數(shù)據(jù)模型與決策

數(shù)據(jù)、模型與決策丁邦ingbangjun@

第一頁，共五十二頁。線性規(guī)劃與非線性規(guī)劃線性規(guī)劃問題線性規(guī)劃模型線性規(guī)劃的求解非線性規(guī)劃第二頁，共五十二頁。例

某家電公司準(zhǔn)備將一種新型電視機(jī)在三家商場(chǎng)進(jìn)行銷售，每一個(gè)商場(chǎng)的批發(fā)價(jià)和推銷費(fèi)及產(chǎn)品的利潤(rùn)如表所示。由于該電視機(jī)的性能良好，各商場(chǎng)都紛紛爭(zhēng)購，但公司每月的生產(chǎn)能力有限，只能生產(chǎn)1000臺(tái)，故公司規(guī)定:甲商場(chǎng)至少經(jīng)銷100臺(tái)，至多200臺(tái)；乙至少經(jīng)銷300臺(tái)，丙商場(chǎng)至少經(jīng)銷200臺(tái)。公司計(jì)劃在一個(gè)月內(nèi)的廣告預(yù)算費(fèi)為8000元，推銷人員最高可用工時(shí)數(shù)為1500，同時(shí)，公司只根據(jù)經(jīng)銷數(shù)進(jìn)行生產(chǎn)，試問：公司下個(gè)月采取的市場(chǎng)對(duì)策？一個(gè)例子第三頁，共五十二頁。經(jīng)銷商場(chǎng)銷售利潤(rùn)(元/臺(tái))

廣告費(fèi)(元/臺(tái))推銷工時(shí)(小時(shí)/臺(tái))甲商場(chǎng)50122乙商場(chǎng)8073丙商場(chǎng)7084甲乙丙三家市場(chǎng)銷售電視機(jī)情況第四頁，共五十二頁。S.t.建立線性模型第五頁，共五十二頁。S.t.線性規(guī)劃模型第六頁，共五十二頁。線性規(guī)劃求解方法圖解法√計(jì)算機(jī)解法—Excel,Lindo√單純形方法（需要矩陣知識(shí)）×第七頁，共五十二頁。線性規(guī)劃求解—圖解法例3生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，需要某種原料的數(shù)量和使用某種設(shè)備的時(shí)間如下：

單位產(chǎn)品的消耗資源總量

AB原料6432設(shè)備10230單位利潤(rùn)(萬元/噸)5

2

第八頁，共五十二頁。S.t.線性規(guī)劃求解—圖解法第九頁，共五十二頁。線性規(guī)劃求解—圖解法24681012141624681012141610x+2y=306x+4y=32xyP(2,5)0Q(5,2)5x+2y=0第十頁，共五十二頁。線性規(guī)劃求解—Excel工具規(guī)劃求解課堂演示：第十一頁，共五十二頁。線性規(guī)劃的對(duì)偶問題S.t.關(guān)于影子價(jià)格的討論。第十二頁，共五十二頁。非線性規(guī)劃—舉例*

優(yōu)利投資公司的投資組合僅包含三支股票STOCK1、STOCK2STOCK3，他們的預(yù)期回報(bào)率和風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)見下表。問在預(yù)期回報(bào)率一定的情況下，三支股票在投資組合中各占多大的比例才能使投資組合的風(fēng)險(xiǎn)最??？第十三頁，共五十二頁?；貓?bào)率平均數(shù)0.140.110.05回報(bào)率標(biāo)準(zhǔn)差0.20.150.08相關(guān)系數(shù)表

stock1stock2stock3stock11

stock20.61

stock3-0.4-0.71協(xié)方差表

stock1stock2stock3stock10.04

stock20.0180.0225

stock30.0064-0.70.0064三支股票的數(shù)據(jù)第十四頁，共五十二頁。規(guī)劃建模設(shè)三支股票的投資比例分別為a、b、c，那么得到下面關(guān)系:Excel求解投資比例分別為0.3390、0.3249、0.3361，此時(shí)風(fēng)險(xiǎn)達(dá)到最小值0.0084第十五頁，共五十二頁。三支股票的數(shù)據(jù)答案：優(yōu)利公司按照33.90%、32.49%、33.61%的比例投資三支股票STOCK1、STOCK2、STOCK3他們的預(yù)期回報(bào)率在達(dá)到10%的情況下，投資組合的風(fēng)險(xiǎn)將達(dá)到最小。第十六頁，共五十二頁。高級(jí)線性規(guī)劃數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（DEA）收益管理投資組合模型和資產(chǎn)分配博弈論第十七頁，共五十二頁。數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（DEA）DEA是線性規(guī)劃用于測(cè)量有相同目標(biāo)和目的的工作單位的相對(duì)效率的一種應(yīng)用。例如，DEA被用于一個(gè)連鎖銷售店中單個(gè)的快餐店。在這種情況下，DEA的目標(biāo)是找出應(yīng)該進(jìn)行進(jìn)一步研究以及如果必要?jiǎng)t進(jìn)行糾正的低效率店面。DEA還用于測(cè)量醫(yī)院、銀行、法院、學(xué)校等相對(duì)效率。在這些應(yīng)用中，每個(gè)機(jī)構(gòu)或組織的績(jī)效是相對(duì)于系統(tǒng)中所有運(yùn)行單位的績(jī)效來測(cè)量的?！躲y行分行的效率》描述了一個(gè)大型的知名銀行如何運(yùn)用DEA來發(fā)現(xiàn)哪個(gè)分行的運(yùn)營(yíng)是低效率的。第十八頁，共五十二頁。銀行分行的效率評(píng)估一個(gè)大型的知名銀行管理層想要在分行水平上改善運(yùn)營(yíng)。本研究選取了位于4個(gè)主要城市的182家分支銀行。DEA用于確定哪個(gè)銀行分行的運(yùn)營(yíng)是低效率的。DEA模型比較了每個(gè)分行與所有其他分行的實(shí)際運(yùn)營(yíng)結(jié)果，相對(duì)于績(jī)效最佳的分行，一個(gè)低生產(chǎn)力的分行生產(chǎn)相同的產(chǎn)出需要更多的資源。效率最佳的分行用１００％的DEA效率等級(jí)來標(biāo)出（Ｅ＝１００），低效或低生產(chǎn)力分行用少于１００％的DEA效率等級(jí)來標(biāo)出（Ｅ＜１００）第十九頁，共五十二頁。分行的輸入與輸出每個(gè)分行的輸入是：全日制出納人員的數(shù)目全日制非出納人員的數(shù)目停車位的數(shù)目ATM機(jī)的數(shù)目每位客戶的廣告花費(fèi)每個(gè)分行的輸出是：1.貸款的總量（直接貸款、間接貸款、商業(yè)貸款和股本貸款）2.存款的總量（支票存款、儲(chǔ)蓄存款和CD存款）3.每位客戶賬戶的平均數(shù)目4.基于季度的客戶調(diào)查的客戶滿意度打分第二十頁，共五十二頁。DEA結(jié)論最終收集了連續(xù)六個(gè)季度的數(shù)據(jù)以確定分行在這段時(shí)間內(nèi)是如何運(yùn)營(yíng)的。結(jié)論：DEA線性規(guī)劃模型的解顯示，182個(gè)分行中92個(gè)是完全高效的；只有5個(gè)分行低于70%的效率水平，并且大約25%的分行的效率等級(jí)處于80%-89%之間。DEA找出了相對(duì)低效的那些分行，并對(duì)這些分行如何提高生產(chǎn)率效率提供了建議。關(guān)注低生產(chǎn)力的分行，銀行能夠在不顯著減少規(guī)模和服務(wù)質(zhì)量的前提下，找到減少需要輸入的資源的方法。另外，DEA分析能使管理層更好地理解對(duì)分支銀行效率貢獻(xiàn)最大的因素。第二十一頁，共五十二頁。四個(gè)醫(yī)院的績(jī)效比較下面，我們通過一組4個(gè)醫(yī)院的績(jī)效來說明DEA的應(yīng)用。總醫(yī)院、大學(xué)醫(yī)院、縣醫(yī)院和州醫(yī)院的管理者聚在一起討論能以自己的醫(yī)院幫助彼此改進(jìn)績(jī)效的方法。一個(gè)顧問建議他們考慮采用DEA來測(cè)量每所醫(yī)院相對(duì)于所有4所醫(yī)院的績(jī)效。在討論這種評(píng)價(jià)如何進(jìn)行時(shí)，確定出下面三種輸入測(cè)量和四種輸出測(cè)量：第二十二頁，共五十二頁。醫(yī)院的輸入與輸出輸入測(cè)量：全日制非醫(yī)生人員的數(shù)目物資花費(fèi)總數(shù)可用床日的數(shù)目輸出測(cè)量：具有醫(yī)療保險(xiǎn)服務(wù)的病人日無醫(yī)療保險(xiǎn)服務(wù)的病人日培訓(xùn)的護(hù)士數(shù)目培訓(xùn)的實(shí)習(xí)醫(yī)生數(shù)目第二十三頁，共五十二頁。上述的數(shù)據(jù)分別如下表一4所醫(yī)院年消耗的資源（輸入）輸入總量總醫(yī)院大學(xué)醫(yī)院縣醫(yī)院州醫(yī)院全日制非醫(yī)生人員285.2162.3275.7210.4物資花費(fèi)（$1000s）123.8128.7348.5154.1可用床日（1000s）106.7264.21104.1104.04表二4所醫(yī)院提供的年服務(wù)（輸出）輸出總量總醫(yī)院大學(xué)醫(yī)院縣醫(yī)院州醫(yī)院醫(yī)療保險(xiǎn)病人數(shù)（1000s）48.1434.6236.7233.16無醫(yī)療保險(xiǎn)病人數(shù)（1000s）43.127.1145.9856.46培訓(xùn)的護(hù)士253148175160培訓(xùn)的實(shí)習(xí)醫(yī)生41272384第二十四頁，共五十二頁。DEA方法概述在DEA的這個(gè)應(yīng)用中，為每個(gè)要評(píng)價(jià)其效率的醫(yī)院都建立了一個(gè)線性規(guī)劃模型。為了說明該建模過程，我們構(gòu)造了一個(gè)用來確定縣醫(yī)院相對(duì)效率的線性規(guī)劃。首先，使用一個(gè)線性規(guī)劃模型，基于有相同目標(biāo)的所有運(yùn)營(yíng)單位的輸入和輸出，構(gòu)建一個(gè)假定的合成單位，在這個(gè)例子中是一家合成的醫(yī)院。對(duì)這4所醫(yī)院的每個(gè)輸出測(cè)量，合成醫(yī)院的輸出由全部4家醫(yī)院對(duì)應(yīng)輸出的加權(quán)平均計(jì)算而得。第二十五頁，共五十二頁。DEA方法概述對(duì)每個(gè)輸入測(cè)量，合成醫(yī)院的輸入由采用相同的權(quán)重的全部4家醫(yī)院對(duì)應(yīng)輸入的加權(quán)平均計(jì)算得到。線性規(guī)劃模型中的約束條件要求合成醫(yī)院的所有輸出大于等于要評(píng)價(jià)的縣醫(yī)院的輸出。如果組合單位的輸入能顯示出少于縣醫(yī)院的輸入，那么就說明合成醫(yī)院能利用較少的輸入產(chǎn)出一樣或更多的輸出。在這種情況下，模型就說明合成醫(yī)院比縣醫(yī)院更有效率。或者可以說，被評(píng)價(jià)的醫(yī)院比合成醫(yī)院的效率低。因?yàn)楹铣舍t(yī)院是基于全部4家醫(yī)院的，所以當(dāng)與同組內(nèi)其它醫(yī)院相比時(shí)，被評(píng)價(jià)醫(yī)院被判定為是相對(duì)低效的。第二十六頁，共五十二頁。DEA方法概述其次，為了確定在計(jì)算合成醫(yī)院的輸出和輸入時(shí)每家醫(yī)院所占的權(quán)重，我們假設(shè)如下決策變量：wg=總醫(yī)院輸入和輸出采用的權(quán)重wu=大學(xué)醫(yī)院輸入和輸出采用的權(quán)重wc=縣醫(yī)院輸入和輸出采用的權(quán)重ws=州醫(yī)院輸入和輸出采用的權(quán)重顯然，這些權(quán)重的總和等于1，因此，第一個(gè)約束條件是wg+wu+wc+ws=1第二十七頁，共五十二頁。DEA方法概述一般來說，每個(gè)DEA線性規(guī)劃模型都包含類似這樣一個(gè)要求運(yùn)營(yíng)單位權(quán)重之和等于1的約束條件。正如前面所說，對(duì)每個(gè)輸出測(cè)量，合成醫(yī)院的輸出由全部4家醫(yī)院對(duì)應(yīng)輸出的加權(quán)平均計(jì)算而得。例如，對(duì)輸出測(cè)量1，醫(yī)療保險(xiǎn)服務(wù)的病人日數(shù)目（YLFW），合成醫(yī)院的輸出則為：合成醫(yī)院YLFW=wg*總醫(yī)院YLFW+wu*大學(xué)醫(yī)院YLFW+wc*縣醫(yī)院YLFW+ws*州醫(yī)院YLFW第二十八頁，共五十二頁。DEA方法概述具體數(shù)據(jù)帶入，得到：（1）合成醫(yī)院醫(yī)療保險(xiǎn)=wg*48.14+wu*34.62+wc*36.72+ws*33.16類似地，我們得到其它三個(gè)輸出（2）合成醫(yī)院非醫(yī)療保險(xiǎn)=wg*43.10+wu*27.11+wc*45.98+ws*56.46（3）合成醫(yī)院護(hù)士=wg*253+wu*148+wc*175+ws*160（4）合成醫(yī)院實(shí)習(xí)醫(yī)生=wg*41+wu*27+wc*23+ws*84第二十九頁，共五十二頁。DEA方法概述對(duì)這4個(gè)輸出中的每一個(gè)，我們需要一個(gè)限制合成醫(yī)院的輸出大于等于縣醫(yī)院輸出的約束條件。因此，輸出的約束條件的總形式為合成醫(yī)院的輸出>=縣醫(yī)院的輸出，或者（1’）wg*48.14+wu*34.62+wc*36.72+ws*33.16>=36.72以相同的形式，得到其它三個(gè)約束條件如下：（2’）wg*43.10+wu*27.11+wc*45.98+ws*56.46>=45.98（3’）wg*253+wu*148+wc*175+ws*160>=175（4’）wg*41+wu*27+wc*23+ws*84>=23第三十頁，共五十二頁。DEA方法概述這4個(gè)輸出的約束條件要求線性規(guī)劃的解能夠得到一組權(quán)重，使得合成醫(yī)院的每個(gè)輸出測(cè)量都大于等于縣醫(yī)院對(duì)應(yīng)的輸出測(cè)量。因此，如果能找到一個(gè)滿足輸出約束條件的解，合成醫(yī)院每個(gè)輸出將生產(chǎn)與縣醫(yī)院至少一樣多的產(chǎn)出。第三十一頁，共五十二頁。DEA方法概述對(duì)于輸入而言，我們需要考慮構(gòu)建出合成醫(yī)院輸入與合成醫(yī)院可用資源之間關(guān)系的約束條件。三個(gè)輸入測(cè)量都需要一個(gè)約束條件，輸入的約束條件的總形式為合成醫(yī)院的輸入<=合成醫(yī)院可用的資源（注意該約束與輸出不同）對(duì)于每個(gè)輸入測(cè)量，合成醫(yī)院的輸入是4家醫(yī)院每個(gè)對(duì)應(yīng)輸入的加權(quán)平均，對(duì)于輸入測(cè)量1，合成醫(yī)院三種資源對(duì)應(yīng)的輸入為（1）合成醫(yī)院非醫(yī)生人員=285.2wg+162.3wu+275.7wc+210.4ws（2）合成醫(yī)院物資花費(fèi)=123.8wg+128.7wu+348.5wc+154.1ws（3）合成醫(yī)院床日=106.72wg+64.21wu+104.1wc+104.04ws第三十二頁，共五十二頁。DEA方法概述為了完成輸入的約束條件，我們必須寫出每個(gè)約束條件右側(cè)值得表達(dá)式。首先，要注意到右側(cè)值是合成醫(yī)院的可用資源。在DEA方法中，這些右側(cè)值是縣醫(yī)院輸入值得一個(gè)百分比。因此，我們必須引入下面的決策變量：

E=縣醫(yī)院輸入可用于合成醫(yī)院的百分比第三十三頁，共五十二頁。DEA方法概述為了說明E在DEA方法中所起的重要作用，我們將出示如何寫出合成醫(yī)院的非醫(yī)生人員數(shù)目的表達(dá)式。首先縣醫(yī)院的非醫(yī)院人員數(shù)目為275.7，因此，275.7E是合成醫(yī)院可用的非醫(yī)院人員數(shù)目。若E=1，即100%，那么，合成醫(yī)院的非醫(yī)院人員數(shù)目就是275.7，與縣醫(yī)院非醫(yī)院人員數(shù)目相同。然而，若E>1，則合成醫(yī)院就按比例擁有更多的非醫(yī)生人員；而當(dāng)E<1時(shí)，合成醫(yī)院就按比例擁有更少的非醫(yī)生人員。由于E在決定合成醫(yī)院可用資源時(shí)所起的作用，E被稱為效率指標(biāo)第三十四頁，共五十二頁。DEA方法概述根據(jù)關(guān)于輸入的這種分析，可得如下的約束條件：（1’）合成醫(yī)院非醫(yī)生人員285.2wg+162.3wu+275.7wc+210.4ws<=275.7E（2’）合成醫(yī)院物資花費(fèi)=123.8wg+128.7wu+348.5wc+154.1ws<=348.5E（3’）合成醫(yī)院床日=106.72wg+64.21wu+104.1wc+104.04ws<=104.1E如果在E<1能找到一個(gè)解，合成醫(yī)院要生產(chǎn)相同水平的輸出就不需要與縣醫(yī)院一樣多的資源。第三十五頁，共五十二頁。DEA方法概述DEA模型的目標(biāo)函數(shù)是最小化E的值，其等價(jià)于最小化合成醫(yī)院可用的輸入資源。因此，目標(biāo)函數(shù)為：MinE縣醫(yī)院效率評(píng)價(jià)的DEA線性規(guī)劃模型有5個(gè)決策變量和8個(gè)約束條件，完整的模型是：第三十六頁，共五十二頁。DEA方法概述MinEs.t.wg+wu+wc+ws=1wg*48.14+wu*34.62+wc*36.72+ws*33.16>=36.72wg*43.10+wu*27.11+wc*45.98+ws*56.46>=45.98wg*253+wu*148+wc*175+ws*160>=175wg*41+wu*27+wc*23+ws*84>=23-275.7E+285.2wg+162.3wu+275.7wc+210.4ws<=0-348.5E+123.8wg+128.7wu+348.5wc+154.1ws<=0-104.1E+106.72wg+64.21wu+104.1wc+104.04ws<=0wg,wu,wc,ws,E>=0第三十七頁，共五十二頁。DEA方法概述應(yīng)用Excel規(guī)劃求解得到如下結(jié)果：E0.905238wg0.212266wu0.260447wc0ws0.527287

st11st236.72st345.98st4176.6154st560.02707st6-35.8241st7-174.422st8-6.20E-07第三十八頁，共五十二頁。DEA方法概述我們首先注意到目標(biāo)函數(shù)值顯示縣醫(yī)院的效率得分為0.905，這個(gè)分?jǐn)?shù)告訴我們合成醫(yī)院通過使用不超過縣醫(yī)院需要輸入資源的90.5%，可以達(dá)到至少縣醫(yī)院能達(dá)到的每個(gè)輸出的水平。因此，合成醫(yī)院是更有效的，并且DEA分析指出縣醫(yī)院是相對(duì)低效的。第三十九頁，共五十二頁。DEA方法概述從上面的解中，我們還看出合成醫(yī)院是由總醫(yī)院（wg=0.212）、大學(xué)醫(yī)院（wu=0.26）和州醫(yī)院（ws=0.527）加權(quán)平均形成的。合成醫(yī)院的每一個(gè)輸入和輸出都是由這3家醫(yī)院的輸入和輸出進(jìn)行相同加權(quán)平均得來的。第四十頁，共五十二頁。DEA方法概述松弛/剩余列給出了縣醫(yī)院效率與合成醫(yī)院相比的一些其他信息。具體來說，合成醫(yī)院的每個(gè)輸出至少與縣醫(yī)院一樣多（約束條件2～5在最終解計(jì)算結(jié)果都大于0）。相比縣醫(yī)院，它多出1.6個(gè)培訓(xùn)護(hù)士（在約束條件4中，176.6-175=1.6）和37個(gè)培訓(xùn)的實(shí)習(xí)生（約束條件5），約束條件8的松弛為0，合成醫(yī)院使用的床日數(shù)約為縣醫(yī)院使用的90.5%。約束條件6和7合成醫(yī)院使用的非醫(yī)生人員和物資花費(fèi)資源少于縣醫(yī)院使用的90.5%。第四十一頁，共五十二頁。DEA方法概述很明顯，合成醫(yī)院比縣醫(yī)院更有效率，由此，我們得出結(jié)論，縣醫(yī)院與同組其它醫(yī)院相比是相對(duì)低效率的。鑒于DEA分析的結(jié)果，醫(yī)院管理者應(yīng)該檢查運(yùn)營(yíng)操作以確定應(yīng)該如何更有效地利用縣醫(yī)院的資源。第四十二頁，共五十二頁。DEA方法總結(jié)為了使用數(shù)據(jù)包絡(luò)分析方法來檢測(cè)縣醫(yī)院的相對(duì)效率，我們基于問題中4家醫(yī)院的輸入和輸出，利用一個(gè)線性規(guī)劃模型構(gòu)建了一所假定的合成醫(yī)院。使用DEA求解其它類型問題的方法是相似的。對(duì)每個(gè)我們需要測(cè)量其效率的運(yùn)營(yíng)單位，我們都必須建立并求解一個(gè)與測(cè)量縣醫(yī)院相對(duì)效率時(shí)求解的線性問題相似的線性規(guī)劃模型。怎樣求其它三家醫(yī)院的效率？第四十三頁，共五十二頁。DEA方法的靈敏度分析靈敏度分析（sensitivityanalysis）能夠?yàn)楣芾韺記Q策提供非常有用的信息，能夠幫助決策者做出正確的決策。我們知道，周圍環(huán)境的變化會(huì)使系數(shù)發(fā)生變化，系數(shù)的變化很可能會(huì)影響已求得的最優(yōu)解。因此，開明的管理者為了讓管理決策能夠更好地適應(yīng)現(xiàn)實(shí)環(huán)境，還要繼續(xù)研究最優(yōu)解對(duì)數(shù)據(jù)變化的反應(yīng)程度，以適應(yīng)各種偶然的變化，這是靈敏度分析所要研究的內(nèi)容之一，靈敏度分析研究的另一類問題是探討在原線性規(guī)劃模型的基礎(chǔ)上增加一個(gè)變量或者一個(gè)約束條件對(duì)最優(yōu)解的影響?？傊?，靈敏度分析通?？梢越鉀Q參數(shù)變化對(duì)模型的影響。第四十四頁，共五十二頁。DEA方法的靈敏度分析下面先討論單個(gè)目標(biāo)函數(shù)系數(shù)變化的靈敏度分析。在規(guī)劃求解結(jié)果對(duì)話窗中，從右邊的“報(bào)告”列表框中選擇“敏感性報(bào)告”選項(xiàng)，單擊“確定”，這時(shí)就生成新的工作表“敏感性報(bào)告”如下：（提示：含有整數(shù)約束條件的模型，不能生成敏感性報(bào)告）第四十五頁，共五十二頁。DEA方法的靈敏度分析MicrosoftExcel11.0敏感性報(bào)告工作表[4家醫(yī)院求解.xls]Sheet1報(bào)告的建立:2016/10/922:59:52可變單元格

終遞減單元格名字值梯度$C$2E0.9052378920$C$3wg0.21226620$C$4wu0.2604471380$C$5wc00.094762078$C$6ws0.5272866610第四十六頁，共五十二頁。DEA方法的靈敏度分析約束

終拉格朗日單元格名字值乘數(shù)$C$8st11-0.238885969$C$9st236.72000050.013964551$C$10st345.980000050.013730874$C$11st4176.6153910$C$12st560.02706650$C$13st6-35.824082280$C$14st7-174.42242840$C$15st8-6.18443E-07-0.009606148第四十七頁，共五十二頁。DEA方法的靈敏度分析

目標(biāo)式

單元格名字值$C$2E0.905

變量

下限目標(biāo)式上限目標(biāo)式單元格名字值極限結(jié)果極限結(jié)果$C$2E0.9050.9050.905#N/A#N/A$C$3wg0.2120.2120.9050.2120.905$C$4wu0.2600.2600.9050.2600.905$C$5wc0.0000.0000.9050.0000.905