人教課標(biāo)實(shí)驗(yàn)B版-必修5-數(shù)列-2.2等差數(shù)列-2.2.1等差數(shù)列“十校聯(lián)賽”一等獎(jiǎng)

典型例題

例1.已知依次成等差數(shù)列，求證：依次成等差數(shù)列.分析：要證三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，只需證明等式：，即證成立.證明：成等差數(shù)列，（設(shè)其公差為），，又，，成等差數(shù)列.說(shuō)明：本題實(shí)質(zhì)上是一個(gè)條件等式的證明，關(guān)鍵是條件如何使用.這種證法引入了一個(gè)新字母，使條件與結(jié)論中的字母減少，關(guān)系明朗.此題證法很多，不再一一列舉.例2.在等差數(shù)列中，，則（

）.

72

60

4836分析：在題目中的項(xiàng)很多，利用通項(xiàng)公式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)基本量和.解：設(shè)此數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則，即..說(shuō)明：可以應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)：若，則，所以有＝＝40，故60.例3.已知是等差數(shù)列，且滿足，則等于________.分析：已知等差數(shù)列的兩項(xiàng)，等差數(shù)列便確定了，利用通項(xiàng)公式可以求得任意一項(xiàng).數(shù)列確定后，數(shù)列的圖像也確定了，利用圖形也可求解.解一：設(shè)此數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則，，相減得，，，.解二：設(shè)數(shù)列公差為，，.故.解三：根據(jù)等差數(shù)列的圖像可知三點(diǎn)共線，故有，即，.說(shuō)明：通項(xiàng)公式與圖像是認(rèn)識(shí)和研究等差數(shù)列的工具，它們?cè)跀?shù)和形兩個(gè)角度各有優(yōu)勢(shì)，應(yīng)將它們有機(jī)結(jié)合，適當(dāng)選擇，以利問(wèn)題解決.例4.已知無(wú)窮等差數(shù)列，首項(xiàng)公差，依次取出項(xiàng)數(shù)被4除余3的項(xiàng)組成數(shù)列.（1）求和；（2）求的通項(xiàng)公式；（3）中的第110項(xiàng)是的第幾項(xiàng)？分析：數(shù)列是數(shù)列的一個(gè)子數(shù)列，其項(xiàng)數(shù)構(gòu)成以3為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，由于是等差數(shù)列，則也是等差數(shù)列.解：（1），數(shù)列中項(xiàng)數(shù)被4除余3的項(xiàng)是的第3項(xiàng)，第7項(xiàng)，第11項(xiàng)，…，這些項(xiàng)組成一個(gè)新的等差數(shù)列（第二問(wèn)中加以證明），其首項(xiàng)，.（2）設(shè)中的第項(xiàng)是的第項(xiàng)，即，則，∴是等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式為.（3）設(shè)它是中的第項(xiàng)，則，則說(shuō)明：數(shù)列的項(xiàng)數(shù)相當(dāng)于函數(shù)的自變量，通項(xiàng)公式相當(dāng)于對(duì)應(yīng)法則，對(duì)數(shù)列的研究應(yīng)很好地把握項(xiàng)數(shù)，研究數(shù)列的子數(shù)列一定要研究二者項(xiàng)數(shù)的關(guān)系.例5.設(shè)是等差數(shù)列，，且，.求等差數(shù)列的通項(xiàng).分析：求通項(xiàng)公式，關(guān)鍵是要確定數(shù)列的首項(xiàng)與公差.可設(shè)首項(xiàng)為，公差為，運(yùn)用方程思想，列兩個(gè)方程，解方程組即可.解：設(shè)首項(xiàng)為，公差為，由已知得由第二個(gè)方程，化簡(jiǎn)為解得，所以，代入第一個(gè)方程得即化簡(jiǎn)得解得，或，所以或，故或.說(shuō)明：方程的思想是指把數(shù)學(xué)問(wèn)題所反映的數(shù)量關(guān)系用解析式的形式表示出來(lái)，在把解析式歸結(jié)為方程