2018年數(shù)學(xué)真題及解析-2018年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)ⅱ）

2018年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)口）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選

項中，只有一項是符合題目要求的。

1.（5.00分）l+2i=（）

l-2i

2.（5.00分）已知集合A={（x,y）x2+y2^3,xGZ,yGZ）,則A中元素的個

數(shù)為（）

A.9B.8C.5D.4

3.（5.00分）函數(shù)f（x）=U_的圖象大致為（）

2

X

:-;一

A.1B.

.;

4.（5.00分）已知向量g,百黃足G=1，”b=T，則（22?b）=（）

A.4B.3C.2D.0

22

5.⑸。。分）雙曲線.方b>0）的離心率為則其漸近線方程

ab

為（）

A.y二±J5（B?y=±J^xC.D.y=±2L^x

22

6.（5.00分）^EAABC中，cos”叵BC=1,AC=5,則AB=（）

25

A.4&B.V30C.V29D.2-75

7.（5.00分）為計算s=i-LL-L+...+L-」_,設(shè)計了如圖的程序框圖，則

23499100

在空白框中應(yīng)填入（）

A.i=i+lB.i=i+2C.i=i+3D.i=i+4

8.（5.00分）我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成

果.哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和"，如

30=7+23.在不超過30的素數(shù)中，隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率

是（）

A.B.C.D.

12141518

9.（5.00分）在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1,AAi=?,則異面直線ADi

與DBi所成角的余弦值為（）

A.LB.返C.返D.返

5652

10.（5.00分）若f（x）=cosx-sinx在［-a,a］是減函數(shù)，貝Ua的最大值是（）

A.—B.—C.12LD.R

424

11.（5.00分）已知f（x）是定義域為（-8,+oo）的奇函數(shù)，滿足f（1-x）

=f(1+x),若f(1)=2,貝Ijf(1)+f(2)+f(3)+...+f(50)=()

A.-50B.0C.2D.50

22

12.(5.00分)已知Fi,Fz是橢圓C：(a>b>0)的左、右焦點，A是

2,2

ab

C的左頂點，點P在過A且斜率為近的直線上，△PF1F2為等腰三角形，Z

6

FiF2P=120。，則C的離心率為()

A.2B.工C.LD.工

3234

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（5.00分）曲線y=2ln（x+1）在點（0,0）處的切線方程為.

'x+2y-5>0

14.（5.00分）若x,y滿足約束條件,x-2y+3>0，則z=x+y的最大值為.

,x-540

15.（5.00分）已知sina+cosB=l,cosa+sin0=O,則sin（a+0）=.

16.（5.00分）已知圓錐的頂點為S,母線SA,SB所成角的余弦值為工，SA與圓

8

錐底面所成角為45。，若ASAB的面積為5，記，則該圓錐的側(cè)面積為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21

題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根要求作

答。（一）必考題：共60分。

17.（12.00分）記Sn為等差數(shù)列5｝的前n項和，已知ai=-7,S3=-15.

（1）求｛an｝的通項公式；

（2）求Sn，并求Sn的最小值.

18.（12.00分）如圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y（單位：

億元）的折線圖.

為了預(yù)測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了y與時間變量t的兩個

線性回歸模型.根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)（時間變量t的值依次為1,2,

17）建立模型①：-30.4+13.5t；根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時間變量t

的值依次為1，2,7）建立模型②：y=99+17.5t.

（1）分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值；

（2）你認(rèn)為用哪個模型得到的預(yù)測值更可靠？并說明理由.

19.（12.00分）設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點為F,過F且斜率為k（k>0）的直線

I與C交于A,B兩點，|AB|=8.

（1）求I的方程；

（2）求過點A,B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程.

20.（12.00分）如圖，在三棱錐P-ABC中，AB=BC=2&,PA=PB=PC=AC=4,0

為AC的中點.

（1）證明：PO_L平面ABC；

（2）若點M在棱BC上，且二面角M-PA-C為30。，求PC與平面PAM所成角

的正弦值.

21.(12.00分)已知函數(shù)f(x)=ex-ax2.

(1)若a=l,證明：當(dāng)x'O時，f(x)

(2)若f(x)在(0,+8)只有一個零點，求a.

(二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，

則按所做的第一題計分。［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

分)在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為［為

22.(10.00xOyCx=2cos9,(Q

［y=4sin0

參數(shù))，直線I的參數(shù)方程為卜口+tcosa,(t為參數(shù)).

［y=2+tsind

(1)求C和I的直角坐標(biāo)方程；

(2)若曲線C截直線I所得線段的中點坐標(biāo)為(1,2),求I的斜率.

［選修4-5：不等式選講］

23.設(shè)函數(shù)f(x)=5-|x+a|-x-21.

(1)當(dāng)a=l時，求不等式f(x)20的解集;

(2)若f(x)W1,求a的取值范圍.

2018年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)口）

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選

項中，只有一項是符合題目要求的。

1.（5.00分）1+2i=（）

l-2i

A.B._J.4J.jC./

55555555

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法的運(yùn)算法則化簡求解即可.

【解答】解：））

l±2L=（H2i（H2i=J.+￡

l-2i（l-2i）（l+2i）55

故選：D.

【點評】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，是基本知識的考查.

2.（5.00分）已知集合A={（x,y）|x2+y2^3,x《Z,yGZ）,則A中元素的個

數(shù)為（）

A.9B.8C.5D.4

【分析】分別令x=-l,0,1,進(jìn)行求解即可.

【解答】解：當(dāng)x=-1解W&2,得y=-l,0,1,

當(dāng)x=0時，y2W3,得y=-l,0,1,

當(dāng)x=l時，y2W2,得丫=-1,0,1,

即集合A中元素有9個，

故選：A.

【點評】本題主要考查集合元素個數(shù)的判斷，利用分類討論的思想是解決本題的

關(guān)鍵.

3.（5.00分）函數(shù)f（x）=至2亙二的圖象大致為（）

2

【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，利用函數(shù)的定點的符號的特點分別進(jìn)行判斷即可.

—xxX-X

【解答】解：函數(shù)f(-x)=ee=_￡.二(x),

r、22

Lx)x

則函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，排除A,

當(dāng)x=l時，f(1)=e-J->0,排除D.

e

當(dāng)X>>+8時，f(x)玲+8,排除C,

故選:B.

【點評】本題主要考查函數(shù)的圖象的識別和判斷，利用函數(shù)圖象的特點分別進(jìn)行

排除是解決本題的關(guān)鍵.

4.(5.00分)已知向量』，盲髓足G=l,z?b=-1,則9(2；V)=()

A.4B.3C.2D.0

【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積公式計算即可.

【解答】解：向量a，淵足Ial=l,e?b=-貝1Ja?(2a-b)=21?-a，b=2+l=3,

故選:B.

【點評】本題考查了向量的數(shù)量積公式，屬于基礎(chǔ)題

5.（5.00分）雙曲線號氣:1（a>0,b>0）的離心率為百，則其漸近線方程

為（）

D.y=±2Zix

A.y=±72<B.y=±7sxC.y=

2

【分析】根據(jù)雙曲線離心率的定義求出a,c的關(guān)系，結(jié)合雙曲線a,b,c的關(guān)

系進(jìn)行求解即可.

【解答】解：???雙曲線的離心率為e=S=b，

則良

即雙曲線的漸近線方程為丫=±壇<=±揚(yáng),

故選：A.

【點評】本題主要考查雙曲線漸近線的求解，結(jié)合雙曲線離心率的定義以及漸近

線的方程是解決本題的關(guān)鍵.

6.（5.00分）在aABC中，cosL返，BC=1,AC=5,則AB=（）

25

A.4&B.V30C.V29D.2A/5

【分析】利用二倍角公式求出C的余弦函數(shù)值，利用余弦定理轉(zhuǎn)化求解即可.

【解答】解：在△ABC中，cosg=Y5,cosC=2X（近.）2_廣-工

2555

BC=1,AC=5,則ABWBC2+AC2-2BOACC0SEJ1+25+2X1X5X"|=疝=外歷.

故選:A.

【點評】本題考查余弦定理的應(yīng)用，考查三角形的解法以及計算能力.

7.（5.00分）為計算S=l-L+L設(shè)計了如圖的程序框圖，則

23499100

在空白框中應(yīng)填入（）

A.i=i+lB.i=i+2C.i=i+3D.i=i+4

【分析】模擬程序框圖的運(yùn)行過程知該程序運(yùn)行后輸出的S=N-T,

由此知空白處應(yīng)填入的條件.

【解答】解：模擬程序框圖的運(yùn)行過程知，

該程序運(yùn)行后輸出的是

S=N-T=（1-+...+（_J^.--1—）；

23499100

累加步長是2,則在空白處應(yīng)填入i=i+2.

故選：B.

【點評】本題考查了循環(huán)程序的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

8.（5.00分）我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成

果.哥德巴赫猜想是"每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和"，如

30=7+23.在不超過30的素數(shù)中，隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率

是（）

A.B.C.D.

12141518

【分析】利用列舉法先求出不超過30的所有素數(shù)，利用古典概型的概率公式進(jìn)

行計算即可.

【解答】解：在不超過30的素數(shù)中有，2,3,5,7,11,13,17,19,23,29

共10個，

從中選2個不同的數(shù)有c2=45種，

^10

和等于30的有(7,23),(11,19),(13,17),共3種，

則對應(yīng)的概率P=_L=」_,

4515

故選：C.

【點評】本題主要考查古典概型的概率的計算，求出不超過30的素數(shù)是解決本

題的關(guān)鍵.

9.(5.00分)在長方體ABCD-AiBiCiDi中，AB=BC=1,AAi=我，則異面直線ADi

與DBi所成角的余弦值為()

A.1B.近■C.1D.返

5652

【分析】以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DDi為z軸，建立空間直角坐標(biāo)

系，利用向量法能求出異面直線ADi與DBi所成角的余弦值.

【解答】解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DDi為z軸，建立空間直角

坐標(biāo)系，

,/在長方體ABCD-AiBiCiDi中，AB=BC=1,

AAI=^3，

AA(1,0,0),Di(0,0,?),D(0,0,0),

Bi(1,1,y/~3),

西=(-1,0,遮)，函=(1,1,y)，

設(shè)異面直線ADi與DBi所成角為0,

IAD7-DB7Io衣

貝nUlcos9=-------~~——L——=2

|ADtI-|DBj|2V55

.?.異面直線ADi與DBi所成角的余弦值為運(yùn).

5

故選：C.

【點評】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面

面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)

題.

10.(5.00分)若f(x)=cosx-sinx在［-a,a］是減函數(shù)，則a的最大值是()

A.2LB.2Lc.^2LD.K

424

【分析】利用兩角和差的正弦公式化簡f(x),由與2kn＜xT45+2k兀，

kGZ,得彳+2k兀兀+2k兀，kWZ,取k=0,得f(x)的一個減區(qū)間為［一^，

3兀］,結(jié)合已知條件即可求出a的最大值.

4

【解答】解：f(x)=cosx-sinx=-(sinx-cosx)=

由一^-+2k兀兀，

得號+2k兀＜x＜卷兀+2k兀，k￡Z,

取k=0,得f(x)的一個減區(qū)間為［工，2兀］,

44

由f(x)在［-a,a］是減函數(shù)，

-a>3

得7T

/3兀W

a44

則a的最大值是生.

4

故選：A.

【點評】本題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式的應(yīng)用，三角函數(shù)的求值，屬于

基本知識的考查，是基礎(chǔ)題.

11.(5.00分)已知f(x)是定義域為(-8,+oo)的奇函數(shù)，滿足f(1-x)

=f(1+x),若f(1)=2,貝ijf(1)+f(2)+f(3)+...+f(50)=()

A.-50B.0C.2D.50

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和對稱性的關(guān)系求出函數(shù)的周期是4,結(jié)合函數(shù)的周期

性和奇偶性進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.

【解答】Vf(x)是奇函數(shù)，Kf(1-x)=f(1+x),

.*.f(1-x)=f(1+x)=-f(x-1),f(0)=0,

則f(x+2)=-f(x),則f(x+4)=-f(x+2)=f(x),

即函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)，

Vf(1)=2,

Af(2)=f(0)=0,f(3)=f(1-2)=f(-1)=-f(1)=-2,

f(4)=f(0)=0,

則f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0,

則f(1)+f(2)+f(3)+..+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(49)

+f(50)

=f(1)+f(2)=2+0=2,

故選：C.

【點評】本題主要考查函數(shù)值的計算，根據(jù)函數(shù)奇偶性和對稱性的關(guān)系求出函數(shù)

的周期性是解決本題的關(guān)鍵.

22

12.(5.00分)已知Fi,F2是橢圓C：=(a>b>0)的左、右焦點，A是

a2,b2

C的左頂點，點P在過A且斜率為近的直線上，△PF1F2為等腰三角形，Z

6

FiF2P=120。，則C的離心率為()

A.2B.2C.LD.上

3234

【分析】求得直線AP的方程：根據(jù)題意求得P點坐標(biāo)，代入直線方程，即可求

得橢圓的離心率.

【解答】解：由題意可知：

A(-a,0),Fi(-c,0),F2(C,0),

直線AP的方程為：丫專(x+a),

由則后),

NFiF2P=120°,|PF2|=|FIF2|=2C,P(2C,

代入直線AP：^^=返(2c+a),整理得：a=4c,

6

二題意的離心率e=2L.

a4

【點評】本題考查橢圓的性質(zhì)，直線方程的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(5.00分)曲線y=2ln(x+1)在點(0,0)處的切線方程為v=2x.

【分析】欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=0處的

導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率.從而問題解決.

【解答】解：???y=2ln(x+1),

當(dāng)x=0時，y'=2,

曲線y=2ln(x+1)在點(0,0)處的切線方程為y=2x.

故答案為：y=2x.

【點評】本小題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某

點切線方程等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力.屬于基礎(chǔ)題.

x+2y-5>0

14.(5.00分)若x,y滿足約束條件<x-2y+3>0，則z=x+v的最大值為9.

.x-540

【分析】由約束條件作出可行域，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，代

入目標(biāo)函數(shù)得答案.

x+2y-5>0

【解答】解：由x,y滿足約束條件x-2y+3>0作出可行域如圖，

,x-540

化目標(biāo)函數(shù)z=x+y為y=-x+z,

由圖可知，當(dāng)直線y=-x+z過A時，z取得最大值，

由1x=5,解得A(5,4),

Ix-2y+3=0

目標(biāo)函數(shù)有最大值，為z=9.

故答案為：9.

【點評】本題考查了簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔

題.

15.(5.00分)已知sina+cos)=l,cosa+sinP=0,則sin(a+P)=__JL_.

~2~

【分析】把已知等式兩邊平方化簡可得2+2(sinacosp+cosasinp)=1,再利用兩

角和差的正弦公式化簡為2sin(a+B)=-1,可得結(jié)果.

【解答】解:sina+cosp=l,

兩邊平方可得：sin2a+2sinacosp+cos2P=l,①，

cosa+sinp=0,

兩邊平方可得：cos2a+2cosasin[3+sin2P=0,②，

由①+②得：2+2(sinacosp+cosasinp)=1,即2+2sin(a+p)=1,

2sin(a+p)=-1.

Asin(a+p)=_X.

2

故答案為：-1.

2

【點評】本題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式的應(yīng)用，三角函數(shù)的求值，屬于

基本知識的考查，是基礎(chǔ)題.

16.(5.00分)已知圓錐的頂點為S,母線SA,SB所成角的余弦值為工，SA與圓

8

錐底面所成角為45。，若aSAB的面積為57Tm則該圓錐的側(cè)面積為40'后.

【分析】利用已知條件求出圓錐的母線長，利用直線與平面所成角求解底面半徑,

然后求解圓錐的側(cè)面積.

【解答】解：圓錐的頂點為S,母線SA,SB所成角的余弦值為工，可得sinZ

8

ASB=/《產(chǎn)陪

△SAB的面積為5任，

可得LsA2sinNASB=5VT^,即SA=4娓.

228

SA與圓錐底面所成角為45。，可得圓錐的底面半徑為：亨X4V手2伍.

則該圓錐的側(cè)面積：1x4V10X47^=40^-

故答案為：40折.

【點評】本題考查圓錐的結(jié)構(gòu)特征，母線與底面所成角，圓錐的截面面積的求法,

考查空間想象能力以及計算能力.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21

題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根要求作

答。(一)必考題：共60分。

分)記為等差數(shù)列國｝的前項和，已知

17.(12.00Snnai=-7,S3=-15.

(1)求｛an｝的通項公式;

(2)求Sn，并求Sn的最小值.

【分析】(1)根據(jù)ai=-7,S3=-15,可得ai=-7,3ai+3d=-15,求出等差數(shù)列

｛an｝的公差，然后求出an即可;

由2=r|2n=

(2)ai=-7,d=2,an=2n-9,WSn=y(ai+a^)=-^-(2n-16n)~g(n

2由此可求出以及的最小值.

-4)-16,SnSn

【解答】解:(1),等差數(shù)列｛aj中，ai=-7,S3=-15,

/.ai=-7,3ai+3d=-15,解得ai=-7,d=2,

an=-7+2(n-1)=2n-9；

(2)Vai=-7,d=2,an=2n-9,

ASn=2=n28n=(n-4)216>

y(ai+an)=y(2n-l6n)_-

...當(dāng)n=4時，前n項的和Sn取得最小值為-16.

【點評】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式，考查了等差數(shù)列的前n項的和公

式，屬于中檔題.

18.(12.00分)如圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y(單位：

億元)的折線圖.

籌資額.

240

220

200

180

160

140

120

100

80

60

40

20

0

20002001200220032004200520062007200820092010201120122013201420152016年份

為了預(yù)測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了y與時間變量t的兩個

線性回歸模型.根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)（時間變量t的值依次為1,2,...?

17）建立模型①：y=-30.4+13.5t；根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時間變量t

的值依次為1,2,7）建立模型②:y=99+17.5t.

（1）分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值；

（2）你認(rèn)為用哪個模型得到的預(yù)測值更可靠？并說明理由.

【分析】（1）根據(jù)模型①計算t=19時？的值，根據(jù)模型②計算t=9時？的值即可;

（2）從總體數(shù)據(jù)和2000年到2009年間遞增幅度以及2010年到2016年間遞增

的幅度比較，

即可得出模型②的預(yù)測值更可靠些.

【解答】解：（1）根據(jù)模型①：y=-30.4+13.5t,

計算t=19時，y=-30.4+13.5X19=226.1；

利用這個模型，求出該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值是226.1億

元；

根據(jù)模型②：?=99+17.5t,

計算t=9時,7=99+17.5X9=256.5；.

利用這個模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值是256.5億元;

（2）模型②得到的預(yù)測值更可靠；

因為從總體數(shù)據(jù)看，該地區(qū)從2000年到2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額是逐年上

升的，

而從2000年到2009年間遞增的幅度較小些，

從2010年到2016年間遞增的幅度較大些，

所以，利用模型②的預(yù)測值更可靠些.

【點評】本題考查了線性回歸方程的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

19.（12.00分）設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點為F,過F且斜率為k（k>0）的直線

I與C交于A,B兩點，|AB|=8.

(1)求I的方程；

(2)求過點A,B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程.

【分析】(1)方法一：設(shè)直線AB的方程，代入拋物線方程，根據(jù)拋物線的焦點

弦公式即可求得k的值，即可求得直線I的方程；

方法二：根據(jù)拋物線的焦點弦公式點弦=%求得直線AB的傾斜角，即可

sin2e

求得直線I的斜率，求得直線I的方程；

(2)根據(jù)過A,B分別向準(zhǔn)線I作垂線，根據(jù)拋物線的定義即可求得半徑，根據(jù)

中點坐標(biāo)公式，即可求得圓心，求得圓的方程.

【解答】解：(1)方法一：拋物線C：y2=4x的焦點為F(1,0),當(dāng)直線的斜率

不存在時，|AB=4,不滿足；

設(shè)直線AB的方程為：y=k(x-1),設(shè)A(xi，yi),B(x2,丫2),

2

則［尸k(X-l),整理得：k2x2_2(k2+2)x+k=0,則Xl+X2=41二垃，X1X2=1,

ly2=4xk2

2

由IAB=Xi+x2+p=2(K-±2)+2=8,解得：\(2=1,則k=l,

k2

二直線I的方程y=x-1；

方法二：拋物線C：y2=4x的焦點為F(1,0),設(shè)直線AB的傾斜角為0,由拋物

線的弦長公式IAB1=——在——=——---=8,解得：siMe=_L,

sin29sin262

?,.0=—,則直線的斜率k=l,

4

直線I的方程y=x-1；

(2)由(1)可得AB的中點坐標(biāo)為D(3,2),則直線AB的垂直平分線方程為

y-2=-(x-3),即y=-x+5,

y0="x0+^

設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(xo,yo),則＜(y_x+i)2,

(x0+l)2=」~^一+16

Xn=3fXn=ll

解得：O或O，

7o=2

因此，所求圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=16或(X-11)2+(y+6)2=144.

【點評】本題考查拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，拋物線的焦點弦公

式，考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查轉(zhuǎn)換思想思想，屬于中檔題.

20.（12.00分）如圖，在三棱錐P-ABC中，AB=BC=2&,PA=PB=PC=AC=4,0

為AC的中點.

（1）證明：PO_L平面ABC；

（2）若點M在棱BC上，且二面角M-PA-C為30。，求PC與平面PAM所成角

的正弦值.

【分析】（1）利用線面垂直的判定定理證明POJ_AC,PO_LOB即可；

（2）根據(jù)二面角的大小求出平面PAM的法向量，利用向量法即可得到結(jié)論.

【解答】（1）證明：連接BO,

,/AB=BC=2&，。是AC的中點，

ABO±AC,且B0=2,

又PA=PC=PB=AC=2,

.*.PO±AC,P0=2y/s，

則PB2=PO2+BO2,

則P010B,

VOBnAC=O,

，PO,平面ABC；

(2)建立以。坐標(biāo)原點，OB,OC,OP分別為x,y,z軸的空間直角坐標(biāo)系如

圖：

A(0,-2,0),P(0,0,2百)，C(0,2,0),B(2,0,0),

BC=(-2,2,0),

設(shè)面i=疝3=(-2入，2入，0)，0V入VI

PIOAM=BM-BA=(-2入，2入，0)-(-2,-2,0)=(2-2入，2\+2,0),

則平面PAC的法向量為益(1,0,0),

設(shè)平面MPA的法向量為二(x,y,z),

則隹=(0，-2,-2愿)，

貝Un*PA=-2y-2A/^Z=0，n*AM=(2-2A)x+(2A+2)y=0

令z=l,則y=-百，x=.(入+?有,

1-入

即7((入+?我,-?，1),

1-A.

?.?二面角M-PA-C為30°,

/.cos30°=—35-^2_

Imllnl2

(入+1)我

解得入二^入=3（舍）,

3

則平面MPA的法向量—(2a，-如,1),

PC=(0,2,-2?),

PC與平面PAM所成角的正弦值sinB=|cosV正,三＞|=|-否-出|=±ZL返.

V16-V16164

【點評】本題主要考查空間直線和平面的位置關(guān)系的應(yīng)用以及二面角，線面角的

求解，建立坐標(biāo)系求出點的坐標(biāo)，利用向量法是解決本題的關(guān)鍵.

21.(12.00分)已知函數(shù)f(x)=ex-ax2.

(1)若a=l,證明：當(dāng)x20時，f(x)21；

(2)若f(x)在(0,+8)只有一個零點，求a.

【分析】(1)通過兩次求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可證明，

(2)方法一、分離參數(shù)可得a=q在(0,+8)只有一個根，即函數(shù)y=a與G

(X)=目的圖象在(0,+8)只有一個交點.結(jié)合圖象即可求得a.

x2

方法二、：①當(dāng)aWO時，f(x)=ex-ax2>0,f(x)在(0,+~)沒有零點..

②當(dāng)aWO時，設(shè)函數(shù)h(x)=1-ax2e-x.f(x)在(0,+°°)只有一個零點0h

(x)在(0,+8)只有一個零點.

利用h'(x)=x(x-2)ex,可得h(x))在(0,2)遞減，在(2,+°°)遞增,

結(jié)合函數(shù)h(x)圖象即可求得a.

【解答】證明：(1)當(dāng)a=l時，函數(shù)f(x)=ex-x2.

則fz(x)=ex-2x,

令g(x)=ex-2x,則g，(x)=ex-2,

令g'(x)=0,得x=ln2.

當(dāng)(0,In2)時，gz(x)<0,當(dāng)xW(In2,+°°)時，gz(x)>0,

.*.g(x)2g(In2)=e,n2-2?ln2=2-2ln2>0,

，f(x)在［0,+8)單調(diào)遞增，.?.f(x)Nf(0)=1,

解：(2)方法一、，f(x)在(0,+8)只有一個零點=方程ex-ax2=0在(0,+

8)只有一個根，

=>3=匚在(0,+°°)只有一個根，

2

x

即函數(shù)y=a與G(x)二至的圖象在(0,+8)只有一個交點.

X

X。

當(dāng)xW(0,2)時，Gz(x)<0,當(dāng)W(2,+8)時，G'(x)>0,

：.G(x)在(0,2)遞減，在(2,+8)遞增，

當(dāng)->0時，G(x)->+°°,當(dāng)->+8時，G(x)->+°°,

2

Af(x)在(0,+8)只有一個零點時，a=G(2)=￡_.

4

方法二：①當(dāng)aWO時，f(x)=ex-ax2>0,f(x)在(0,+?>)沒有零點..

②當(dāng)a>0時，設(shè)函數(shù)h(x)=1-ax2e-x.f(x)在(0,+°°)只有一個零點0h

(x)在(0,+8)只有一個零點.

卜(x)=x(x-2)ex,當(dāng)xG(0,2)時，hz(x)<0,當(dāng)xG(2,+°°)時，

hz(x)>0,

Ah(x))在(0,2)遞減，在(2,+8)遞增，二h(x)mm=M2)=l普，(x20).

e

2

當(dāng)h(2)V0時，即a>J,由于h(0)=1,

4

333

且當(dāng)x>0時，ex>x2,可得h(4a)=1-—=1->1―-->0.h

儲4

e4a2a)2(2a)a

(x)在(0,+8)有2個零點

2

當(dāng)h（2）>0時，即h（x）在（0,+8）沒有零點，

4

2

當(dāng)h（2）=0時，即2=￡_,h（x）在（0,+8）只有一個零點，

4