工程電磁場數(shù)值分析(有限元法)解讀

工程電磁場數(shù)值分析(有限元法)解讀第一頁，共29頁。第4章電磁場有限元法

（FiniteElementMethod,FEM）有限元法可以基于變分原理導(dǎo)出，也可以基于加權(quán)余量法導(dǎo)出，本章以加權(quán)余量法作為有限元法的基礎(chǔ)，以靜電場問題的求解為例介紹有限元法的基本原理與實(shí)施步驟。并介紹有限元法中的一些特殊問題。第二頁，共29頁。第4章電磁場有限元法（FEM）有限元的基本原理與實(shí)施步驟有限元方程組的求解前處理與后處理技術(shù)漸近邊界條件矢量有限元法求解運(yùn)動(dòng)導(dǎo)體渦流問題的迎風(fēng)有限元法第三頁，共29頁。在有限元法中，基函數(shù)一般用表示。采用Galerkin方案，取權(quán)函數(shù)與基函數(shù)相同。使與余量正交化：加權(quán)余量法回顧： 對(duì)算子方程用作為該方程的近似解（試探解）：代入方程得余量：1.有限元法的基本原理與實(shí)施步驟第四頁，共29頁。設(shè)L為線性算子，代入，得或記得代數(shù)方程組：加權(quán)余量法回顧（續(xù)）第五頁，共29頁。場域離散 以二維靜電場泊松方程的求解為例。二維問題常使用三角形單元離散，便于處理復(fù)雜的場域形狀，容易實(shí)現(xiàn)。

單元：互不重疊，覆蓋全部場域；每個(gè)單元內(nèi)介質(zhì)是 單一、均勻的。

節(jié)點(diǎn)：網(wǎng)格的交點(diǎn)，待求變量的設(shè)置點(diǎn)。 需要記錄信息： 節(jié)點(diǎn)編號(hào)、節(jié)點(diǎn)坐標(biāo) 節(jié)點(diǎn)屬性(激勵(lì)源、是否邊界等) 單元編號(hào) 單元節(jié)點(diǎn)編號(hào) 單元介質(zhì) 第六頁，共29頁。

目標(biāo)：建立節(jié)點(diǎn)變量之間滿足的代數(shù)方程組，即確定系數(shù){Kij}

和{bi}。依據(jù)的原理是加權(quán)余量法使用的基函數(shù)為分域基?；瘮?shù)

有限元采用分片逼近的思想，跟使用折線逼近一條任意曲線的做法相同。使用分域基Ni，基函數(shù)的個(gè)數(shù)等于節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)；每個(gè)基函數(shù)Ni的作用區(qū)域是與該節(jié)點(diǎn)i相關(guān)聯(lián)的所有單元。 第七頁，共29頁。在積分中，對(duì)于確定的i，j的有效取值為i本身以及與節(jié)點(diǎn)i相聯(lián)的周圍節(jié)點(diǎn)，積分的有效區(qū)域?yàn)橐詉、j為公共節(jié)點(diǎn)的所有三角形單元，在這些單元中Ni、Nj才有交疊。

這些積分可以分單元進(jìn)行。例如對(duì)右圖所示的局部編碼，K01、K00以及b0的計(jì)算公式為：

第八頁，共29頁。以下把單元e的貢獻(xiàn)記為這樣，就有

每個(gè)或的計(jì)算都在具體的單元內(nèi)單獨(dú)考慮（稱為單元分析）。第九頁，共29頁。三角形單元內(nèi)的基函數(shù) 設(shè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)處待求函數(shù)值分別為u1,u2,u3。如果單元足夠小，可以采用線性近似，將單元內(nèi)任意p點(diǎn)的u(x,y)表示為 代入三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)和函數(shù)值，可以解出a、b、c。得到第十頁，共29頁。

單元節(jié)點(diǎn)的編號(hào)按逆時(shí)針方向排列！其中，第十一頁，共29頁。記住我們的任務(wù)—尋找基函數(shù)對(duì)比可得基函數(shù)Ni常被稱為插值函數(shù)或者形狀函數(shù)，具有以下性質(zhì)：（1）是插值的；（2）（3）在相鄰單元的公共邊界上，Ni是連續(xù)的，從而通過Ni構(gòu)造的逼近函數(shù)也是連續(xù)的。第十二頁，共29頁。單元分析：計(jì)算單元內(nèi)積分對(duì)系數(shù)陣和右端項(xiàng)元素的貢獻(xiàn)。

系數(shù)陣元素： 當(dāng)L為拉普拉斯算子時(shí)，由于Ni在單元內(nèi)是(x,y)的線性函數(shù)，經(jīng)Laplace算子作用后值為0。但是，在相鄰單元的邊界上，Ni是連續(xù)但是不光滑的，因此對(duì)積分的貢獻(xiàn)主要來自邊界。為考慮單元邊界的影響，需要借助于格林公式：第十三頁，共29頁。故，格林公式：因：第十四頁，共29頁。 寫成一般形式，若一個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)編號(hào)為i,j,m（逆時(shí)針順序），則 從而第十五頁，共29頁。再看邊界部分：

（1）在節(jié)點(diǎn)i的對(duì)邊Gjm上，Ni＝0，故積分貢獻(xiàn)為0；

結(jié)論：單元邊界對(duì)積分的貢獻(xiàn)為0。所以單元e為系數(shù)陣元素的貢獻(xiàn)為：

（2）在節(jié)點(diǎn)i的鄰邊Gij上，由于計(jì)算Kij時(shí)需要把具有公共鄰邊的單元的積分累加，此二單元的Ni是連續(xù)的；對(duì)于單一均勻媒質(zhì)，要求相鄰單元滿足 ，故積分的貢獻(xiàn)相互抵消。第十六頁，共29頁。

由于單元很小，做單元分析時(shí)通?？梢匀(e)為常數(shù)值（可以認(rèn)為等于三個(gè)頂點(diǎn)上的平均值）。因此

右端項(xiàng)元素：公式：第十七頁，共29頁。通過上述過程，對(duì)于一個(gè)“正常”的內(nèi)部節(jié)點(diǎn)就建立起了一個(gè)代數(shù)方程。“非正?！钡墓?jié)點(diǎn)包括：媒質(zhì)交界面銜接條件和場域邊界條件，稍后再討論。上述以節(jié)點(diǎn)為序的分析過程對(duì)于有限元原理的說明是易于理解的。而在實(shí)際編程中，更有效率的是以單元為序，逐個(gè)計(jì)算單元系數(shù)陣[K(e)]，然后合成整體系數(shù)陣[K]。單元系數(shù)陣[K(e)]定義為

設(shè)i,j,k是節(jié)點(diǎn)的整體編號(hào)，元素Kij在整體矩陣中的實(shí)際位置是第i行、j列；因此必須合成到整體矩陣的第i行、j列元素上。第十八頁，共29頁。 對(duì)于靜電場問題，媒質(zhì)分界面銜接條件為媒質(zhì)交界面銜接條件

第一個(gè)條件是自動(dòng)滿足的（Why？），無須格外處理。

對(duì)于第二個(gè)條件，前面計(jì)算單元邊界上積分時(shí)，默認(rèn)兩邊j的法向?qū)?shù)相等，使內(nèi)邊界上的積分結(jié)果抵消。因此只要把泊松方程寫成或 滿足的條件將是,從而也無需另行處理。第十九頁，共29頁。 由于有限元方法能夠自動(dòng)滿足媒質(zhì)交界面條件，因此有限元法特別適合于處理多層復(fù)雜媒質(zhì)問題。這是其它方法無可比擬的。媒質(zhì)交界面銜接條件第二十頁，共29頁。第一類邊界條件（強(qiáng)加邊界條件）第一類邊界節(jié)點(diǎn)是指邊界上函數(shù)值已知。因此處理方法是，合成整體系數(shù)陣之后，將該節(jié)點(diǎn)所在行的主元素置1，其它元素均置零，同時(shí)將右端項(xiàng)中對(duì)應(yīng)元素設(shè)為已知函數(shù)值。要保持對(duì)稱性；有更簡便的做法第二十一頁，共29頁。第二類邊界條件（自然邊界條件）第二類邊界節(jié)點(diǎn)是指邊界上函數(shù)法向?qū)?shù)已知。對(duì)于內(nèi)部單元，相鄰單元邊界的積分相互抵消。但是對(duì)于場域邊界，如果給定第二類邊界條件不為0，則積分結(jié)果要計(jì)入右端項(xiàng)中。但是若給定的是齊次第二類邊界條件，則積分結(jié)果為0，無需另行處理，非常方便。第二十二頁，共29頁。有限元方法的推導(dǎo)過程雖然看起來有些復(fù)雜，但是最終結(jié)果是非常簡單而且優(yōu)美的。因?yàn)檫吔鐥l件的處理和媒質(zhì)交界面條件的處理都非常方便，使得有限元方法在處理復(fù)雜媒質(zhì)問題和復(fù)雜場域問題時(shí)得心應(yīng)手，獲得了廣泛的應(yīng)用，稱為最重要的數(shù)值分析手段。有人用“功蓋四方”來形容有限元，實(shí)不為過。中國人在有限元的發(fā)明中有自己獨(dú)特的貢獻(xiàn)。第二十三頁，共29頁。作業(yè)：

（1）研究方向?yàn)閿?shù)值計(jì)算的同學(xué)： 編寫一個(gè)二維靜電場有限元程序，計(jì)算右圖所示問題，或其它自己找一個(gè)問題。

（2）研究方向非數(shù)值計(jì)算的同學(xué)： 簡要敘述有限元的原理，試分析計(jì)算精度可能跟哪些因素有關(guān)；并歸納一下，有限元法與有限差分法有那些相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？第二十四頁，共29頁。稀疏矩陣技術(shù)ICCG法2.有限元方程組的求解第二十五頁，共