第二章一元函數(shù)微分學

第二章一元函數(shù)微分學第1頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三一、函數(shù)導數(shù)的概念第一節(jié)函數(shù)的導數(shù)1.函數(shù)在點處的導數(shù)第一步：求改變量第二步：作比值第三步：取極限例2-1.已知函數(shù)，求第2頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三等價定義：(結(jié)論：極限式分子的被減數(shù)與減數(shù)中對應(yīng)符號內(nèi)的表達式之差恰好等于極限的分母，則該極限等于函數(shù)在指定點處的導數(shù).）第3頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三（1）設(shè)函數(shù)，求例2-2.（2）設(shè)函數(shù)，求（3）設(shè)函數(shù)，討論m在什么條件下連續(xù)與可導？第4頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三例2-3.設(shè)函數(shù)在點可導，求例2-4.（1）設(shè)，求（2）若，求第5頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三（2008-2）設(shè)函數(shù)可導，則下列式子中正確的是第6頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三(2005-13)設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，并滿足：,，求.第7頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三2.左導數(shù)和右導數(shù)左導數(shù)右導數(shù)導數(shù)存在性定理（求分段點的導數(shù)必須要用此定理）例2-5.用導數(shù)定義求在點處的導數(shù).第8頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三3.導數(shù)的幾何意義幾何意義：切線方程：法線方程：（2007-8）若直線是曲線的一條切線，則常數(shù)（2008-21）求曲線的切線，使其在兩坐標軸上的截距之和最小，并求此最小值.

第9頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三4.導數(shù)與連續(xù)的關(guān)系若函數(shù)在點可導，則在連續(xù).可導連續(xù)連續(xù)可導不連續(xù)不可導?連續(xù)不一定可導！第10頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三（1）設(shè)函數(shù)在點處可導，求的值.例2-6.（2）設(shè)，其中在處連續(xù)，求.5.導函數(shù)第11頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三二、函數(shù)導數(shù)的計算1.基本初等函數(shù)的導數(shù)公式第12頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三2.導數(shù)的四則運算第13頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三例2-7.求下列函數(shù)的導數(shù)第14頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三3.復(fù)合函數(shù)的導數(shù)（1）復(fù)合函數(shù)求導法中間變量第15頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三例2-8.求下列函數(shù)的導數(shù)第16頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三（2）抽象復(fù)合函數(shù)的導數(shù)例2-9.（1）設(shè)函數(shù)，求注意：對自變量求導對

求導對自變量求導對

求導第17頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三（3）已知，求（2）設(shè)函數(shù)可導，，求第18頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三4.隱函數(shù)的導數(shù)由方程所確定的函數(shù)稱為是的隱函數(shù)，其導數(shù)的求法為：對方程兩邊同時對求導，要記住是的函數(shù)，則的函數(shù)是的復(fù)合函數(shù)，對求導應(yīng)該按復(fù)合求導法則求解.例2-10.（1）設(shè)方程，求（2）設(shè)，求（3）設(shè)，求第19頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三（2007-14）設(shè)函數(shù)由方程所確定，求第20頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三5.冪指函數(shù)的導數(shù)（再利用隱函數(shù)求導法）（再利用復(fù)合函數(shù)求導法）第21頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三例2-11.求下列函數(shù)的導數(shù)第22頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三6.參數(shù)方程的導數(shù)若參數(shù)方程確定是的函數(shù)，則有例2-12.已知，求第23頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三(2008-14)設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程所確定，求(2006-14)設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程所確定，求(2005-14)設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程所確定，求第24頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三7.高階導數(shù)例2-13.設(shè)，求第25頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三8.函數(shù)的微分微分公式：第26頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三一、羅爾定理第二節(jié)中值定理條件如果函數(shù)滿足結(jié)論：（1）在閉區(qū)間連續(xù)；（2）在開區(qū)間可導（3）則至少存在一點使得第27頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三（2007-3）設(shè)函數(shù)

，則方程的實根個數(shù)為（）A.1B.2C.3D.4（2006-3）下列函數(shù)在上滿足羅爾定理條件的是()A.B.C.D.第28頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三二、拉格朗日定理條件如果函數(shù)滿足結(jié)論：（1）在閉區(qū)間連續(xù)；（2）在開區(qū)間可導則至少存在一點使得（2005-8）函數(shù)在區(qū)間上滿足拉格郎日中值定理的

.第29頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三8.利用羅比塔法則求極限(1)型的羅彼塔法則設(shè)函數(shù)滿足條件：在點a的某空心鄰域內(nèi)可導，且則必有①②③第30頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三例2-14.求下列函數(shù)的極限(2007-13)求極限

(2005-7)極限

第31頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三(2)型的羅彼塔法則例2-15.求極限第32頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三(3)型的羅彼塔法則如果，求解法：通過分母通分或根式有理化，將其化成型的不定式，然后再求極限.例2-16.求下列函數(shù)的極限第33頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三(4)型的羅彼塔法則如果，求注意：當為對數(shù)或反三角函數(shù)時不下放，即不將寫成例2-17.求極限第34頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三例2-18.求下列函數(shù)的極限第35頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三1.利用定義判斷函數(shù)的增減性任取增函數(shù)增區(qū)間減函數(shù)減區(qū)間（變量x與y同方向變化）（變量x與y反方向變化）注意：等號只是在個別點處取得，不影響函數(shù)的增減性第三節(jié)利用導數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)一、函數(shù)的增減性(證明題)第36頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三2.利用導數(shù)判斷函數(shù)的增減性設(shè)函數(shù)在上可導，則（1）在上是遞增的（2）在上是遞減的其中使成立的點僅有有限個.第37頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三小結(jié)：利用導數(shù)求函數(shù)的增減區(qū)間的步驟（1）求出的定義域；（2）令，求出全部駐點和導數(shù)不存在的點；（3）用駐點和導數(shù)不存在的點把定義域劃分為若干個小區(qū)間，考察各小區(qū)間內(nèi)的符號.例2-19.確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間駐點第38頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三3.利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法證明不等式證明過程如下：（1）移項使不等式一端為“0”，另一端即為所作輔助函數(shù)；（2）求并驗證在指定區(qū)間的增減性；（3）求出區(qū)間端點的函數(shù)值，作比較即可.例2-20.當時，證明不等式：(2008-24)對任意實數(shù)，證明不等式：（2007-24）求證：當時，.第39頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三二、函數(shù)的極值與最值1.函數(shù)極值的定義設(shè)函數(shù)在點的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，是該領(lǐng)域內(nèi)的任意一點，若第40頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三2.函數(shù)極值存在的條件（1）必要條件①函數(shù)的極值點必是函數(shù)的駐點或?qū)?shù)不存在點.

②駐點或?qū)?shù)不存在的點不一定就是函數(shù)的極值點.注意：點是曲線的極值點，則有或不存在.第41頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三(2005-2)若是函數(shù)的可導極值點，則常數(shù)()A.B.C.D.

第42頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三（2）第一充分條件例2-21.

求下列函數(shù)的極值第43頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三（3）第二充分條件(只適用駐點）設(shè)，存在①若有，則為的極小值.②若有，則為的極小值.例2-22.

求函數(shù)的極值.第44頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三小結(jié)：利用導數(shù)求函數(shù)極值點和極值的步驟（1）求出駐點和導數(shù)不存在的點；（2）利用第一充分條件判斷在點處是否取得極值；（3）求出極值（對于駐點還可以采用第二充分條件）第45頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三3.函數(shù)的最大值和最小值（1）最值的定義任意是函數(shù)的最小值.是函數(shù)的最小值.第46頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三（2）利用導數(shù)求函數(shù)在上的最值的步驟：②求出端點函數(shù)值

；①求出在內(nèi)的駐點和導數(shù)不存在的點；③將比較大小，最大的就是最大值，最小的就是最小值.例2-23.求函數(shù)在上的最大值和最小值.（2006-21）證明：當時，.第47頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三三、函數(shù)的凹性與拐點1.函數(shù)的凹性定義如果在某區(qū)間內(nèi)，曲線弧位于其上任意一點切線的上（下）方，則稱曲線在內(nèi)是上（下）凹的.曲線上凹與下凹的分界點稱為拐點.第48頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三2.判斷函數(shù)的凹性設(shè)函數(shù)在上二階可導，則（1）在上是上凹的（2）在上是下凹的是遞增的是遞減的第49頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三3.拐點存在的必要條件點是曲線