4-1-第二講直線和圓的位置關系-五與圓有關的比例線段公開課比賽一等獎

和圓有關的比例線段廣東省華南師大附中陳紹基教學目的1、通過學生自己猜想、分析、推理論證，得出相交弦定理及其推論．2、在猜想、分析和推理過程中，讓學生進一步熟悉和運用變動的觀點，特殊與一般的觀點去觀察、研究幾何圖形的性質(zhì)，使學生養(yǎng)成用辯證唯物主義的觀點分析和解決問題的習慣．3、通過對相交弦定理的提出、研究與推廣的過程，使學生掌握學習圓冪定理的基本思想方法．教學過程一、問題的提出問題1圓的兩弦的位置關系有幾種情形？學生可能只說出平行與相交兩種情形．問題2圓的兩弦相交有幾種情形？會不會出現(xiàn)既不相交又不平行的情形？引導學生得出以下結論：若圓內(nèi)兩條弦不平行，則有(1)兩弦相交，交點在圓內(nèi)(圖1)；(2)兩弦相交，交點在圓上(圖2)；(3)兩弦的延長線相交，交點在圓外(圖3)．(為推廣相交弦定理作準備，故把圖1～3畫在黑板上．)問題3圓心是圓內(nèi)的點中最特殊的點，若圓的兩弦交點P與圓心O重合，則交點P內(nèi)分兩弦所得四條線段有何關系(圖4)？問題4一般地，圓內(nèi)的兩條弦相交，被交點分得的四條線段并不都相等(可由圖1直觀看到)，而四條線段成比例關系是否仍保留呢？利用圖1，讓學生自己去猜想與證明，容易得出點P內(nèi)分兩弦所得四條線段仍然成比例．二、命題歸納與證明至此，相交弦定理的雛形已經(jīng)顯示出來，可引導學生歸納成命題的形式并由學生自己給出證明．“圓內(nèi)的兩條弦相交，被交點內(nèi)分所得的四條線段對應成比例．”已知：如圖5，⊙O的兩條弦AB、CD相交于圓內(nèi)的一點P．求證：PA∶PD＝PC∶PB．略證：連結AC、BD，則△APC∽△DPB，PA∶PD＝PC∶PB．教師還應指出，連結AD、BC也能證得同樣結論．并明確提出本節(jié)課題：PA、PD、PC、PB就是與圓有關的比例線段，本節(jié)課研究的主要對象是：與圓有關的比例線段．[課題是通過教師不斷提出問題，引導學生運用舊知識觀察、分析而提出的．所以，課題的引入比較自然．把教師講授定理改為師生共同探求定理，注意發(fā)揮學生學習的主體作用，就能充分調(diào)動學生學習的積極性．]三、相交弦定理的分析、研究問題5上述結論：“圓內(nèi)的兩條弦相交，被交點分得的四條線段對應成比例”中，“對應成比例”的表述是比較粗糙的，因為不用字母把線段表示出來，就不容易看出線段的對應關系．怎樣才能使定理的表達更為精確呢？顯然，如把問題量化，將比例式化為兩線段的積(理解為兩線段長的積)相等的形式，把定理改寫成：“圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等”就比較精確了，這就是“相交弦定理”．問題6若把P看作定圓O內(nèi)一定點，AB看作圓O內(nèi)過點P的動弦，圓O的弦CD相對固定，PA·PB＝PC·PD是否仍然成立？(這里強調(diào)⊙O是定圓，P是⊙O內(nèi)一定點，目的是使學生在下面探求定值時注意這些條件．)顯然，由于在上述問題4的證明中，⊙O的弦AB、CD是任意的，因此，PA·PB＝PC·PD成立，表明“過定圓內(nèi)一定點P的弦，被P點分成的兩條線段長的積為一個定值．”問題7同學們能把這個定值找出來嗎？提出問題后讓學生充分思考，因為這時候?qū)W生的積極性已經(jīng)調(diào)動起來了，特別活躍．經(jīng)過一番思考，如果學生還沒有找到定值，可作以下兩點提示：提示1：被探求的定值是兩條線段長的積，它與定理中的哪些條件有關？就是說，定理中有哪些線段的長是確定的？提示2：雖然過定點P的弦有無數(shù)多條，然而在這眾多的弦中有沒有一些長度比較特殊的弦(暗指過點P的最長或最短的弦)，能否通過它們?nèi)ふ叶ㄖ担恐灰獙W生注意到，過P的圓的直徑或過P垂直于OP的弦，定值就容易找到了．分析如下：如圖6，考察動弦AB，若AB過⊙O的圓心O，則AB為過點P的最長的弦，設⊙O的半徑為R，則PA·PB＝(R－OP)(R＋OP)．(*)定值已初露眉目．考察過點P的弦中最短的弦(圖7)，AB為過⊙O內(nèi)一點P的直徑，CD為過點P且垂直于AB的弦，顯然，由垂徑定理和相交弦定理，應有］＝OC2－OP2＝R2－OP2．(**)由于⊙O是定圓，P為⊙O內(nèi)一定點，故⊙O的半徑R與OP的長為定值．設OP＝d，比較(*)與(**)，結論是一致的，即PA·PB＝(R－d)(R＋d)＝R2－d2為定值．于是，相交弦定理可進一步表述為：“圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積為一定值，它等于圓的半徑與交點到圓心距離的平方差．”同時，由(**)可直接得到相交弦定理的推論：“如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項．”即PC＝PD2＝PA·PB．至此，學生對相交弦定理的理解已經(jīng)得到深化，不僅從定性方面也從定量方面對相交弦定理加深了認識．[對相交弦定理的分析、研究是與把學生已證明的命題逐步演變的過程同步進行的，這樣做是順理成章的，學生不會感到突然．在這個過程中，分別從定性與定量兩個不同的側面去揭示相交弦定理的實質(zhì)，加深了學生對定理的理解，并在探求定值的過程中，學到了從特殊到一般的思想方法．]四、練習鞏固1．如圖8，AP＝3厘米，PB＝5厘米，CP＝厘米．求CD．(練習目的：檢查學生對定理的理解是否準確，會不會把定理理解成PA·PB＝PC·CD，或把求得的PD長誤認為CD的長．)2．如圖9，O是圓心，OP⊥AB，AP＝4厘米，PD＝2厘米．求OP．(練習目的：檢查學生對相交弦定理理解的程度．)學生解第2題有如下四種解法：解法一：連結OA，則△OAP為直角三角形．設⊙O的半徑為R，則OA＝R，由勾股定理，有R2＝(R－2)2＋42，解得R＝5．∴OP＝OD－PD＝R－PD＝3(cm)．(用這種解法的學生，對相交弦定理還不會運用，故需要引輔助線，借助勾股定理去解決問題．)解法二：設⊙O的半徑為R，由PC·PD＝PA2，得PC＝8．∵2R＝CP＋PD＝10，∴R＝5，OP＝3(cm)．(用這種解法的學生，對相交弦定理已經(jīng)理解和會用，但還不會應用定值去解決問題．)解法三：設⊙O的半徑為R，由R2－OP2＝PA2，得R2－(R－2)2＝42，故R2＝5．∴OP＝3(cm)．(用這種解法的學生已經(jīng)理解和會用定值了．)解法四：設⊙O的半徑為R．∴R＝OP＋2，∴(OP＋2)2－OP2＝42．∴OP＝3(cm)．(這樣解題的學生不僅真正理解和會用定理，而且還注意了解題技巧．)教師總結講評，著重給學生指出：(1)與圓有關的比例線段是指定圓內(nèi)被定點P分兩弦所得四條線段對應成比例．(2)定圓的任一弦被定點分得兩線段長的積為定值，這個定值與點P的位置有關，對圓內(nèi)不同的點P，一般來說，定值是不同的，即這個定值是相對于定點P與定圓O而言的．五、相交弦定理的推廣問題8若圓的兩條弦相交于圓上一點P，如圖2，這時，B、D、P三點重合，PA·PB＝PC·PD是否仍然成立？把PB、PD的長度看作零，上式仍成立．問題9若圓的兩條弦的延長線相交于圓外一點P，如圖3，PA·PB＝PC·PD是否仍然成立？讓學生自己猜想，聯(lián)系點P在圓內(nèi)的情形得出肯定的回答，再利用圖3自己加以證明．問題10能否將點P外分兩弦AB、CD的情況敘述成定理的形式？“圓的兩條弦的延長線相交于圓外一點，各弦及其延長線被交點外分成的兩條線段長的積相等．”問題11PBA、PDC是⊙O的割線，怎樣把上述定理用割線來表達？“從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等．”這就是“割線定理”．思考題1：P為⊙O外一點，過P向⊙O引兩條割線PAB與PCD，若把PAB看作動割線，PCD相對固定，把切線看作割線的特殊情形(即割線的極限位置，這是對學生所采用的不嚴格的通俗說法)，會有什么結論？若把割線PAB、PCD都看作動割線，又會有什么結論？試證明你的結論．思考題2：“割線定理”中，“兩條線段長的積”是否也是一個定值？這個定值是什么？試證明你的結論．(這是課外思考題，目的是讓學生發(fā)現(xiàn)“切割線定理”和“切線長定理”實際上是割線定理的特例．)[問題8、9與“課題的提出”部分：圓的兩條弦相交，交點在圓內(nèi)、交點在圓上，兩弦的延長線相交，交點在圓外三種情形前后呼應，使學生對相交弦定理的探討的結構比較完整．尤其重要的是在定理的研究過程中，向?qū)W生揭示了事物是在不斷變化發(fā)展與事物之間的內(nèi)在聯(lián)系的事實，讓學生接受辯證唯物主義思想的熏陶，使學生認識到學習每一個新的定理都要善于探究它與其他定理之間的內(nèi)在聯(lián)系，還要考察定理是否可以推廣．課外思考題與課堂教學內(nèi)容緊密配合，為學生在課堂之外深入研究問題提供素材，為學生開辟更為廣闊的學習天地創(chuàng)造條件．]在學習本節(jié)內(nèi)容和完成思考題的基礎上，可以把相交弦定理、割線定理、切割線定理和切線長定理歸納總結為“圓冪定理”：“過一定點P對某定圓⊙(O，R)任作一割線PAB，交該圓于A、B兩點，則自定點至兩交點的兩條線段的長的積是常數(shù)PA·PB＝|R2－d2|，其中d為定點P到圓心O的距離．若P在圓內(nèi)，d＜R，則該常數(shù)為R2－d2；若P在圓上，d＝R，則該常數(shù)為0；若P在圓外，d＞R，則該常數(shù)為d2－R2．(經(jīng)過對幾屆初三學生的數(shù)學教學實踐說明，這樣做對學習起點比較高的學生是完全可能的，課堂氣氛比較活躍，教學目的可以達到；課外思考題學生也能完成，教學效果是比較好的．對于學習起點比較低的學生，可考慮把這節(jié)課分為兩節(jié)課的內(nèi)容去進行．)教案說明“和圓有關的比例線段”是初中幾何第二冊第七章“直線和圓的位置關系”的最后一節(jié)，它的主要內(nèi)容是：相交弦定理及其推論，切割線定理及其推論(即割線定理)．如果把圓內(nèi)兩弦相交(或圓的兩弦的延長線相交)的交點看作可以在平面上變動，并把圓的切線看作當圓的割線變動時的極限位置，則這些定理可以歸納為一個更一般的定理(圓冪定理)：“過一定點對某定圓作任一割線，交該圓于兩點，則自定點至兩交點的當點P在⊙O的外部時(圖8)，p值為正，它等于自P向⊙O所引切線PC的長的平方；當點P在⊙O的內(nèi)部時(圖9)，p值為負，它的絕對值等于在⊙O中過P的最小弦EF的長的一半的平方；當P在⊙O上時(圖10)，則p值為零．無論何種情形，p值均可以表示為p＝PO2－R2．全國通用教材初中幾何不講“圓冪定理”，只講“圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等”．“從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等”．至于兩條線段長的積是什么就不去研究了．這樣做，從學生接受知識的角度上來看，無疑起了化繁為簡、分散難點的作用．然而從初中學生目前狀況來看，相當一部分學生不會用變動的觀點去觀察和研究幾何問題，而往往是孤立的、靜止的去看待幾何圖形的性質(zhì)，缺少用辯證唯物主義的觀點去分析和解決問題的習慣．故從幫助學生建立完整的知識結構，從訓練和培養(yǎng)學生的邏輯思維，推廣概括能力的角度上來看，不能不說是一個缺陷．為了彌補上述缺陷，我作了以下的安排：(1)把教材內(nèi)容適當調(diào)整．通過相交弦定理的教學引伸出圓冪定理，把定理中的常數(shù)p看作線段長的積，則p恒為正值，p＝|PO2－R2|．