蘇教版-必修一-第二章 函數(shù) 微課

《函數(shù)概念與基本初等函數(shù)》隨堂練習抽象函數(shù)是高中數(shù)學的一個難點，也是近幾年來高考的熱點．考查方法往往基于一般函數(shù)，綜合考查函數(shù)的各種性質(zhì)．本節(jié)給出抽象函數(shù)中的函數(shù)性質(zhì)的處理策略，供內(nèi)同學們參考．定義域：解決抽象函數(shù)的定義域問題——明確定義、等價轉(zhuǎn)換．材料一：若函數(shù)的定義域為，求函數(shù)的定義域．解析：由的定義域為，知中的，從而，對函數(shù)而言，有，解之得：．所以函數(shù)的定義域為總結(jié)：函數(shù)的定義域是指自變量的取值范圍，求抽象函數(shù)的定義域的關(guān)鍵是括號內(nèi)式子的地位等同（即同一對應(yīng)法則后括號內(nèi)的式子具有相同的取值范圍），如本題中的與的范圍等同．值域：解決抽象函數(shù)的值域問題——定義域、對應(yīng)法則決定．材料二：若函數(shù)的值域為，求函數(shù)的值域．解析：函數(shù)中定義域與對應(yīng)法則與函數(shù)的定義域與對應(yīng)法則完全相同，故函數(shù)的值域也為．總結(jié)：當函數(shù)的定義域與對應(yīng)法則不變時，函數(shù)的值域也不會改變．對稱性：解決抽象函數(shù)的對稱問題——定義證明是根本、圖象變換是捷徑、特值代入是妙法．材料三：設(shè)函數(shù)定義在實數(shù)集上，則函數(shù)與的圖象關(guān)于（）A．直線對稱B．直線對稱C．直線對稱D．直線對稱解法一（定義證明）：設(shè)點是函數(shù)的圖象上的任意一點，則，關(guān)于直線的對稱點為，要使點在函數(shù)的圖象上，則，應(yīng)有，故，所以函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱．解法二（圖象變換法）：由函數(shù)的圖象向右平移1個單位得到函數(shù)的圖象；由函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱得到函數(shù)的圖象，再向右平移1個單位，得到的圖象．如圖所示，選D．解法三（特值代入法）：由已知可得點在函數(shù)的圖象上，點在函數(shù)的圖象上，又點P、Q關(guān)于直線對稱，選D．總結(jié)：了解一些簡單結(jié)論對解題也是很有好處的．如：函數(shù)滿足，則函數(shù)的自對稱軸為；函數(shù)與的互對稱軸為，即周期性：解決抽象函數(shù)的周期性問題——充分理解與運用相關(guān)的抽象式是關(guān)鍵．材料四：設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對稱．證明是周期函數(shù)．證明：由的圖象關(guān)于直線對稱，得，又是定義在R上的奇函數(shù)，所以，則由周期函數(shù)的定義可知4是它的一個周期．總結(jié)：一般地，,均可斷定函數(shù)的周期為2T．奇偶性：解決抽象函數(shù)的奇偶性問題——緊扣定義、合理賦值．材料五：已知是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對于任意的，都滿足：．判斷的奇偶性，并證明你的結(jié)論．解析：令，則，得；令，則，得；令，得，得因此函數(shù)為奇函數(shù)．總結(jié)：賦值是解決多變量抽象函數(shù)的重要手段．單調(diào)性：解決抽象函數(shù)的單調(diào)性問題——緊密結(jié)合定義、適當加以配湊．材料六：設(shè)是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且對于任意的，當時，都有：．若，試比較與的大小．解析：，，，又，，即．總結(jié)：本題實質(zhì)上是證明函數(shù)的單調(diào)性，有時也用到（或）來判斷．抽象函數(shù)的單調(diào)性，一般不用導(dǎo)數(shù)判斷．可解性：由抽象式求解析式問題——視為未知數(shù)，構(gòu)造方程（組）．材料七：設(shè)函數(shù)滿足……=1\*GB3①，求．解析：以代，得，……=2\*GB3②以代，得，……=3\*GB3③=1\*GB3①+=3\*GB3③-=2\*GB3②得：所以總結(jié)：在所給的抽象式中緊緊圍繞，將其余的式子替換成，構(gòu)造一個或幾個方程，然后設(shè)法求解．凹凸性：解決函數(shù)的凹凸性問題——捕捉圖象信息，數(shù)形結(jié)合．材料八：如圖所示，是定義在[0，1]上的四個函數(shù)，其中滿足性質(zhì)：“對[0，1]中任意的和，任意，恒成立”的只有（）A．B．C．D．解析：令，則不等式變?yōu)?，可知函?shù)是一個凹函數(shù)，故只有正確，選A．總結(jié)：函數(shù)的凹凸性在高中階段沒有專門研究，但也逐漸走入高考殿堂．總之，因為抽象函數(shù)密切聯(lián)系函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性等諸多性質(zhì)，加上本身的抽象性、多變性，使得抽象函數(shù)這一難點更加撲朔迷離．因此應(yīng)不斷挖掘隱含，靈活運用上述解題策略，定會收到良好的效果．課外練習：函數(shù)是定義域在[0，1]上的增函數(shù)，滿足且，在每個區(qū)間上，的圖象都是斜率為同一常數(shù)k的直線的一部分．（1）求、及的值，并歸納出的表達式；（2）直線，，軸及的圖象圍成的圖形的面積為，記，求的表達式，并寫出其定