2020年高考文科數(shù)學(xué)《推理與證明》題型歸納與訓(xùn)練

#2020年高考文科數(shù)學(xué)《推理與證明》題型歸納與訓(xùn)練【題型歸納】題型一歸納推理x例1已知f(X)=-——,X>0，若f(X)=f(X),f(X)=f(f(X)),neN，則f(x)的表達(dá)式為1+X 1 n+1 n + 2014【答案】X1+2014【答案】X1+2014xX可得于3(X)二f(于2(X))二K，故可歸納得f2014(X)二X1+2014x例2觀察下列等式:12=112—22=—312—22+32=612—22+32—42=—10照此規(guī)律，第n個(gè)等式可為.n(n+1)【答案】12—22+32—42+...+(—1)n+1n2=(—1)n+卜 (n￡N*)2【解析】 觀察上式等號(hào)左邊的規(guī)律發(fā)現(xiàn)，左邊的項(xiàng)數(shù)一次加1,故第n個(gè)等式左邊有n項(xiàng)，每項(xiàng)所含的底數(shù)的絕對(duì)值也增加1,一次為1,2,3,…n，指數(shù)都是2,符號(hào)成正負(fù)交替出現(xiàn)可以用(—1)n+1表示，n(n+1)等式的右邊數(shù)的絕對(duì)值是左邊項(xiàng)的底數(shù)的和，故等式的右邊可以表示為(—1)n?—^ ,所以第n個(gè)式n(n+1)子可為12—22+32—42+.+(—1)n+1n2=(―1)n+卜 —(n￡N*).2例3古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過(guò)各種多邊形數(shù).如三角形數(shù)1,3,6,10,…，第n個(gè)三角形n(n+1)1 1 ,數(shù)為一--=5n2+-n.記第n個(gè)k邊形數(shù)為乙 乙 乙N(n,k)(k>3),以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個(gè)數(shù)的表達(dá)式:三角形數(shù)正方形數(shù)N三角形數(shù)正方形數(shù)N(n,3)=N(n,4)=n231五邊形數(shù) N(n,5)=—n2——n乙 乙六邊形數(shù) N(n,6)=2n2-n可以推測(cè)N(n,k)的表達(dá)式，由此計(jì)算N(10,24)=.【答案】1000【解析】觀察n2和n前面的系數(shù)，可知一個(gè)成遞增的等差數(shù)列另一個(gè)成遞減的等差數(shù)列，故N(n,24)=11n2-10n，.二N(10,24)=1000題型二類比推理例1若數(shù)列｝是等差數(shù)列，則數(shù)列b=a1+"+Aa也為等差數(shù)列.類比這一性質(zhì)可知，若正項(xiàng)數(shù)n nnTOC\o"1-5"\h\z列《｝是等比數(shù)列，且氫｝也是等比數(shù)列，則d的表達(dá)式應(yīng)為(nn nc?c?cAcB.d=-4——2——3 nn n、cn+cn+A+cnC.d=中t2 nn n【答案】Da2+b2一，.、例2若直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)度分別為a,b，則此三角形的外接圓半徑r=——，運(yùn)用類比方法，若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直且長(zhǎng)度分別為a,b,c，則其外接球的半徑R=.a2+b2+c2【答案】R=- AG例3已知結(jié)論：“在正三角形ABC中，若D是邊BC的中點(diǎn)，G是三角形ABC的重心，則 =2"，若GD把該結(jié)論推廣到空間，則有結(jié)論：“在棱長(zhǎng)都相等的四面體ABCD中，若ABCD的中心為M，四面體內(nèi)部一點(diǎn)O到四面體各面的距離都相等，則也=.OM【答案】3例4在平面上，我們?nèi)绻靡粭l直線去截正方形的一個(gè)角，那么截下的一個(gè)直角三角形，按下圖所標(biāo)邊長(zhǎng)，由勾股定理有：c2=a2+b2.設(shè)想正方形換成正方體，把截線換成如圖的截面，這時(shí)從正方體上截下三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐O-LMN，如果用S,S,S表示三個(gè)側(cè)面面積，S表示截面面積，那么類比得到123 4的結(jié)論是【答案】S2十S2+S2=S21234【解析】將側(cè)面面積類比為直角三角形的直角邊，截面面積類比為直角三角形的斜邊，可得S2十S2+S2=S2.故填S2十S2+S2=S2.1234 1234【易錯(cuò)點(diǎn)】類比推理所涉及高中的知識(shí)點(diǎn)存在漏洞?！舅季S點(diǎn)撥】本題考查的是平面到空間的推廣類比，并且在推導(dǎo)空間的結(jié)論時(shí)用到了平面的結(jié)論．一般地，平面中的一些元素與空間中的一些元素可類比如下：平面占八、、線圓三角形角面積周長(zhǎng)(((空間線面球三棱錐二面角體積表面積(((題型三演繹推理例i有一段“三段論”，推理是這樣的：對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)fQ),如果f晨)=0,那么x=x是函數(shù)fQ)的00極值點(diǎn).因?yàn)閒Q)=X3在X=0處的導(dǎo)數(shù)值廣b)=0,所以X=0是函數(shù)f(x)=X3的極值點(diǎn).以上推理中( )A.大前提錯(cuò)誤 B.小前提錯(cuò)誤 C推理形式錯(cuò)誤 D.結(jié)論正確【答案】A【解析】對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，如果ff(X)=0，那么X=X不一定是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，大前提錯(cuò)誤，故00選A.【易錯(cuò)點(diǎn)】前提和推理形式正確性的確定?！舅季S點(diǎn)撥】演繹推理是一種必然性推理，只有前提和推理形式都是正確的，結(jié)論才一定是正確的，否則，不能保證結(jié)論的可靠性．題型四邏輯推理例1有三張卡片，分別寫有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說(shuō)：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，乙看了丙的卡片后說(shuō)：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，丙說(shuō)“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”，則甲的卡片上的數(shù)字是 ．【答案】1和3.【解析】因?yàn)榧着c乙的卡片上相同的數(shù)字不是2，所以甲、乙的卡片中必有一張寫有1和3，而丙的卡片又不可能寫有2和3（和不是5），則丙的卡片上寫的只能是1和2.從而知乙卡片上寫有2和3（與丙相同數(shù)字不是1），則甲卡片上寫有1和3.故填1和3.【易錯(cuò)點(diǎn)】邏輯推理的關(guān)鍵是具體問(wèn)題具體分析?！舅季S點(diǎn)撥】推理在實(shí)際生活中的應(yīng)用是近年高考的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題，對(duì)已知條件進(jìn)行有效的組合一般可直接得到結(jié)果，對(duì)復(fù)雜情形，可能需要先假設(shè)，再判斷．【鞏固訓(xùn)練】題型一歸納推理1.某種樹的分枝生長(zhǎng)規(guī)律如圖所示，第1年到第5年的分枝數(shù)分別為1，1，2，3，5，則預(yù)計(jì)第10年樹的分枝數(shù)為 ．【答案】55.【解析】解：因?yàn)?=1+1,3=2+1,5=3+2,即從第三項(xiàng)起每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)的和，所以第10年樹的分枝數(shù)為21+34=55.故填55.

2.已知“整數(shù)對(duì)”按如下規(guī)律排成一列：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3,2）,（4,1）,…，則第60個(gè)“整數(shù)對(duì)”是（）A．（7，5） B．（5，7） C．（2，10） D．（10，1）【答案】B【解析】依題意，就每組整數(shù)對(duì)的和相同的分為一組，不難得知每組整數(shù)對(duì)的和為n+1,且每組共有n個(gè)整數(shù)時(shí)，這樣的前n組一共有nn^D個(gè)整數(shù)，注意到叫+'<60<1"；+'，因此第60個(gè)整數(shù)對(duì)處于第11組（每對(duì)整數(shù)對(duì)的和為12的組）的第5個(gè)位置,結(jié)合題意可知每對(duì)整數(shù)對(duì)的和為12的組中的各數(shù)對(duì)依次為（1,11）,（2,10）,（3,9）,（4,8）,（5,7）,…，因此第60個(gè)整數(shù)對(duì)是（5,7）.故選B.3.某同學(xué)在電腦上打下了一串黑白圓，如圖所示，。。?！?。。?！啊?。?！催@種規(guī)律往下排，那么第36個(gè)圓的顏色應(yīng)是 ．【答案】白色【解析】由觀察知，圖形是三白二黑的圓周而復(fù)始相繼排列，是一個(gè)周期為5的三白二黑的圓列.因?yàn)?6-5=7余1,所以第36個(gè)圓應(yīng)與第1個(gè)圓顏色相同，即白色.故填白色.題型二類比推理ab1.在平面幾何里，已知Rt 的兩邊SA,SB互相垂直，且SA=a,SB=b,則AB邊上的高h(yuǎn)=. ,ASAB va2+b2現(xiàn)在把結(jié)論類比到空間：三棱錐S-ABC的三條側(cè)棱SA,SB,SC兩兩相互垂直，SH1平面ABC,且SA=a,SB=b,SC=c，則點(diǎn)S到平面ABC的距離h'=.【答案】h【答案】h'=abcrQ+b+c）2.已知三角形的三邊分別為a,b,c2.已知三角形的三邊分別為a,b,c,內(nèi)切圓的半徑為r,面積分別為S,S,S,S,內(nèi)切球的半徑為R，類比三角形的面積可得四面體的體積V為 .12 3 4R（S+S+S+S）【答案】v=——1——23一3——j3.現(xiàn)有一個(gè)關(guān)于平面圖形的命題：如圖，同一個(gè)平面內(nèi)有兩個(gè)邊長(zhǎng)都是a的正方形，其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心，則這兩個(gè)正方形重疊部分的面積恒為a2.類比到空間，有兩個(gè)棱長(zhǎng)均為a的正方體，其中4

一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心，則這兩個(gè)正方體重疊部分的體積恒為【答案】—8題型三邏輯推理.某單位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲說(shuō)：我在1日和3日都有值班；乙說(shuō)：我在8日和9日都有值班；丙說(shuō)：我們?nèi)烁髯灾蛋嗟娜掌谥拖嗟龋畵?jù)此可判斷丙必定值班的日期是( )A.10日和12日 B.2日和7日C.4日和5日 D.6日和11日【答案】D12【解析】這12天的日期之和，S12=5(1+12)=78,甲、乙、丙各自的值班日期之和是26,對(duì)于甲，剩余2天日期之和是22，因此這兩天是10日和12日，故甲在1日，3日，10日，12日值班；對(duì)于乙，剩余2天日期之和是9,故乙可能在2日,7日,或者是4日,5日值班,因此丙必定值班的日期是6日和11日．故選D.2.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問(wèn)成語(yǔ)競(jìng)賽的成績(jī)．老師說(shuō)：你們四人中有2位優(yōu)秀,2位良好,我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績(jī),給乙看丙的成績(jī),給丁看甲的成績(jī)．看后甲