綜合法求直線及平面所成角解析

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綜合法求直線與平面所成的角

1.作角：在斜線上取一點(diǎn)作平面的垂線方法：直線與平面所成的角用等積法求斜線上一點(diǎn)到平面的距離

1.已知平面α外兩點(diǎn)A、B到平面α的距離分別為1和2，A、B兩點(diǎn)在α內(nèi)的射影之間距離為3，求直線AB和平面α所成的角．

．解(1)如圖①，當(dāng)A、B位于平面α同側(cè)時(shí)，由點(diǎn)A、B分別向平面α作垂線，垂足分別為A1、B1，則AA1＝1，BB1＝2，B1A1＝3.過點(diǎn)A作AH⊥BB1于H，則AB和α所成角即為∠HAB.而2－13tan∠BAH＝3＝3.

∴∠BAH＝30°.

(2)如圖②，當(dāng)A、B位于平面α異側(cè)時(shí)，經(jīng)A、B分別作AA1⊥α于A1，BB1⊥α于B1，AB∩α＝C，則A1B1為AB在平面α上的射影，∠BCB1或∠ACA1為AB與平面α所成的角．

∵△BCB1∽△ACA1，∴BB1＝B1C＝2，AA1CA1

∴B1C＝2CA1，而B1C＋CA1＝3，

∴B1C＝233.

BB12∴tan∠BCB1＝＝＝3，B1C23

∴∠BCB1＝60°.

綜合(1)、(2)可知：AB與平面α所成的角為30°或60°.

2.如圖，在三棱錐ABC-A1B1C1中，ABC90，ABAC2,AA14,A1在精心整理

底

面ABC的射影為BC的中點(diǎn)，D為B1C1的中點(diǎn).

（1）證明：A1D平面A1BC；

（2）求直線A1B和平面BB1CC1所成的角的正弦值.

【答案】(1)略；(2)7

8

【分析】

利用線面垂直的定義獲取線線垂直，依照線面垂直的判斷證明直線與平面垂直；

(2)經(jīng)過增添協(xié)助線，證明A1F平面BB1C1C，以此找到直線與平面所

成角的平面角A1BF，在直角三角形A1BF中經(jīng)過確定邊長(zhǎng)，計(jì)算A1BF

的正弦值.

試題分析：(1)設(shè)為C中點(diǎn)，由題意得A1E平面C，因此A1EAE.

因?yàn)锳BAC，因此AEBC.

因此AE平面A1BC.

由D，分別為B1C1,BC的中點(diǎn)，得DE//BB1且DEBB1，進(jìn)而DE//AA1且

DEAA1，

因此AA1DE是平行四邊形，因此A1D//AE.精心整理

因?yàn)锳E平面A1BC，因此A1D平面A1BC.

(2)作A1FDE，垂足為F，連結(jié)F.

因?yàn)锳E平面A1BC，因此BCA1E.

因?yàn)锽CAE，因此BC平面AA1DE.

因此BCA1F,A1F平面BB1C1C.

因此A1BF為直線A1B與平面BB1C1C所成角的平面角.

由ABAC2,CAB90，得EAEB2.

由AE平面A1BC，得A1AA1B4,A1E14.

由DEBB14,DA1EA2,DA1E90，得A1F7.2

7因此sinA1BF8

【考點(diǎn)定位】1.空間直線、平面垂直關(guān)系的證明；2.直線與平面所成的角.

【名師點(diǎn)睛】此題主要察看空間直線與平面垂直的證明以及直線與平面所成角的大小的計(jì)算.可以利用直線與平面垂直的定義及判斷，經(jīng)過直線與直線垂直證明獲取直線與平面垂直；經(jīng)過證明直線與平面垂直，結(jié)構(gòu)獲取直線與平面所成角的平面角，利用解三角形的知識(shí)計(jì)算獲取其正弦值.此題屬于中等題，主要察看學(xué)生基本的運(yùn)算能力以及精心整理

空間想象能力，察看學(xué)生空間問題轉(zhuǎn)變?yōu)槠矫鎲栴}的轉(zhuǎn)變與化歸能

力.

3．在三棱柱中ABCA1B1C1中，側(cè)面ABB1A1為矩形，AB2,AA122，D是AA1的中點(diǎn)，BD與AB1交于點(diǎn)O，且CO平面ABB1A1．

1）證明：BCAB1；

2）若OCOA，求直線CD與平面ABC所成角的正弦值．

15

【答案】（1）詳看法析（2）5

【分析】

試題分析：（1）證明線線垂直，一般利用線面垂直判斷與性質(zhì)定理，經(jīng)多次轉(zhuǎn)變獲取，而線線垂直的搜尋與論證，經(jīng)常需要結(jié)合平幾知識(shí)

進(jìn)行：如此題即可利用三角形相像獲取AB1BD，再由線面垂直CO平面ABB1A1獲取線線垂直AB1CO，因此獲取AB1平面CBD，即AB1BC（2）由（1）中垂直關(guān)系可成立空間直角坐標(biāo)系，利用空間

向量求線面角：先求出各點(diǎn)坐標(biāo)，表示出直線方向向量，再利用方程

組解出平面法向量，利用向量數(shù)量積求出向量夾角，最后依照線面角

與向量夾角互余關(guān)系求解

tanABDAD2,tanABBAB2試題分析：（1）由題意12，AB2BB1

0ABD,AB1BABDAB1B，又2，∴精心整理

AB1BBAB1ABDBAB1∴2，∵AOBBD，又CO平面ABB1A1，∴AB1CO，2，∴AB1∵BD與CO交于點(diǎn)O，∴AB1平面CBD，又BC平面CBD，

∴AB1BC．（2）如圖，分別以O(shè)D,OB1,OC所在直線為x,y,z軸，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，成立以以以下列圖的空間直角坐標(biāo)系Ox，則23262360,,,0A0,,0,BC,0,D0,0,3333，設(shè)平面ABC的法向量為nx,y,z，26x23y033則nAB23y23z00，即33，nAC0

z2n2,1,11,x2令y1，則2，因此．設(shè)直線CD與平面ABC所成角為，則

考點(diǎn)：線面垂直判斷與性質(zhì)定理，利用空間向量求線面角

【思想點(diǎn)睛】垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)變與化歸思想的常有種類.精心整理

（1）證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)變?yōu)樽C明線線平行.

2）證明線面垂直，需轉(zhuǎn)變?yōu)樽C明線線垂直.

3）證明線線垂直，需轉(zhuǎn)變?yōu)樽C明線面垂直.

4.如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥底面ABCD，AC＝22，PA＝2，E是PC上的一點(diǎn)，PE＝2EC.

(1)證明：PC⊥平面BED；

(2)設(shè)二面角A－PB－C為90°，求PD與平面PBC所成角的大?。?/p>

(1)證明因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，

因此BD⊥AC.

又PA⊥底面ABCD，因此PC⊥BD.

如圖，設(shè)AC∩BD＝F，連結(jié)EF.

因?yàn)锳C＝22，PA＝2，PE＝2EC，

3故PC＝23，EC＝3，F(xiàn)C＝2，

PC進(jìn)而FC＝6，

ACEC＝6.

PCAC因?yàn)镕C＝EC，∠FCE＝∠PCA，

因此△FCE∽△PCA，∠FEC＝∠PAC＝90°.由此知PC⊥EF.

因?yàn)镻C與平面BED內(nèi)兩條訂交直線BD，EF都垂直，

因此PC⊥平面BED.

(2)解在平面PAB內(nèi)過點(diǎn)A作AG⊥PB，G為垂足．

因?yàn)槎娼茿－PB－C為90°，精心整理

因此平面PAB⊥平面PBC.

又平面PAB∩平面PBC＝PB，

故AG⊥平面PBC，AG⊥BC.

因?yàn)锽C與平面PAB內(nèi)兩條訂交直線PA，AG都垂直，

故BC⊥平面PAB，于是BC⊥AB，因此底面ABCD為正方形，AD＝2，

PD＝PA2＋AD2＝22.

設(shè)D到平面PBC的距離為d.

因?yàn)锳D∥BC，且AD?平面PBC，BC?平面PBC，

故AD∥平面PBC，A、D兩點(diǎn)到平面PBC的距離相等，即d＝AG

2.

設(shè)PD與平面PBC所成的角為α，

1則sinα＝PD＝2.

因此PD與平面PBC所成的角為30°.

6.以以以下列圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC

CC1，M，N分別是A1B，B1C1的中點(diǎn)．

(1)求證：MN⊥平面A1BC；

(2)求直線BC1和平面A1BC所成的角的大?。?/p>

(1)證明以以以下列圖，由已知BC⊥AC，BC⊥CC1，得BC⊥平面ACC1A1．

連結(jié)AC1，則BC⊥AC1．

由已知，可知側(cè)面ACC1A1是正方形，因此A1C⊥AC1．

又BC∩A1C＝C，

因此AC1⊥平面A1BC．精心整理

因?yàn)閭?cè)面ABB1A1是正方形，M是A1B的中點(diǎn)，連結(jié)AB1，則點(diǎn)

是AB1的中點(diǎn)．

又點(diǎn)N是B1C1的中點(diǎn)，則MN是△AB1C1的中位線，因此MN∥AC1．故MN⊥平面A1BC．

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