工程制圖-第三章點-直線、平面分析

工程制圖-第三章點-直線、平面分析第一頁，共74頁。任何立體都可以看作是點的集合。點是基本幾何要素，研究點的投影性質(zhì)和規(guī)律是掌握其他幾何要素投影的基礎(chǔ)。如左圖所示，過空間點A向投影面作投射線（即垂線），A點在投影面上的投影為a。反之，若已知投影a，不能唯一確定點A的空間位置。確定一個空間點至少需要兩個投影。上一頁下一頁回章節(jié)目錄第一節(jié)點的投影2023/4/292機械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌第二頁，共74頁。

V面投影，標(biāo)記a′稱正面投影A

點

與ox軸交點ax

H面投影，標(biāo)記a，稱正面投影分析：ox⊥Aa、ox⊥a′ax、ox⊥aax投影平面展開連線得aa′

⊥ox

Aa′=aaxa′ax=Aa上一頁下一頁回章節(jié)目錄1．點的兩面投影2023/4/293機械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌第三頁，共74頁。（1）點的投影連線垂直于投影軸，即aa′⊥OX。（2）點的投影到投影軸的距離，反映該點到相鄰?fù)队懊娴木嚯x，即aax＝Aa′、a′ax＝Aa。

點在兩投影面體系中的投影規(guī)律上一頁下一頁回章節(jié)目錄2023/4/294機械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌第四頁，共74頁。1.三投影面體系的建立

A

（空間點）到W面投影，標(biāo)記a“,稱側(cè)面投影得a‘a(chǎn)“

⊥oz展開W、HOY軸一分為二OYh、OYw點三面投影動畫演示上一頁下一頁回章節(jié)目錄二、點在三投影面體系中的投影點三面投影展開動畫演示2023/4/295機械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌第五頁，共74頁。（1）點的投影連線⊥相應(yīng)的投影軸。即a′a⊥OX、a′a″⊥OZ

（2）空間點到投影面的距離=該點在另外兩投影面的投影到相應(yīng)投影軸的距離。az

a″=a

ax=Aa′(寬y相等）作圖要求：作圖線用細(xì)實線，點用黑點標(biāo)出。上一頁下一頁回章節(jié)目錄2.點在三投影面體系中的投影規(guī)律：2023/4/296機械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌第六頁，共74頁。分析：由于已知點A的正面投影和水平投影，則A點的空間位置可以確定，因此可作出其側(cè)面投影。作圖：過a作OYH的垂線與45o輔助線相交，過交點作OYW的垂線與過a′的水平線相交，交點即為

a″。a′aYwYhxoa″z上一頁下一頁回章節(jié)目錄【例一】已知點A的正面投影a′和水平投影a，求A的側(cè)面投影a″。

思考：點A到哪個投影面距離近動畫演示2023/4/297機械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌第七頁，共74頁。1.點A（xA、yA、zA）的投影與坐標(biāo)關(guān)系：xA＝aZa′＝aYHa＝a″A（點到W面的距離）

yA＝＝aXa＝aZa″＝a′A（點到V面的距離）zA＝aXa′＝aYWa″＝aA（點到H面的距離）

點的投影坐標(biāo)表示：a′（x,o,z)、a″（o,y,z)、a（x,y,o)三、點的投影與直角坐標(biāo)的關(guān)系下一頁上一頁回章節(jié)目錄2023/4/298機械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌第八頁，共74頁。投影面上點的投影特性：1）點的一個投影與空間點本身重合；2）點的另兩個投影在相應(yīng)的坐標(biāo)軸上；投影軸上的點的投影特性：1）點的兩個投影與空間點本身重合；2）點的另一個投影在原點；2.特殊位置點：下一頁上一頁回章節(jié)目錄2023/4/299機械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌第九頁，共74頁。分析：由于yA＝0，則點A在V面上，而zB＝0，點B在H面上，又由于yC=0，zC=0，點COX軸上。作圖：（見下圖）YwxoYHza′aa″bb′b″c′c(c″)上一頁下一頁回章節(jié)目錄【例二】已知點A的坐標(biāo)（20，0，10），點B的坐標(biāo)（30，10，0）；點C的坐標(biāo)（15，0，0），求作各點的三面投影圖。2023/4/2910機械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌第十頁，共74頁。1.空間方位的約定：x坐標(biāo)增大的方向為向左的方向

；y坐標(biāo)增大的方向為向前的方向；z坐標(biāo)增大的方向為向上的方向2.點的相對位置的判別：x坐標(biāo)→判別左右的方向；y坐標(biāo)→判別前后的方向z坐標(biāo)→判別前后的方向上一頁下一頁回章節(jié)目錄三、兩點的相對位置兩點的相對位置動畫演示2023/4/2911機械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌第十一頁，共74頁?！纠恳阎cA的三面投影，并知B點在A點的左邊5mm,下邊10mm，后邊5mm，求B點的三面投影zxywyhoa′a″ab′b″b上一頁下一頁回章節(jié)目錄2023/4/2912機械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌第十二頁，共74頁。當(dāng)兩點的某兩個坐標(biāo)相同時，該兩點將處于同一投射線上，因而在由相同兩坐標(biāo)確定的投影面上具有重合的投影，則這兩投影稱為對該投影面的重影點。重影點要判別可見性：由兩點不同的坐標(biāo)的大小判別，坐標(biāo)大的可見，反之不可見。不可見點加括號。上一頁下一頁回章節(jié)目錄四、重影點重影點動畫演示2023/4/2913機械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌第十三頁，共74頁。上一頁下一頁回章節(jié)目錄第二節(jié)直線的投影一、概述一般位置直線（∠投影面，不反映實長）1.直線的分類投影面平行線（∥投影面、反映實長）特殊位置直線投影面垂直線（⊥投影面、積聚為一點）2.直線的投影特性

:直線的投影一般仍為直線（特殊為點）；直線的投影可連接線段兩個端點的同面投影來確定；直線的投影有類似性、真實性、積聚性等三個特性2023/4/2914機械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌第十四頁，共74頁。與水平投影面的傾角用α表示正面投影面的傾角用β表示側(cè)面投影面的傾角用γ表示

上一頁下一頁回章節(jié)目錄退回總目錄3.直線與投影面夾角的約定2023/4/2915機械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌第十五頁，共74頁。1．投影面平行線：(∥一個投影面而，∠另外兩個投影面)正平線(∥V面；∠H、W面）水平線(∥H面；∠V、W面）側(cè)平線(∥W面；∠V、H面）正平線動畫演示上一頁下一頁回章節(jié)目錄二、特殊位置直線水平線動畫演示側(cè)平線動畫演示2023/4/2916機械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌第十六頁，共74頁。上一頁下一頁回章節(jié)目錄正平線、水平線和側(cè)平線投影圖及投影特性

（1）a′b′反映實長，

反映角α、γ。（2）ab∥OX，a″b″∥OZ均小于實長。（1）a″b″反映實長，反映角α、β（2）a′b′∥OZab∥OYW均小于實長投影特性投影圖

正平線（AB∥V面）

水平線（AB∥H面）（1）ab反映實長，反映角β、γ。（2）a′b′∥OXa″b″∥OYH均小于實長。側(cè)平線（AB∥W面）名稱2023/4/2917機械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌第十七頁，共74頁。投影面平行線的投影特性如下：1）∥投影面上的投影，反映實長；夾角分別反映直線對另兩投影面的真實傾角。2）另外兩個投影面上的投影∥相應(yīng)的投影軸，長度縮短。投影面平行線實例動畫下一頁上一頁回章節(jié)目錄2023/4/2918機械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌第十八頁，共74頁。(⊥一個投影面而，∥另外兩個投影面)正垂線(⊥V面；∥H、W面）鉛垂線(⊥H面；∥V、W面）側(cè)垂線(⊥W面；∥V、H面）正垂線鉛垂線側(cè)垂線上一頁下一頁回章節(jié)目錄2．投影面垂直線2023/4/2919機械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌第十九頁，共74頁。上一頁下一頁回章節(jié)目錄正垂線（AB⊥V面）鉛垂線（AB⊥H面）側(cè)垂線（AB⊥W面）（1）ab積聚為一點（2）a′b′⊥OX，a″b″⊥OYW，a′b′、a″b″均反映實長。1）a″b″積聚為一點2）a′b′⊥OZ，ab⊥OYH，ab、a′b′均反映實長1）a′b′積聚為一點2）ab⊥OX，a″b″⊥OZ，ab,a″b″均反映實長名稱投影圖投影特性正垂線、鉛垂線和側(cè)垂線的投影及投影特性2023/4/2920機械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌第二十頁，共74頁。投影面垂直線的投影特性如下：（1）⊥投影面上的投影，積聚成一點。（2）另外兩個投影面上的投影，⊥相應(yīng)的投影軸，且反映實長。下一頁上一頁回章節(jié)目錄投影面垂直線實例動畫2023/4/2921機械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌第二十一頁，共74頁。（與三個投影面都傾斜的直線稱為一般位置直線）1.一般位置直線的投影特性為：（1）三個投影都與投影軸傾斜，長度都小于實長；（2）與投影軸的夾角都不反映直線對投影面的傾角。上一頁下一頁回章節(jié)目錄三、一般位置直線一般位置直線動畫演示2023/4/2922機械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌第二十二頁，共74頁。上一頁下一頁回章節(jié)目錄

*2.直角三角形法求直線實長及對投影面的傾角（1）求AB的實長和對水平投影面的傾角α（2）求AB的實長和對正投影面的傾角β（3）求AB的實長和對側(cè)投影面的傾角γ2023/4/2923機械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌第二十三頁，共74頁。|zA-zB

|AB1．求直線的實長及對水平投影面的夾角角|zA-zB|ABab|zA-zB||zA-zB|2023/4/2924機械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌第二十四頁，共74頁。2．求直線的實長及對正面投影面的夾角

角|yA-yB|aXabbABab|yA-yB||yA-yB|AB|yA-yB|2023/4/2925機械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌第二十五頁，共74頁。3．求直線的實長及對側(cè)面投影面的夾角

角ABbbabaa|xA-xB||xA-xB|2023/4/2926機械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌第二十六頁，共74頁。規(guī)律：用一般位置線的一個投影及對該面的坐標(biāo)差為二直角邊求作其實長和傾角的方法俗稱為直角三角形法。aa兩解30°aa兩解上一頁下一頁回章節(jié)目錄【例四】：已知線段的實長AB,求它的水平投影ab。

（思考：已知β=30°，求它的水平投影ab）2023/4/2927機械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌第二十七頁，共74頁。1.從屬性：點在線上，則點的各個投影必定在該直線的同面投影上，反之,點的各個投影在線的同面投影上,則該點一定在直線上。

利用這一特性可在線上找點或判斷已知點是否在線上。

2.定比性：點分線段長度比等于其投影分線段投影長度之比。(定比定則AC：CB＝ac：cb＝a′c′：c′b′＝a″c″：c″b″利用這一特性在不作出側(cè)面投影的情況下，在線上找點或判斷已知點是否在線上。上一頁下一頁回章節(jié)目錄五、直線上的點（線上找點）直線上點的投影動畫2023/4/2928機械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌第二十八頁，共74頁。cc[例題五]已知線段AB的投影圖，試將AB分成2﹕1兩段，求分點C的投影c、c

。2023/4/2929機械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌第二十九頁，共74頁。[例題六]已知點C在線段AB上，求點C的正面投影。cccabc2023/4/2930機械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌第三十頁，共74頁。上一頁下一頁回章節(jié)目錄（變化：已知m、m′判斷點M是否在AB上）思考：不求側(cè)面投影，用定比性來判斷點M是不是直線AB上的點。

2023/4/2931機械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌第三十一頁，共74頁?？臻g兩直線的相對位置有三種情況：平行、相交（亦稱共面直線）交叉（亦稱異面直線）

1．兩直線平行若空間兩直線平行，則三個面同面投影必定互相平行。反之，若直線同面投影都（三面）互相平行，則兩直線在空間必定互相平行。上一頁下一頁回章節(jié)目錄五、兩直線的相對位置兩直線平行動畫2023/4/2932機械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌第三十二頁，共74頁?！纠摺颗袛鄡蓚?cè)平線AB、CD的相對位置（如下圖

）AB、CD平行上一頁下一頁回章節(jié)目錄注意：1)對于一般位置直線，有兩組同面投影相互平行，即可判斷空間兩直線相互平行。2)若直線為投影面的平行線，則要根據(jù)直線所平行的投影面上投影是否平行來斷定它們在空間是否平行。(即畫出第三面投影判斷)2023/4/2933機械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌第三十三頁，共74頁。【例八】判斷兩側(cè)平線AB、CD的相對位置（如下圖

）AB、CD交叉上一頁下一頁回章節(jié)目錄1″(2″)1′2′2023/4/2934機械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌第三十四頁，共74頁。注意：1)對兩一般位置線，若兩組同面投影都相交，且兩投影交點符合點的投影規(guī)律，則空間兩直線相交。2)若兩直線有一直線為投影面平行面時，則兩組同面投影中必須包括直線所平行的投影面上的投影。(即畫出第三面投影判斷)上一頁下一頁回章節(jié)目錄2．相交兩直線：

空間兩直線若相交，它們的同面投影必定相交，且交點必定符合點的投影規(guī)律。相交兩直線動畫2023/4/2935機械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌第三十五頁，共74頁。c″d″a″b″1′1′d′c′1′ZyHyw方法二：定比定則（如右下圖）上一頁下一頁回章節(jié)目錄【例九】判斷兩直線AB、CD的相對位置方法一：求第三投影2023/4/2936機械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌第三十六頁，共74頁。（1）交叉兩直線在同一投影面上的交點為對該投影面的一對重影點，可從另一投影中用前遮后、上遮下、左遮右的原則來判別它們的可見性。

重影點重影點ⅡⅠ上一頁下一頁回章節(jié)目錄3．交叉兩直線：

既不平行又不相交的兩直線稱為交叉兩直線。2023/4/2937機械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌第三十七頁，共74頁。（2）交叉兩直線的投影可能會有一組或二組是互相平行，但決不會三組同面投影都互相平行，（3）交叉兩直線的投影也可能是相交的，但各個投影的交點一定不符合同一點的投影規(guī)律。1″(2″)1′2′上一頁下一頁回章節(jié)目錄2023/4/2938機械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌第三十八頁，共74頁。e′f′f上一頁下一頁回章節(jié)目錄【例十】已知直線AB、CD的兩面投影和點E的水平投影e，求作直線EF與CD平行，并與AB相交于點F。2023/4/2939機械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌第三十九頁，共74頁。空間垂直相交的兩直線，若其中一直線為投影面平行線，則兩直線在該投影面上的投影互相垂直。也稱為直角投影定理。反之，相交兩直線在某一投影面上的投影互相垂直，若其中有一直線為該投影面的平行線，則這兩直線是空間互相垂直的兩直線。

此投影特性也適用于交叉垂直的兩直線。如上圖當(dāng)CB直線不動，水平線AB平行上移時，ab與cb仍互相垂直。

上一頁下一頁回章節(jié)目錄四、一邊平行于投影面的直角投影

（直角投影定理）2023/4/2940機械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌第四十頁，共74頁。[例十一]過點C作線段CD與線段AB垂直相交。思考：上題改為求點C到線段AB的距離，如何作圖。

回章節(jié)目錄下一頁上一頁d′d2023/4/2941機械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌第四十一頁，共74頁。分析：直線AB是鉛垂線，CD是一般位置直線，所以它們的公垂線是一條水平線，則公垂線的水平投影必垂直于cd（直角投影定理）,側(cè)面投影平行OX軸。作圖：由直線AB的水平投影ab向cd作垂線交于k，由此求出k′；由k′向a′b′作垂線交于e′，e′k′和ek即為公垂線EK的兩投影，且ek=EK為兩交叉直線AB、CD的距離。

k′e′k(e)上一頁下一頁回章節(jié)目錄【例十二】求AB、CD兩直線的公垂線2023/4/2942機械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌第四十二頁，共74頁。一、平面的表示法1．用幾何元素表示平面由初等幾何學(xué)可知，下列幾何元素組都可以決定平面在空間的位置。1）不在同一直線上的三點；2）一直線和該直線外一點；3）相交兩直線；4）平行兩直線；5）任意平面圖形。(五種可相互轉(zhuǎn)化)上一頁下一頁回章節(jié)目錄第三節(jié)平面的投影2023/4/2943機械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌第四十三頁，共74頁。分類：投影面垂直面（⊥一投影面，∠另兩投影面）

特殊位置平面投影面平行面（∥一投影面，⊥另兩投影面）

一般位置平面（∠三個投影面）約定：平面與投影面H、V、W的兩面角，分別用α、β、γ表示。1．投影面垂直面（⊥一投影面，∠另兩投影面）鉛垂面（⊥H面，∠V、W面）分類正垂面（⊥V面，∠H、W面）側(cè)垂面（⊥W面，∠H、V面）上一頁下一頁回章節(jié)目錄二、平面對投影面的各種相對位置2023/4/2944機械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌第四十四頁，共74頁。（1）⊥投影面上的投影，積聚成直線；（積聚性）積聚性投影與投影軸夾角，分別反映面對另兩投影面的傾角。（2）在另外兩投影面上的投影均為類似形。（類似性）

鉛垂面動畫上一頁下一頁回章節(jié)目錄以鉛垂面為例分析其投影特性為：注：類似形的投影特性：邊數(shù)不變，各頂點符合投影規(guī)律；原來邊平行，仍平行；成比例，仍成比例；直線邊對應(yīng)直線邊，曲線邊對應(yīng)曲線邊。鉛垂面的投影圖2023/4/2945機械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌第四十五頁，共74頁。上一頁下一頁回章節(jié)目錄正垂面的投影正垂面投影圖正垂面投影動畫2023/4/2946機械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌第四十六頁，共74頁。側(cè)垂面的投影上一頁下一頁回章節(jié)目錄側(cè)垂面投影圖側(cè)垂面投影動畫投影面垂直面投影實例動畫2023/4/2947機械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌第四十七頁，共74頁。水平面（∥H面，⊥V、W面）分類正平面（∥V面，⊥H、W面）側(cè)平面（∥W面，⊥H、V面）上一頁下一頁回章節(jié)目錄2．投影面平行面（∥一投影面，⊥另兩投影面）以水平面為例分析其投影特性為：（1）在平行的投影面上的投影，反映實形。（實形性）（2）在另外兩投影面上的投影，積聚成直線，（積聚性）

分別平行于相應(yīng)的投影軸。2023/4/2948機械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌第四十八頁，共74頁。水平面投影圖上一頁下一頁回章節(jié)目錄水平面的投影

2023/4/2949機械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌第四十九頁，共74頁。正平面的投影上一頁下一頁回章節(jié)目錄正平面投影圖2023/4/2950機械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌第五十頁，共74頁。上一頁下一頁回章節(jié)目錄側(cè)平面的投影側(cè)平面投影圖投影面平行面投影實例動畫2023/4/2951機械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌第五十一頁，共74頁。一般位置面的三個投影△abc、△a′b′c′、△a″b″c″均為類似形。上一頁下一頁回章節(jié)目錄3．一般位置平面（∠三個投影面）

其投影特性為：三個投影均是類似形，而且面積比實際??；投影圖上不直接反映平面對投影面的傾角。一般位置平面投影實例動畫2023/4/2952機械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌第五十二頁，共74頁。1．幾何條件：（1）若點位于面內(nèi)直線上，則點在該面內(nèi)。（2）直線過平面上的兩點，線必在該平面內(nèi)（3）線過面上一點且平行面內(nèi)另一直線，則線在該面內(nèi)。2．求取方法：①求點，先找線；②作線，先找點。上一頁下一頁回章節(jié)目錄三、平面上取點和線

2023/4/2953機械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌第五十三頁，共74頁。①一般位置面上作水平線（用水平面與△ABC相交，交線無數(shù)條)(條件：過A點作水平線屬于△ABC）②一般位置面上作正平線

（用水平面與△ABC相交，交線無數(shù)條）（條件：作正平線距V面25mm）

*③作含直線的垂直面或平行面（跡線表示）

1′1323′2′上一頁下一頁回章節(jié)目錄3．面上取線

2023/4/2954機械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌第五十四頁，共74頁。分析：判別點是否在面上和求平面上點的投影，利用點在面上，點定在面內(nèi)一條線上這一投影特性。作圖：注意：判斷點是否在面內(nèi)，不能只看點的投影是否在面的投影輪廓線內(nèi)，一定要用幾何條件和投影特性來判斷。

1′12′n′2上一頁下一頁回章節(jié)目錄【例十三】判別點M是否在面△ABC內(nèi)，并作出△ABC面上點N的正投影。2023/4/2955機械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌第五十五頁，共74頁。分析：由于水平線的正面投影投影平行OX軸，故可先求AD的正面投影，而正平線的水平投影平行OX軸，故可先求CE的水平投影。作圖：e′ed′d上一頁下一頁回章節(jié)目錄【例十四】已知△ABC平面的兩面投影，作出平面上水平線AD和正平線CE的兩面投影。2023/4/2956機械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌第五十六頁，共74頁。分析：已知A、B、C三點的正投影和水平投影，面的空間位置已確定，E、D兩點應(yīng)在△ABC面上，故利用點在面上的原理作出點的投影即可。作圖：d′e′121′2′上一頁下一頁回章節(jié)目錄【例十五】完成平面圖形ABCDE的正面投影。2023/4/2957機械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌第五十七頁，共74頁。第五節(jié)直線與平面及兩平面的相對位置

（平行、相交、垂直相交）上一頁下一頁回章節(jié)目錄一、平行問題1．直線與平面平行幾何條件：若線平行某面內(nèi)一直線，則線與該面平行

兩平行線各組同面投影均平行（利用它來解題）2023/4/2958機械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌第五十八頁，共74頁。幾何條件：（1）一對相交直線對應(yīng)地平行，則這兩個平面互相平行。

(兩一般位置面相互平行)（2）兩特殊位置面相互平行，有積聚性的那組同面投影平行

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2．平面與平面平行2023/4/2959機械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌第五十九頁，共74頁?！纠颗袛郃B與△CDE是否平行。（不平行）g′f′fg上一頁下一頁回章節(jié)目錄分析：在正投影面內(nèi)作e′f′∥a′b′，檢驗ef與ab是否平行。2023/4/2960機械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌第六十頁，共74頁。分析：在△CDE面內(nèi)作水平線EF，過k點作ef∥

ab，過k′點作e′f′∥a′b′。b′a′abf′f上一頁下一頁回章節(jié)目錄【例十七】試過點K作水平線AB平行于△CDE平面。2023/4/2961機械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌第六十一頁，共74頁。【例十八】試判斷兩平面是否平行。（平行）g′gh′hm′mn′n上一頁下一頁回章節(jié)目錄分析：在兩平面內(nèi)分別作水平線、正平線，檢驗是否相互平行。2023/4/2962機械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌第六十二頁，共74頁。線與面、面與面不平行，一定相交。線與面的交點是線與面的共有點；面與面的交線是兩面的共有線。求取方法：交點的一個投影位于面或線有積聚性的投影交點，另一投影用線上點的投影特性求得。上一頁下一頁回章節(jié)目錄二、相交問題（只研究面或線為特殊位置時的交點）線與面相交動畫面與面相交動畫2023/4/2963機械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌第六十三頁，共74頁。（1）線與特殊位置面相交（交點是共有點）（求交點并判別可見性）判別可見性方法：目測法、重影點法可見性判別：k′b′是可見的，應(yīng)畫成粗實線；a′k′在e′f′g′h′內(nèi)的部分不可見的，畫成虛線。kk′1′(2′)1(2)上一頁下一頁回章節(jié)目錄1．直線與平面相交2023/4/2964機械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌第六十四頁，共74頁。分析：AB是正垂線，其正面投影有積聚性，交點K是直線AB上的一個點，所以K點的正面投影k′和a′（b′）重影，又因交點K也在三角形平面上，故可利用平面上取點的方法，作出交點K的水平投影k。(k′)m′mk1(2)2′(1′)(2)1ⅠⅡ上一頁下一頁回章節(jié)目錄（2）投影面垂直線與一般位置平面相交2023/4/2965機械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌第六十五頁，共74頁。求交線的方法：求出交線上任意兩點連接而得，也可求出其中一點，然后由交線的方向確定。交線是可見與不可見的分界線。（1）兩特殊位置平面相交

【例十九】求鉛垂面△ABC與鉛垂面△D