人教A版-選擇性必修一-第一章 空間向量與立體幾何-1.2 空間向量基本定理（區(qū)一等獎(jiǎng)）

《空間向量基本定理》導(dǎo)學(xué)案學(xué)習(xí)任務(wù)核心素養(yǎng)1．理解空間向量基本定理及其意義．(重點(diǎn))2．能夠在具體問題中適當(dāng)?shù)剡x取一組基，并能用這組基表示空間中的任何一個(gè)向量．(難點(diǎn))通過空間向量基本定理及其應(yīng)用，提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象素養(yǎng)．在平面向量中，我們學(xué)習(xí)了平面向量基本定理及其意義，并根據(jù)該定理提出了研究平面向量的一種基本方法─基底法，那么在空間中是否有類似方法呢？如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝x，AD＝y(tǒng)，AA1＝z，e1、e2、e3分別是eq\o(AB,\s\up8(→))、eq\o(AD,\s\up8(→))、eq\o(AA1,\s\up8(→))的單位向量，試用向量e1、e2、e3表示向量eq\o(AC1,\s\up8(→))，表示結(jié)果唯一嗎？1．空間向量基本定理?xiàng)l件三個(gè)不共面的向量a，b，c和空間任一向量p結(jié)論存在唯一的三元有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc2．基(1)條件：三個(gè)向量a，b，c不共面．(2)結(jié)論：{a，b，c}叫做空間的一組基．其中向量a，b，c都叫作基向量．(1)0能不能作為一個(gè)基向量？(2)空間向量的基唯一嗎？[提示](1)由于0與任何兩個(gè)向量都共面，因此0不能作為基向量．(2)不唯一，只要三個(gè)向量不共面，都可以作為空間中所有向量的一組基．1．思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)只有兩兩垂直的三個(gè)向量才能作為空間向量的一組基． ()(2)若{a，b，c}為空間向量的一組基，則{－a，b，2c}也可構(gòu)成空間向量的一組基． ()(3)若三個(gè)非零向量a，b，c不能構(gòu)成空間的一組基，則a，b，c共面． ()[答案](1)×(2)√(3)√2．下列各組向量能構(gòu)成一組基的是()A．長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中的向量eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))，eq\o(AD,\s\up8(→))B．三棱錐A-BCD中的向量eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))，eq\o(AD,\s\up8(→))C．三棱柱ABC-A1B1C1中(E是A1C1的中點(diǎn))的向量eq\o(AA1,\s\up8(→))，eq\o(AE,\s\up8(→))，eq\o(AC1,\s\up8(→))D．四棱錐S-ABCD中的向量eq\o(DA,\s\up8(→))，eq\o(DB,\s\up8(→))，eq\o(DC,\s\up8(→))[答案]B3．已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E為上底面A1C1的中心，若eq\o(AE,\s\up8(→))＝eq\o(AA1,\s\up8(→))＋xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AD,\s\up8(→))，則x、y的值分別為()A．x＝1，y＝1 B．x＝1，y＝eq\f(1,2)C．x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,2) D．x＝eq\f(1,2)，y＝1[答案]C[如圖，eq\o(AE,\s\up8(→))＝eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\o(A1E,\s\up8(→))＝eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(A1C1,\s\up8(→))＝eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→)))．故x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,2)．]4．如圖所示，平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)M在AC上，且|AM|＝eq\f(1,2)|MC|，點(diǎn)N在A1D上，且|A1N|＝2|ND|，設(shè)eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AD,\s\up8(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up8(→))＝c，試用a，b，c表示eq\o(MN,\s\up8(→))．[解]eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＝a＋b．∵|AM|＝eq\f(1,2)|MC|，∴eq\o(MA,\s\up8(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up8(→))＝－eq\f(1,3)(a＋b)．又|A1N|＝2|ND|，∴eq\o(A1N,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(A1D,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AA1,\s\up8(→)))＝eq\f(2,3)(b－c)．∴eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\o(MA,\s\up8(→))＋eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\o(A1N,\s\up8(→))＝－eq\f(1,3)(a＋b)＋c＋eq\f(2,3)(b－c)＝eq\f(1,3)(b＋c－a)．類型1空間向量的基【例1】已知{e1，e2，e3}是空間的一組基，且eq\o(OA,\s\up8(→))＝e1＋2e2－e3，eq\o(OB,\s\up8(→))＝－3e1＋e2＋2e3，eq\o(OC,\s\up8(→))＝e1＋e2－e3，試判斷{eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(OB,\s\up8(→))，eq\o(OC,\s\up8(→))}能否作為空間的一組基．[解]假設(shè)eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(OB,\s\up8(→))，eq\o(OC,\s\up8(→))共面，由向量共面的充要條件知，存在實(shí)數(shù)x，y，使得eq\o(OA,\s\up8(→))＝xeq\o(OB,\s\up8(→))＋yeq\o(OC,\s\up8(→))成立，即e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3．因?yàn)閧e1，e2，e3}是空間的一組基，所以e1，e2，e3不共面，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3x＋y＝1,x＋y＝2,2x－y＝－1))，此方程組無解．即不存在實(shí)數(shù)x，y，使得eq\o(OA,\s\up8(→))＝xeq\o(OB,\s\up8(→))＋yeq\o(OC,\s\up8(→))成立，所以eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(OB,\s\up8(→))，eq\o(OC,\s\up8(→))不共面．故{eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(OB,\s\up8(→))，eq\o(OC,\s\up8(→))}能作為空間的一組基．基的判斷思路判斷給出的三個(gè)向量能否構(gòu)成一組基，關(guān)鍵是要判斷這三個(gè)向量是否共面．首先應(yīng)考慮三個(gè)向量中是否有零向量，其次判斷三個(gè)非零向量是否共面．如果從正面難以入手判斷，可假設(shè)三個(gè)向量共面，利用向量共面的充要條件建立方程組，若方程組有解，則三個(gè)向量共面；若方程組無解，則三個(gè)向量不共面．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．設(shè)x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空間的一組基，給出下列向量組：①{a，b，x}，②{b，c，z}，③{x，y，a＋b＋c}，其中可以作為空間一組基的向量組有()A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．0個(gè)[答案]B[因?yàn)閤＝a＋b，所以向量x，a，b共面．如圖，令a＝eq\o(AB,\s\up8(→))，b＝eq\o(AA1,\s\up8(→))，c＝eq\o(AD,\s\up8(→))，則x＝eq\o(AB1,\s\up8(→))，y＝eq\o(AD1,\s\up8(→))，z＝eq\o(AC,\s\up8(→))，a＋b＋c＝eq\o(AC1,\s\up8(→))．可知向量b，c，z和x，y，a＋b＋c不共面，故選B．]類型2空間向量基本定理及應(yīng)用【例2】如圖，在三棱柱ABC-A′B′C′中，已知eq\o(AA′,\s\up8(→))＝a，eq\o(AB,\s\up8(→))＝b，eq\o(AC,\s\up8(→))＝c，點(diǎn)M，N分別是BC′，B′C′的中點(diǎn)，試用基{a，b，c}表示向量eq\o(AM,\s\up8(→))，eq\o(AN,\s\up8(→))．[解]連接A′N(圖略)．eq\o(AM,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC′,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CC′,\s\up8(→)))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CC′,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→)))＋eq\f(1,2)eq\o(AA′,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA′,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)．eq\o(AN,\s\up8(→))＝eq\o(AA′,\s\up8(→))＋eq\o(A′N,\s\up8(→))＝eq\o(AA′,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(A′B′,\s\up8(→))＋eq\o(A′C′,\s\up8(→)))＝eq\o(AA′,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→)))＝a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c．若把本例中的“eq\o(AA′,\s\up8(→))＝a”改為“eq\o(AC′,\s\up8(→))＝a”，其他條件不變，則結(jié)果是什么？[解]因?yàn)镸為BC′的中點(diǎn)，N為B′C′的中點(diǎn)，所以eq\o(AM,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC′,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b．eq\o(AN,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB′,\s\up8(→))＋eq\o(AC′,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BB′,\s\up8(→))＋eq\o(AC′,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CC′,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC′,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AC′,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→)))＋eq\f(1,2)eq\o(AC′,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC′,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)b＋a－eq\f(1,2)c．對(duì)空間向量基本定理的兩點(diǎn)說明1任意性：用空間三個(gè)不共面的向量可以線性表示出空間中任意一個(gè)向量.2唯一性：基確定后，空間向量基本定理中實(shí)數(shù)組{x，y，z}是唯一的.空間向量基本定理為用基本量法研究空間向量提供了理論依據(jù).[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．已知矩形ABCD，P為平面ABCD外一點(diǎn)，M，N分別為PC，PD上的點(diǎn)，且M分PC為PM∶MC＝2，N為PD的中點(diǎn)，求滿足eq\o(MN,\s\up8(→))＝xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AD,\s\up8(→))＋zeq\o(AP,\s\up8(→))的實(shí)數(shù)x，y，z的值．[解]法一：如圖所示，取PC的中點(diǎn)E，連接NE，則eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\o(EN,\s\up8(→))－eq\o(EM,\s\up8(→))．因?yàn)閑q\o(EN,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up8(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))．eq\o(EM,\s\up8(→))＝eq\o(PM,\s\up8(→))－eq\o(PE,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PC,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up8(→))＝eq\f(1,6)eq\o(PC,\s\up8(→))．連接AC，則eq\o(PC,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(AP,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AP,\s\up8(→))，所以eq\o(MN,\s\up8(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\f(1,6)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AP,\s\up8(→)))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AP,\s\up8(→))，因?yàn)閑q\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AD,\s\up8(→))，eq\o(AP,\s\up8(→))不共面．所以x＝－eq\f(2,3)，y＝－eq\f(1,6)，z＝eq\f(1,6)．法二：eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\o(PN,\s\up8(→))－eq\o(PM,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(PD,\s\up8(→))－eq\f(2,3)eq\o(PC,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→)))－eq\f(2,3)(eq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→)))＝－eq\f(1,2)eq\o(AP,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\f(2,3)(－eq\o(AP,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→)))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AP,\s\up8(→))，因?yàn)閑q\o(AB,\s\up8(→))、eq\o(AD,\s\up8(→))、eq\o(AP,\s\up8(→))不共面，所以x＝－eq\f(2,3)，y＝－eq\f(1,6)，z＝eq\f(1,6)．類型3四點(diǎn)共面【例3】如圖，已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1和DD1上的點(diǎn)，并且BE＝eq\f(1,3)BB1，DF＝eq\f(2,3)DD1．(1)證明：A，E，C1，F(xiàn)四點(diǎn)共面；(2)若eq\o(EF,\s\up8(→))＝xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AD,\s\up8(→))＋zeq\o(AA1,\s\up8(→))，求x＋y＋z的值．[解](1)證明：eq\o(AC1,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CC1,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(AA1,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AA1,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BE,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(DF,\s\up8(→))＝eq\o(AE,\s\up8(→))＋eq\o(AF,\s\up8(→))，故A，E，C1，F(xiàn)四點(diǎn)共面．(2)∵eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\o(AF,\s\up8(→))－eq\o(AE,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(DF,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(BE,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AA1,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up8(→))＝－eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up8(→))，∴x＝－1，y＝1，z＝eq\f(1,3)．∴x＋y＋z＝eq\f(1,3)．1．三個(gè)向量共面的充要條件若向量b，c不共線，則向量a，b，c共面的充要條件是：存在實(shí)數(shù)x，y，使得a＝xb＋yc．2．利用向量法證明四點(diǎn)共面，實(shí)質(zhì)上是證明向量共面，解題的關(guān)鍵是熟練地進(jìn)行向量表示，恰當(dāng)應(yīng)用向量共面的充要條件．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．已知A，B，C三點(diǎn)不共線，平面ABC外的一點(diǎn)M滿足eq\o(OM,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up8(→))．(1)判斷eq\o(MA,\s\up8(→))，eq\o(MB,\s\up8(→))，eq\o(MC,\s\up8(→))三個(gè)向量是否共面；(2)判斷點(diǎn)M是否在平面ABC所在的平面內(nèi)．[解](1)∵eq\o(OM,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up8(→))，∴eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝3eq\o(OM,\s\up8(→))，∴eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OM,\s\up8(→))＝(eq\o(OM,\s\up8(→))－eq\o(OB,\s\up8(→)))＋(eq\o(OM,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→)))，∴eq\o(MA,\s\up8(→))＝eq\o(BM,\s\up8(→))＋eq\o(CM,\s\up8(→))＝－eq\o(MB,\s\up8(→))－eq\o(MC,\s\up8(→))，∴向量eq\o(MA,\s\up8(→))，eq\o(MB,\s\up8(→))，eq\o(MC,\s\up8(→))共面．(2)由(1)知向量eq\o(MA,\s\up8(→))，eq\o(MB,\s\up8(→))，eq\o(MC,\s\up8(→))共面，又這三個(gè)向量又有公共點(diǎn)M，∴M，A，B，C共面，即點(diǎn)M在平面ABC所在的平面內(nèi)．1．空間向量基本定理的應(yīng)用，即用三個(gè)不共面的向量作為基底表示空間中的任意向量，需依據(jù)圖形特點(diǎn)，結(jié)合向量的加法、減法、數(shù)乘的運(yùn)算，運(yùn)用平行四邊形法則及三角形法則將待求向量轉(zhuǎn)化為三個(gè)基向量的線性組合．2．設(shè)eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(OB,\s\up8(→))，eq\o(OC,\s\up8(→))是不共面向量，則對(duì)空間任一點(diǎn)P，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使eq\o(OP,\s\up8(→))＝xeq\o(OA,\s\up8(→))＋yeq\o(OB,\s\up8(→))＋zeq\o(OC,\s\up8(→))．當(dāng)且僅當(dāng)x＋y＋z＝1時(shí)，P，A，B，C四點(diǎn)共面．1．設(shè)p：a，b，c是三個(gè)非零向量；q：{a，b，c}為空間的一組基，則p是q的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件[答案]B[當(dāng)非零向量a，b，c不共面時(shí)，{a，b，c}可以作為基，否則不能作為基．當(dāng){a，b，c}為基時(shí)，一定有a，b，c為非零向量．因此peq\o(?,/)q，q?p．]2．正四面體ABCD棱長(zhǎng)為2，E、F分別為BC、AD中點(diǎn)，則EF的長(zhǎng)為()A．eq\r(2)B．eq\r(3)C．2D．2eq\r(2)[答案]A[設(shè)eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AC,\s\up8(→))＝b，eq\o(AD,\s\up8(→))＝c．則|a|＝|b|＝|c|＝2，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝eq\f(π,3)．∴eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\o(AF,\s\up8(→))－eq\o(AE,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)c－eq\f(1,2)(b＋a)＝eq\f(1,2)(c－b－a)．∴eq\o(EF,\s\up8(→))2＝eq\f(1,4)(c2＋b2＋a2－2b·c－2c·a＋2a·b)＝eq\f(1,4)×(4＋4＋4－4－4＋4)＝2，∴|eq\o(EF,\s\up8(→))|＝eq\r(2)，即EF的長(zhǎng)為eq\r(2)．]3．已知空間的一個(gè)基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m與n共線，則x＝____