角α，按公式h=Ssinα計算得到的。凡是在變量之間用數(shù)學運算符乘、除、乘方、開方、三角函數(shù)等組成的函數(shù)稱為非線性函數(shù)。線性函數(shù)和非線性函數(shù)總稱為一般函數(shù)。5.5誤差傳阻播定律設直接量辛得矩形的到長度a和寬度b，求其面憑積P，則P=a永b勵(5-岡19)一般函數(shù)的中誤差5.5.2矩形的面積誤差5.5誤差傳癥播定律式（5-19）是一個有兩個自變量a、b的一般函數(shù)。設a、b中包含偶然誤差Δa和Δb，分析由此產(chǎn)生的面積誤差ΔP。由于偶然誤差是一種微小量，誤差傳播是一種微分關系，因此將式（5-19）對a,b求偏微分，得將式（5-20）中的微分元素以偶然誤差代替，得ΔP=bΔa+aΔb（5-21）5.5誤差傳呆播定律

將式（5-21）與圖5-4相對照，可以看出bΔa與aΔb（兩小塊狹長矩形的面積）形成了矩形的面積誤差ΔP。由于ΔaΔb形成的—小塊面積屬于更高階的無窮小，因此可以忽略不計。這就是微分公式的幾何意義。5.5誤差傳暗播定律設對長度a和寬度b進行n次觀測，則有下列一組偶然誤差關系式成立。

5.5誤差傳播今定律個不同的偶然誤差的乘積仍然具有偶然誤差的性質，根據(jù)偶然誤差的特性，可知因此，由式（5-23）可得5.5誤差傳攔播定律5.5誤差傳誰播定律線性函數(shù)和倍函數(shù)的中誤差5.5.3設有線性函數(shù)Z=k1x1+k2x2+…+knxn

（5-26）式中，k1,k2,…,kn為任意常數(shù)，x1,x2,…,xn為獨立變量，其中誤差分別為m1,m2,…,mn。按照誤差傳播定律，因為

（5-27）5.5誤差傳盟播定律

5.5誤差傳平播定律5.5誤差傳臘播定律一次丈量送的中誤差爛為±1.5俘mm，其相對冒中誤差為0.0萬01龜5/1組20=非1/8皮00其00，其相康對精度疑尚不能權滿足規(guī)炸定的要紛求；而6次丈量的晌算術平均倍值的中誤返差為±0.露6m師m，其相對剝中誤差為0.0慨00抹6/1厭20=懸1/2存00黑000，其相領對精度紫已高于億規(guī)定的陳要求。設有倍函區(qū)數(shù)z=kx（5-2霸9）按照誤差思傳播定律華，倍函數(shù)緊的中誤差稼為mz=kmx(5-序30)5.5誤差傳播副定律【例5-3】5.5誤差傳肌播定律和差函數(shù)的中誤差5.5.4設有和差函數(shù)z=x1±x2±…±xn

（5-31）式中，x1,x2,…,xn為獨立變量，其中誤差為m1,m2,…,mn。因為和差函數(shù)也屬于線性函數(shù)，所以可按式（5-25）計算，并顧及k1=k2=…=kn=±1，可得到和差函數(shù)的中誤差為5.5誤差傳態(tài)播定律（1）一組觀頌測的結果著往往受到聲幾種獨立俘誤差來源暖的影響。隨例如，在鄰進行水平覽角觀測時炭，每一觀陶測方向同撲時受到對凍中、瞄準園、讀數(shù)、倦儀器誤差替和大氣折鵲光等的影須響，此時散不一定能白用式（5-2庭6）或式（5-3溜1）來表達糟所觀測方宵向與這些檔因素的函輩數(shù)關系，世但是可以搖認為觀測譽結果中所同含的偶然技誤差為這指些因素的核偶然誤差揭的代數(shù)和神，即式中，Δf為觀測結叨果的偶然惕誤差；Δz為對中言偶然誤肺差；Δn為瞄準偶于然誤差；Δd為讀數(shù)偶顛然誤差；Δy為儀器誤顯差的偶然殲誤差；Δq為大氣榨折光偶灶然誤差誰。5.5誤差傳某播定律（2）如果可以估算出每種誤差來源的中誤差，則可以用和差函數(shù)的中誤差的公式來估算方向觀測值的中誤差，即式中，mf為觀測結果的中誤差；mz為對中中誤差；mn為瞄準中誤差；md為讀數(shù)中誤差；my為儀器誤差的中誤差；mq為大氣折光中誤差。5.5誤差傳賠播定律（3）瞄準誤差和讀數(shù)誤差為方向觀測中的主要誤差來源，設其中誤差均為±2″，其余因數(shù)的中誤差各為±1″，則方向觀測的中誤差為（5）在實憲際工作李中，可茅以根據(jù)扣所用經(jīng)茄緯儀的各規(guī)格和勾實驗數(shù)林據(jù)來確側定各項舟誤差來甩源的具真體數(shù)值給，以估隨算mf和ma。（4）水平角值是由兩個方向觀測值相減而得，按照等精度的和差函數(shù)中誤差計算公式得到水平角的中誤差ma為5.5誤差傳播許定律鋼尺量距的精度5.6.15.6誤差傳播刪定律的應中用用長度為l的鋼尺丈量一段水平距離D，共量n個尺段，設一個尺段的量距中誤差為m，求得距離D的中誤差為mD，則函數(shù)式為D=l1+l2+…+ln根據(jù)式（5-32）得mD=±m(xù)n，將尺段數(shù)n=D/l代入該式，得用一定長度的鋼尺在一定的觀測條件下量距。令角度測量的精度5.6.2水平角觀測的精度1.用DJ6級經(jīng)緯儀觀測水平角，根據(jù)儀器的設計標準，一測回方向觀測的中誤差m=±6″，角度為兩個方向值之差，故一測回水平角觀測（僅包含瞄準與讀數(shù)）的中誤差mβ=。由于一測回的水平角值取盤左、盤右兩個半測回角度值的平均值，故半測回水平角值的中誤差，盤左、盤右水平角值之差的中誤差。取2倍中誤差為極限誤差，則限差為±34″。因此，用DJ6級經(jīng)緯儀觀測水平角，盤左、盤右分別測得水平角值之差允許值一般規(guī)定為±40″。5.6誤差傳夕播定律標的應用多邊形角度閉合差的規(guī)定2.n邊形的內角（水平角β）之和在理論上應該是n－2×180°，即由此可見，角度閉合差為各角之和的函數(shù)，角度閉合差的中誤差即為各角之和的中誤差。由于各個角度為等精度觀測，其中誤差為mβ，則各角之和的中誤差為如果以2倍中誤差為極限誤差，則允許的角度閉合差為5.6誤差傳播浪定律的應血用水準測量的精度5.6.3兩次測定高差時的誤差規(guī)定1.一次測定兩點間高差的公式為h=a－b。設前視或后視在水準尺上讀數(shù)的中誤差m=±1mm，則一次測定高差的中誤差。兩次測定高差之差的計算公式為Δh=h1－h(huán)2=a1－b1－a2－b2，則高差之差的中誤差。如果以2倍中誤差為極限誤差，則為±4mm。另外，考慮到在水準測量中還有水準管氣泡置平誤差的影響，故一般規(guī)定用DS3級水準儀兩次測定高差之差的絕對值不得超過5mm。5.6誤差傳播滿定律的應誓用水準路線的高差測定誤差2.設在兩水準點之間的一條水準路線上進行水準測量，共設n個測站，兩點間的高差為各測站所測高差的總和，即

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