河海第二章穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)

河海第二章穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)第1頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二§2-3典型一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的分析解§2-1導(dǎo)熱基本定律-傅里葉定律§2-5具有內(nèi)熱源的一維導(dǎo)熱問題§2-4通過肋片的導(dǎo)熱§2-2導(dǎo)熱問題的數(shù)學(xué)描寫§2-6多維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的求解★★★★第2頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二§2-1導(dǎo)熱基本定律——傅里葉定律回顧定義第3頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二第4頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二一、溫度場第一章中

（1-2）

的適用條件為一維均勻?qū)釂栴}，如圖

0xt第5頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二試問：如圖

，

式（1-2）可用嗎?（多維）

0yx不能！因?yàn)閠同時(shí)在x、y方向變化，

變化（在x方向上）

溫度場、等溫線概念

（2-1）

（2-2）

變化（在y方向上）

第6頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二溫度場Temperaturefield：各時(shí)刻物體中各點(diǎn)溫度所組成的集合----------溫度分布

物體中任一點(diǎn)溫度

若

，則為穩(wěn)態(tài)溫度場若

，則為非穩(wěn)態(tài)溫度場平行平面間的溫度場穩(wěn)態(tài)一維溫度場對應(yīng)

非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱非穩(wěn)態(tài)溫度場

穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱穩(wěn)態(tài)溫度場

第7頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二第8頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二引入溫度變化率：傅里葉定律為

，

，

（在x方向傳導(dǎo)的熱量，在y方向上亦類似

)

（2-3）

（2-4）

0yx第9頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二二、向量形式的傅里葉定律１、溫度梯度如圖，等溫面（

，

，

）

梯度指向量變化最劇烈方向，法向方向，則溫度梯度為在空間坐標(biāo)，則q=?第10頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二2、傅里葉定律的向量表達(dá)式

（2-5）

熱流密度矢量可見：（1）熱流方向同溫度梯度方向相反；（2）熱流線（方向）垂直于等溫線。見圖

第11頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二說明第12頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二三、導(dǎo)熱機(jī)理及導(dǎo)熱系數(shù)（一）導(dǎo)熱系數(shù)實(shí)際值由專門實(shí)驗(yàn)測定（二）其定義式由傅里葉定律的數(shù)學(xué)式給出，

（2-6）

第13頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二

第14頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二第15頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二分子熱運(yùn)動(dòng)第16頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二第17頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二第18頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二第19頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二第20頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二第21頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二（三）導(dǎo)熱系數(shù)同溫度的關(guān)系（1）與有關(guān)！為某溫度下的常用材料的見附錄2~11

（2）具有線性關(guān)系常用保溫、隔熱材料的值見附錄4

1992年國家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：導(dǎo)熱系數(shù)小于0.12w/（m·k）20世紀(jì)50年代是0.23，80年代是0.14，↓第22頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二第23頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二（四）同空間方向的關(guān)系各向同性材料（恒同）

各向異性材料，

例：枕木，垂直木紋方向平行木紋方向P557附錄3松木第24頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二§

2-2導(dǎo)熱問題的數(shù)學(xué)描寫

（一）一維導(dǎo)熱積分λ為常數(shù)時(shí)一、導(dǎo)熱微分方程第25頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二（二）多維導(dǎo)熱

，

，

，即t在x，y，z，方向均有變化，且隨時(shí)間變化如圖：在物體內(nèi)取一微元平行六面體，

設(shè)物體各向同性。

存在6為常數(shù)gradt？Φ或q？t=f（x,y,z,τ）？傅里葉定律+熱力學(xué)第一定律第26頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二非穩(wěn)態(tài)時(shí)熱力學(xué)能（內(nèi)能）增量：內(nèi)熱源生成熱：6內(nèi)熱源：例如電器及線圈中有電流通過時(shí)的發(fā)熱，化工中的放熱、吸熱反應(yīng)以及核能裝置中燃料元件的放射反應(yīng)等。w/m3第27頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二在x、y、z方向上，

流入熱流量：

（a）

第28頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二

流出熱流量：

同理：

（b）

非穩(wěn)態(tài)時(shí)熱力學(xué)能（內(nèi)能）增量：內(nèi)熱源生成熱：（d）

（e）

第29頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二根據(jù)熱平衡方程（熱力學(xué)第一定律）（2-7）

式（a）（b）（d）（e）代入（c）并整理流入的總熱流量+內(nèi)熱源生成的熱量

=內(nèi)能增量+流出的總熱流量（C）++=ΔU導(dǎo)入微元體的凈熱流內(nèi)熱源生成熱第30頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二（2-8）

式中，定義

熱擴(kuò)散率（導(dǎo)溫系數(shù)）

a的物理意義：反映物體導(dǎo)熱時(shí)使內(nèi)部溫度趨向均勻的能力大小a↑→內(nèi)部溫度變化得越快

式（2-8）為常物性、非穩(wěn)態(tài)、有內(nèi)熱源的導(dǎo)熱微分方程式一般形式的導(dǎo)熱微分方程式（三）導(dǎo)熱微分方程式的幾種形式1、導(dǎo)熱系數(shù)λ=const第31頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二第32頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二2、導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)，無內(nèi)熱源：

3、常物性、穩(wěn)態(tài)：

4、常物性、無內(nèi)熱源、穩(wěn)態(tài)：（2-9）

（2-10）

（2-11）

第33頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二（五）圓柱坐標(biāo)或球坐標(biāo)中的導(dǎo)熱微分方程式

針對式（2-7），轉(zhuǎn)換成圓柱坐標(biāo)（對于軸對稱物體）：（2-12）

第34頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二球坐標(biāo)（適用于點(diǎn)對稱物體）：（2-13）

注：（1）無內(nèi)熱源、穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，令，即可。（2）無內(nèi)熱源的穩(wěn)態(tài)一維、二維導(dǎo)熱，再令（或）第35頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二導(dǎo)熱微分方程式的理論基礎(chǔ)：傅里葉定律+能量守恒。它描寫物體的溫度隨時(shí)間和空間變化的關(guān)系；沒有涉及具體、特定的導(dǎo)熱過程，是通用表達(dá)式。單值性條件：確定唯一解的附加補(bǔ)充說明條件。二、定解條件（2-7）

——通解定解？包括四項(xiàng)：幾何、物理、初始、邊界第36頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二1、幾何條件：2、物理?xiàng)l件：3、初始條件：４、邊界條件:完整數(shù)學(xué)描述：導(dǎo)熱微分方程+單值性條件說明導(dǎo)熱體的幾何形狀和大小，如：平壁或圓筒壁；厚度、直徑等。說明導(dǎo)熱體的物理特征如：物性參數(shù)、c和的數(shù)值，是否隨溫度變化；有無內(nèi)熱源、大小和分布。又稱時(shí)間條件，反映導(dǎo)熱系統(tǒng)的初始狀態(tài)。

反映導(dǎo)熱系統(tǒng)在界面上的特征，也可理解為系統(tǒng)與外界環(huán)境之間的關(guān)系。第37頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二（Boundaryconditions）邊界條件常見的有三類（１）第一類邊界條件:該條件是給定系統(tǒng)邊界上的溫度分布，它可以是時(shí)間和空間的函數(shù)，也可以為給定不變的常數(shù)值tw=常量

t=f(y,z,τ)

0x1x

（2）第二類邊界條件:該條件是給定系統(tǒng)邊界上的溫度梯度，即相當(dāng)于給定邊界上的熱流密度，它可以是時(shí)間和空間的函數(shù)，也可以為給定不變的常數(shù)值qw=常量0x1x

第38頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二（3）第三類邊界條件:該條件是第一類和第二類邊界條件的線性組合，常為給定系統(tǒng)邊界面與流體間的換熱系數(shù)和流體的溫度，這兩個(gè)量可以是時(shí)間和空間的函數(shù)，也可以為給定不變的常數(shù)值0x1x

導(dǎo)熱微分方程＋單值性條件＋求解方法溫度場（2-17）第39頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二（4）輻射邊界條件（2-19）(5)接觸邊界條件.

數(shù)學(xué)表達(dá)形式：第40頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二導(dǎo)熱微分方程式（λ為常數(shù)）非穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源：

穩(wěn)態(tài)、有內(nèi)熱源：

穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源：（2-9）

（2-10）

（2-11）

一般形式：

（2-8）

§2-3典型一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的分析解（2-7）

導(dǎo)熱微分方程式（λ為變量）第41頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二（一）單層平壁的導(dǎo)熱a幾何條件：單層平板；b物理?xiàng)l件：、c、（常數(shù)）已知；無內(nèi)熱源c時(shí)間條件：d邊界條件：第一類一、通過平壁的導(dǎo)熱1、求溫度分布

dx第42頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二根據(jù)上面的條件可得：第一類邊條：微分方程邊界條件導(dǎo)熱微分方程＋單值性條件＋求解方法溫度場第43頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二直接積分，得其溫度分布通解：帶入邊界條件：求解方法第44頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二得溫度分布：

呈線性分布

若

由ot1tt2第45頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二2、求熱流密度

根據(jù)傅里葉定律對式

求導(dǎo)：∴

（2-21）

（2-20）第46頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二3、導(dǎo)熱熱阻定義面積熱阻：

（2-23）

——熱阻對于研究多層平壁導(dǎo)熱問題很有用第47頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二（二）通過多層平壁的導(dǎo)熱（為常數(shù)）1、以三層為例：

a)求導(dǎo)熱量：（，，材料，尺寸）

，

，

則

∴（2-24）

n層：（2-25）

δ1λ1δ2λ2δ3λ3第48頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二b)求界面溫度

，

又

注意：（a）每層線性分布，t—x

（b）每層線性分布之斜率不一定相同

（2-26）

第49頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二2、對于多層平壁（設(shè)n層）則

問：現(xiàn)在已經(jīng)知道了q，如何計(jì)算其中第i層的右側(cè)壁溫？第一層：第二層：第i層：第50頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二導(dǎo)熱環(huán)節(jié)越多，串聯(lián)的熱阻就越多，總熱阻相對來說就越大，相同溫差下傳遞的熱量越少，越有利于隔熱。第51頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二在推導(dǎo)多層壁導(dǎo)熱的公式時(shí)，假定了兩層壁面之間是保持了良好的接觸，要求層間保持同一溫度。而在工程實(shí)際中這個(gè)假定并不存在。因?yàn)槿魏喂腆w表面之間的接觸都不可能是緊密的。t1t2Δtxt在這種情況下，兩壁面之間只有接觸的地方才直接導(dǎo)熱，在不接觸處存在空隙。熱量是通過充滿空隙的流體的導(dǎo)熱、對流和輻射的方式傳遞的，因而存在傳熱阻力，稱為接觸熱阻。

第52頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二

接觸熱阻是普遍存在的，而目前對其研究又不充分，往往采用一些實(shí)際測定的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)。通常，對于導(dǎo)熱系數(shù)較小的多層壁導(dǎo)熱問題接觸熱阻多不予考慮；但是對于金屬材料之間的接觸熱阻就是不容忽視的問題。第53頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二【例】鍋爐爐墻由三層材料組成：內(nèi)層為耐火磚，厚度為230mm，導(dǎo)熱系數(shù)為1.1W/(m·K)；中間層為石棉隔熱層，厚度為60mm，導(dǎo)熱系數(shù)為0.1W/(m·K)；外層為紅磚，厚度位240mm，導(dǎo)熱系數(shù)為0.58W/(m·K)。已知爐墻內(nèi)外表面的溫度分別為500℃和50℃，試求通過爐墻的熱流密度與各層接觸面處的溫度。解：由q＝Δt/Σ(RAi)＝(t1-t4)/(δ1/λ1+δ2/λ2+δ3/λ3）又因：δ

1/λ1＝0.21(m2·K)/Wδ

1/λ1＝0.60(m2·K)/W

δ

1/λ1＝0.41(m2·K)/W所以：q＝368.9W/m2由ti＝t1-qΣ(δ

i-1/λi-1)所以：t2＝t1-qΣ(δ1/λ1)＝422.5℃ t3＝t2-qΣ(δ2/λ2)＝t1-qΣ(δ1/λ1+δ2/λ2)＝201.2℃第54頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二解：第55頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二為常數(shù)

如圖，認(rèn)為一維導(dǎo)熱

(,)二、通過圓筒壁的導(dǎo)熱1、條件：無內(nèi)熱源、穩(wěn)態(tài)、

第56頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二2、基本方程：（2-25）

積分一次：

再積一次：

（i）

用圓柱坐標(biāo)，有導(dǎo)熱微分方程式（2-12）

第57頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二3、定解條件

邊界條件

代入式（i）

于是，式（i）成為

第58頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二4、溫度分布（2-28）

5、熱流量變化（2-30）

對數(shù)分布由式（2-28），溫度梯度（2-29'）

（2-29）

第59頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二6、熱阻

（2-31）

則：

第60頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二7、多層圓筒壁的導(dǎo)熱熱流量（由多層平壁擴(kuò)展來）

三層：

（2-32）第61頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二內(nèi)容回顧第62頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二平壁：一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題第63頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二圓管：第64頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二三、各向同性的變導(dǎo)熱系數(shù)變截面的處理方法1、一維穩(wěn)態(tài)無內(nèi)熱源的情況

分離變量，積分：

=第65頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二2無內(nèi)熱源，A為常數(shù)，λ不為常數(shù)λ0、b為常數(shù)第66頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二最后可求得其溫度分布

二次曲線方程第67頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二其拋物線的凹向取決于系數(shù)b的正負(fù)。（1）當(dāng)b>0，λ=λ0(1+bt)，隨著t增大，λ增大，即高溫區(qū)的λ大于低溫區(qū)。據(jù)φ=-λA(dt/dx)，所以高溫區(qū)的溫度梯度dt/dx較小，而形成上凸的溫度分布。（2）當(dāng)b<0，λ=λ0(1+bt)，隨著t增大，λ減小，高溫區(qū)的溫度梯度dt/dx較大。λ=λ0(1+bt)b>0b<0t1

t20δx第68頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二熱流密度計(jì)算式為:或式中

從中不難看出，為平壁兩表面溫度下的導(dǎo)熱系數(shù)值的算術(shù)平均值，亦為平壁兩表面溫度算術(shù)平均值下的導(dǎo)熱系數(shù)值。

第69頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二3穩(wěn)態(tài)、一維有內(nèi)熱源，λ為常數(shù)如果平壁內(nèi)有均勻的內(nèi)熱源，且認(rèn)為導(dǎo)熱系數(shù)λ為常數(shù)和平壁兩邊溫度相等。t1t2t1＝t20xqv積分后：溫度分布：第70頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二討論第71頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二解第72頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二第73頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二如圖所示：三種不同材料的平板a，b，c，左側(cè)處于相同的溫度t1，在穩(wěn)定狀態(tài)下，如果傳遞的熱量相同，三種材料平板內(nèi)部溫度分布如圖所示，則三種材料的導(dǎo)熱系數(shù)哪個(gè)最大？哪個(gè)最小？請排列。λaλbλc第74頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二第75頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二冷流體水從冷水泵通過管道DA段上水至鍋爐，在AB段管道吸收熱量變成滿足熱用戶要求的熱水，通過BC段管道送給熱用戶，由于長期使用，在整個(gè)管道上管內(nèi)結(jié)了厚厚的一層水垢，管外落了一層厚厚的灰塵，試分析這些塵垢的利弊。第76頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二自學(xué)：

三、通過球殼的導(dǎo)熱

四、其他變截面或變導(dǎo)熱系數(shù)問題作業(yè)：P89-92

2-2，2-9，2-14，2-17

請認(rèn)真看懂P50：例題2-1

（單層壁）例題2-2（多層壁）例題2-3

（水垢）例題2-5

（圓管壁）第77頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二§2-4通過肋片的導(dǎo)熱基本概念

1、肋片：指依附于基礎(chǔ)表面上的擴(kuò)展表面

2、常見肋片的結(jié)構(gòu)：針肋直肋環(huán)肋等3、肋片導(dǎo)熱的作用及特點(diǎn)1）作用：增大對流換熱面積及輻射散熱面積,以強(qiáng)化換熱；第78頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二方肋暖氣片第79頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二2）特點(diǎn)：在肋片伸展的方向上有表面的對流換熱及輻射散熱，肋片中沿導(dǎo)熱熱流傳遞的方向上熱流量是不斷變化的。即：Φ≠const。

4、分析肋片導(dǎo)熱需解決的問題

一是：確定肋片的溫度沿導(dǎo)熱熱流傳遞的方向是如何變化的？

二是：確定通過肋片的散熱熱流量有多少？

第80頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二一、通過等截面直肋片的導(dǎo)熱如圖：

，，，一維導(dǎo)熱

橫截面面積：

周長：

第81頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二分析：1、假設(shè)

1）肋片垂直于紙面方向(深度方向)很長，不考慮溫度沿該方向的變化，因此取單位長度分析；

2）材料導(dǎo)熱系數(shù)λ及表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h均為常數(shù)，沿肋高方向肋片橫截面積不變；

3）表面上的換熱熱阻1/h，遠(yuǎn)大于肋片的導(dǎo)熱熱阻δ/λ，即肋片上任意截面上溫度均勻不變；

4）肋片頂端視為絕熱，即dt/dx=0；

第82頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二2、微元導(dǎo)熱分析已經(jīng)學(xué)了導(dǎo)熱微分方程式，對流換熱與導(dǎo)熱的關(guān)系未學(xué)處理方法：將散熱量認(rèn)為有內(nèi)熱源（熱源是負(fù)的）則導(dǎo)熱類型為：一維、穩(wěn)態(tài)、有內(nèi)熱源類型的導(dǎo)熱問題由

（2-8）

第83頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二則

（a）

，代入（a）式：

（c）

，

（d）

（2-38a）

定義過余溫度第84頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二為一正常數(shù)，表征肋片導(dǎo)熱性能、換熱性能及幾何結(jié)構(gòu)之間的相對關(guān)系。第85頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二即為等截面直肋片的導(dǎo)熱微分方程式

屬二階一次微分方程式，數(shù)學(xué)的通解

（e）

3、假設(shè)直肋端面絕熱時(shí)的特解（絕熱——端面同流體間無對流換熱，

亦導(dǎo)熱為0，

）邊界條件

（1）

(2)

第86頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二代入式（e），有

聯(lián)解，得注意雙曲函數(shù)

第87頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二（2-39）

分析：

（1）肋端溫度

（2）通過肋根的熱流量（肋的散熱量）

=（2-41）

（2-40）

第88頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二4、討論（1）以上各式是假設(shè)

，

即端面

，絕熱條件下的

當(dāng)δ小、H長時(shí)，以上假設(shè)可用，誤差?。?），即一維假設(shè)，絕大部分肋片

引起誤差（3）實(shí)際影響大的是的不均勻性第89頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二（4）肋端換熱的Harper-Brown近似，當(dāng)必須考慮肋端面散熱時(shí)，也可以采用近似修正方法，將通過肋端面的換熱量折算到側(cè)面上去，相當(dāng)于肋加高為(H+ΔH)，其中對于矩形肋ΔH≈δ/2

第90頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二隨著mH的增大，肋片的散熱量隨之逐漸增加，一開始增加很迅速，但后來越來越緩慢，逐漸趨于一漸近值。這說明，增大mH雖然可以增加肋片的散熱量，但增加到一定程度后，再增大mH所產(chǎn)生的效果已不顯著，因此需要考慮經(jīng)濟(jì)性問題。第91頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二溫度計(jì)套管測溫誤差分析

壓氣機(jī)設(shè)備的儲氣筒里的空氣溫度，用一支插入裝油的套管中的玻璃水銀溫度計(jì)來測量。如圖所示。已知溫度計(jì)的讀數(shù)為t，儲氣筒與溫度計(jì)套管連接處的溫度，套管高H，壁厚δ管材的導(dǎo)熱系數(shù)為λ，套管外表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為h。第92頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二第93頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二例：一實(shí)心燃?xì)廨啓C(jī)葉片，高度h=6.25mm，橫截面積A＝4.65cm2，周長P＝12.2cm，導(dǎo)熱系數(shù)＝22W/(m℃）。燃?xì)庥行囟萾ge=867K，葉根溫度tr=755K，燃?xì)鈱θ~片的總換熱系數(shù)h＝390W/(m2℃）。假定葉片端面絕熱，求葉片的溫度分布和通過葉根的熱流。解：第94頁，共105頁，2023年，2月20日，星期二二、通過環(huán)肋及三角截面直肋的導(dǎo)熱對于等截面直肋：

，其中若

變，