2023年云南省民族大學(xué)附屬中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．學(xué)校選派位同學(xué)參加北京大學(xué)、上海交通大學(xué)、浙江大學(xué)這所大學(xué)的自主招生考試，每所大學(xué)至少有一人參加,則不同的選派方法共有A．540種 B．240種 C．180種 D．150種2．已知函數(shù)，則（）A． B． C． D．3．命題的否定是（）A． B．C． D．4．過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)作垂直于實(shí)軸的直線,交雙曲線于,是另一焦點(diǎn),若,則雙曲線的離心率等于（）A． B． C． D．5．已知三棱錐的頂點(diǎn)都在球的球面上，平面，則球的表面積為（）A． B． C． D．6．下列命題中，真命題是（）A． B．C．的充要條件是 D．是的充分條件7．己知變量x，y的取值如下表：x3456y2.5344.5由散點(diǎn)圖分析可知y與x線性相關(guān)，且求得回歸方程為，據(jù)此預(yù)測(cè)：當(dāng)時(shí)，y的值約為A．5.95 B．6.65 C．7.35 D．78．復(fù)數(shù)的虛部為（）A．2 B． C． D．9．在0、1、2、3、4、5這6個(gè)數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)中，能被2整除的數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A．216 B．288 C．312 D．36010．若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則()A．-1 B． C． D．111．若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)（）A． B． C．0 D．112．已知向量，若，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，則a與b的大小關(guān)系______．14．若RtΔABC的斜邊AB=5，BC=3，BC在平面內(nèi)，A在平面內(nèi)的射影為O，AO=2，則異面直線AO與BC之間的距離為___________．15．2014年11月，北京成功舉辦了亞太經(jīng)合組織第二十二次領(lǐng)導(dǎo)人非正式會(huì)議，出席會(huì)議的有21個(gè)國家和地區(qū)的領(lǐng)導(dǎo)人或代表．其間組委會(huì)安排這21位領(lǐng)導(dǎo)人或代表合影留念，他們站成兩排，前排11人，后排10人，中國領(lǐng)導(dǎo)人站在第一排正中間位置，美俄兩國領(lǐng)導(dǎo)人站在與中國領(lǐng)導(dǎo)人相鄰的兩側(cè)，如果對(duì)其他領(lǐng)導(dǎo)人或代表所站的位置不做要求，那么不同的排法共有種（用排列組合表示）．16．中，，則邊上中線的長為_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某中學(xué)學(xué)生會(huì)由8名同學(xué)組成，其中一年級(jí)有2人，二年級(jí)有3人，三年級(jí)有3人，現(xiàn)從這8人中任意選取2人參加一項(xiàng)活動(dòng).（1）求這2人來自兩個(gè)不同年級(jí)的概率；（2）設(shè)表示選到三年級(jí)學(xué)生的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.18．（12分）己知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)．求的值；求的值．19．（12分）環(huán)境監(jiān)測(cè)中心監(jiān)測(cè)我市空氣質(zhì)量，每天都要記錄空氣質(zhì)量指數(shù)(指數(shù)采取10分制，保留一位小數(shù))，現(xiàn)隨機(jī)抽取20天的指數(shù)(見下表)，將指數(shù)不低于視為當(dāng)天空氣質(zhì)量優(yōu)良.天數(shù)12345678910空氣質(zhì)量指數(shù)天數(shù)11121314151617181920空氣質(zhì)量指數(shù)(1)求從這20天隨機(jī)抽取3天，至少有2天空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率；(2)以這20天的數(shù)據(jù)估計(jì)我市總體空氣質(zhì)量(天數(shù)很多)，若從我市總體空氣質(zhì)量指數(shù)中隨機(jī)抽取3天的指數(shù)，用表示抽到空氣質(zhì)量為優(yōu)良的天數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.20．（12分）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，.（Ⅰ）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（Ⅱ）求.21．（12分）如圖所示是豎直平面內(nèi)的一個(gè)“通道游戲”，圖中豎直線段和斜線都表示通道，并且在交點(diǎn)處相遇．若有一條豎直線段的為第一層，第二條豎直線段的為第二層，以此類推，現(xiàn)有一顆小球從第一層的通道向下運(yùn)動(dòng)，在通道的交叉處，小球可以落入左右兩個(gè)通道中的任意一個(gè)，記小球落入第層的第個(gè)豎直通道（從左向右計(jì)）的不同路徑數(shù)為．（1）求，，的值；（2）猜想的表達(dá)式（不必證明），并求不等式的解集．22．（10分）若集合具有以下性質(zhì)：（1）且；（2）若，，則，且當(dāng)時(shí)，，則稱集合為“閉集”.（1）試判斷集合是否為“閉集”，請(qǐng)說明理由；（2）設(shè)集合是“閉集”，求證：若，，則；（3）若集合是一個(gè)“閉集”，試判斷命題“若，，則”的真假，并說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】分析：按題意5人去三所學(xué)校，人數(shù)分配可能是1，1，3或1，2，2，因此可用分類加法原理求解．詳解：由題意不同方法數(shù)有．故選D．點(diǎn)睛：本題考查排列組合的綜合應(yīng)用，此類問題可以先分組再分配，分組時(shí)在1，2，2一組中要注意2,2分組屬于均勻分組，因此組數(shù)為，不是，否則就出錯(cuò)．2、A【解析】

根據(jù)分段函數(shù)解析式，結(jié)合指數(shù)冪與對(duì)數(shù)的運(yùn)算，即可化簡求解.【詳解】函數(shù)則，所以，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)的求值，指數(shù)冪與對(duì)數(shù)式的運(yùn)算應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】

根據(jù)命題“”是特稱命題，其否定為全稱命題，將“?”改為“?”，“≤“改為“＞”即可得答案【詳解】∵命題“”是特稱命題∴命題的否定為．故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查全稱命題與特稱命題的相互轉(zhuǎn)化問題．這里注意全稱命題的否定為特稱命題，反過來特稱命題的否定是全稱命題．4、B【解析】

根據(jù)對(duì)稱性知是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，且，可得，利用雙曲線的定義得出，再利用銳角三角函數(shù)的定義可求出雙曲線的離心率的值.【詳解】由雙曲線的對(duì)稱性可知，是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，且，則，由雙曲線的定義可得，在中，，，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率的求解，要充分研究雙曲線的幾何性質(zhì)，在遇到焦點(diǎn)時(shí)，善于利用雙曲線的定義來求解，考查邏輯推理能力和計(jì)算能力，屬于中等題．5、D【解析】

根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形把三棱錐補(bǔ)充為長方體，則該長方體的外接球即為三棱錐的外接球，計(jì)算長方體的對(duì)角線，求出外接球的直徑和表面積．【詳解】根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示，

以AB、BD和CD為棱，把三棱錐補(bǔ)充為長方體，

則該長方體的外接球即為三棱錐的外接球，

且長方體的對(duì)角線是外接球的直徑；

，

外接球O的表面積為．

故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐外接球表面積計(jì)算問題，將三棱錐補(bǔ)成長方體，是求外接球直徑的關(guān)鍵，屬于中檔題．6、D【解析】A：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知恒成立，所以A錯(cuò)誤．

B：當(dāng)時(shí)，，所以B錯(cuò)誤．

C：若時(shí)，滿足，但不成立，所以C錯(cuò)誤．D：則，由充分必要條件的定義，，是的充分條件，則D正確．

故選D．7、B【解析】

先計(jì)算數(shù)據(jù)的中心點(diǎn)，代入回歸方程得到，再代入計(jì)算對(duì)應(yīng)值.【詳解】數(shù)據(jù)中心點(diǎn)為代入回歸方程當(dāng)時(shí)，y的值為故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)據(jù)的回歸方程，計(jì)算數(shù)據(jù)中心點(diǎn)代入方程是解題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.8、B【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，化簡復(fù)數(shù)，即可得到復(fù)數(shù)的虛部，得到答案．【詳解】由題意，復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)的虛部為，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的概念的應(yīng)用，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．9、C【解析】

根據(jù)能被2整除，可知為偶數(shù).最高位不能為0，可分類討論末位數(shù)字，即可得總個(gè)數(shù).【詳解】由能夠被2整除，可知該六位數(shù)為偶數(shù)，根據(jù)末位情況，分兩種情況討論：當(dāng)末位數(shù)字為0時(shí)，其余五個(gè)數(shù)為任意全排列，即有種；當(dāng)末位數(shù)字為2或4時(shí)，最高位從剩余四個(gè)非零數(shù)字安排，其余四個(gè)數(shù)位全排列，則有，綜上可知，共有個(gè).故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了排列組合的簡單應(yīng)用，分類分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】分析：求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由切線方程可得，即可得到答案.詳解：的導(dǎo)數(shù)為，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，有，解得.故選：B.點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，求切線的斜率，注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，正確求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵.11、A【解析】因?yàn)槭羌兲摂?shù)，12、C【解析】

首先根據(jù)向量的線性運(yùn)算求出向量，再利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示列出方程，即可求出的值．【詳解】因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以，即，解得或，又，所以．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算，平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、a＜b【解析】

可先利用作差法比較兩數(shù)平方的大小，然后得出兩數(shù)的大小關(guān)系.【詳解】解：因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以，而，所以得?【點(diǎn)睛】本題考查了綜合法與分析法比較兩數(shù)的大小關(guān)系，解題時(shí)可先用分析法進(jìn)行分析，再用綜合法進(jìn)行書寫解題過程.14、2【解析】

連接，通過證明和可知即為異面直線與之間的距離，利用勾股定理可求得結(jié)果.【詳解】連接，，，又平面，又平面即為異面直線與之間的距離又本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查異面直線間距離的求解，關(guān)鍵是能夠通過垂直關(guān)系找到異面直線之間的公垂線段.15、【解析】試題分析：先讓中國領(lǐng)導(dǎo)人站在第一排正中間位置共一種站法，再讓美俄兩國領(lǐng)導(dǎo)人站在與中國領(lǐng)導(dǎo)人相鄰的兩側(cè)共站法，最后，另外個(gè)領(lǐng)導(dǎo)人在前后共位置任意站，共有種站法，所以，根據(jù)分步計(jì)數(shù)乘法原理，不同的排法共有種，故答案為.考點(diǎn)：排列組合及分步計(jì)數(shù)乘法原理的應(yīng)用.16、【解析】

通過余弦定理可以求出的長，而，用余弦定理求出的表達(dá)式，代入上式可以直接求出的長．【詳解】由余弦定理可知：,設(shè)，由余弦定理可知：而，即解得，故邊上中線的長為．【點(diǎn)睛】本題考查了利用余弦定理求三角形中線長的問題．本題也可以應(yīng)用中點(diǎn)三角形來求解，過程如下：延長至，使得,易證出,,由余弦定理可得：.．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1).(2)見解析.【解析】

（1）正難則反，先求這2人來自同一年級(jí)的概率，再用1減去這個(gè)概率，即為這2人來自兩個(gè)不同年級(jí)的概率；（2）先求X的所有可能的取值，為0,1,2，再分別求時(shí)對(duì)應(yīng)的概率P進(jìn)而得到分布列，利用計(jì)算可得數(shù)學(xué)期望?！驹斀狻浚?）設(shè)事件表示“這2人來自同一年級(jí)”,這2人來自兩個(gè)不同年級(jí)的概率為.（2）隨機(jī)變量的可能取值為0,1,2,,,所以的分布列為012【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率求解、離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題型。18、（1）（2）【解析】

（1）直接利用三角函數(shù)的定義的應(yīng)用求出結(jié)果．（2）利用同角三角函數(shù)關(guān)系式的變換和誘導(dǎo)公式的應(yīng)用求出結(jié)果．【詳解】（1）由題意，由角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，根據(jù)三角函數(shù)的定義，可得．由知，則．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，同角三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，主要考察學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于基礎(chǔ)題型．19、（1）；（2）見解析.【解析】試題分析：（1）根據(jù)組合數(shù)公式計(jì)算所有可能的情況種數(shù)，得出答案；

（2）根據(jù)二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式得出分布列，再計(jì)算數(shù)學(xué)期望．試題解析：(1)解：由表中數(shù)據(jù)可知，空氣質(zhì)量指數(shù)不低于的天數(shù)是12天，即空氣質(zhì)量為優(yōu)良的天數(shù)是12天.記“至少有2天空氣質(zhì)量為優(yōu)良”為事件，方法1：；方法2：.(2)20天中優(yōu)良天數(shù)的概率為.于是估計(jì)我市總體空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的概率為，因此服從參數(shù)為，的二項(xiàng)分布.即.所有可能取值為0，1，2，3.所以，，，.故的分布列為：0123所以的數(shù)學(xué)期望為：.20、(1)見解析(2)【解析】

可通過和來構(gòu)造數(shù)列，得出是等比數(shù)列，在帶入得出首項(xiàng)的值，以此得出數(shù)列解析式?？梢韵劝逊殖蓛刹糠忠来吻蠛?。【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即，則，所以，又，故數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．（2）由（1）知，所以，故．設(shè)，則，所以，所以，所以?！军c(diǎn)睛】本題考查構(gòu)造數(shù)列以及數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和。21、（1），，；（2），不等式的解集為.【解析】

（1）根據(jù)題意得出，，且可求出，，以及；（2）根據(jù)可得出，然后得出的表達(dá)式，從而得出不等式的解集.【詳解】（1）由題意可得，，且.，；（2）由可推得，不等式即為，，，，，.解不等式，可得的可能取值有、、、、、.所以，不等式的解集為.【點(diǎn)睛】本題考查楊輝三角性質(zhì)的應(yīng)用，考查組合數(shù)的應(yīng)用以及組合不等式的求解，解題的關(guān)鍵就是要找出遞推公式，逐項(xiàng)計(jì)算即可，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.22、（1）否，理由見