微分中值定理的證明與應(yīng)用

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B09030124孫吉斌

一中值定理及證實(shí)：

1.極值的概念和可微極值點(diǎn)的須要條件:

定理(Fermat)設(shè)函數(shù)f在點(diǎn)0x的某鄰域內(nèi)有定義，且在點(diǎn)0x可導(dǎo)，若

點(diǎn)0x為f的極值點(diǎn)，則必有0)(0='xf羅爾中值定理：若函數(shù)f滿(mǎn)足如下條件：

（i）f在閉區(qū)間[a，b]上延續(xù)；（ii）f在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)；（iii）

)()(bfaf=，

則在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f'（ξ）=0。

證實(shí)：由于f在［a,b］上延續(xù)，所以有最大值與最小值，分離用M與m表

示，現(xiàn)分兩種狀況研究：(i)若M=m,則f在［a,b］上必為常數(shù)，從而結(jié)論

明顯成立。

(ii)若m＜M，則因f(a)=f(b)，使得最大值M與最小值m至少有一個(gè)

在(a,b)內(nèi)某點(diǎn)ξ處取得，從而ξ是f的極值點(diǎn)，由條件(ii)f在點(diǎn)ξ處可導(dǎo)，

故由費(fèi)馬定理推知)(ξf'=0.

注1：羅爾定理的幾何意義：在每一點(diǎn)都可導(dǎo)的一段延續(xù)曲線上，假如曲線的兩

端點(diǎn)高度相等，則至少存在一條水平切線。

注2：習(xí)慣上把結(jié)論中的ξ稱(chēng)為中值，羅爾定理的三個(gè)條件是充分而非須要的，

但缺少其中任何一個(gè)條件，定理的結(jié)論將不一定成立。

例如：???????≤≤-≤≤-對(duì)),,(bax∈?有0)(≥'xf(或)0≤;ⅱ>在),(ba內(nèi)任子區(qū)間上.0)(≡/'xf

2可微極值點(diǎn)判別法:極值問(wèn)題:極值點(diǎn),極大值還是微小值,極值是多少.

2.1可微極值點(diǎn)的須要條件:Fermat定理

函數(shù)的駐點(diǎn)和(延續(xù)但)不行導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為可疑點(diǎn),可疑點(diǎn)的求法.

2.2極值點(diǎn)的充分條件:對(duì)每個(gè)可疑點(diǎn),用以下充分條件進(jìn)一步鑒別是否為極值點(diǎn).

(充分條件Ⅰ)設(shè)函數(shù))(xf在點(diǎn)0x延續(xù),在鄰域),(00xxδ-和),(00δ+xx內(nèi)可導(dǎo).則

ⅰ>在),(00xxδ-內(nèi),0)('xf時(shí),?0x為)(xf的一個(gè)微小值點(diǎn);

ⅱ>在),(00xxδ-內(nèi),0)(>'xf在),(00δ+xx內(nèi)0)(若)(xf'在上述兩個(gè)區(qū)間內(nèi)同號(hào),則0x不是極值點(diǎn).

(充分條件Ⅱ)設(shè)點(diǎn)0x為函數(shù))(xf的駐點(diǎn)且)(0xf''存在.則

ⅰ>當(dāng)0)(0當(dāng)0)(0>''xf時(shí),0x為)(xf的一個(gè)微小值點(diǎn).

證法一.)(lim)()(lim)(000000

xxxfxxxfxfxfxxxx-'=-'-'=''→→當(dāng)0)(0n為奇數(shù)時(shí),0x不是極值點(diǎn);ⅱ>n為偶數(shù)時(shí),0x是極值點(diǎn).且0)(0)(>xfn對(duì)應(yīng)微小;0)(0)(+='≥+=,0)1(1)().0(,1)(2xxfxxxxf在),0[∞+內(nèi))(xf↗↗.于是,由||||||baba+≤+,就有)||||()||(bafbaf+≤+,即||1||||1||||||1||||||1||||||1||||||1||bbaababbaababababa+++≤+++++=+++≤+++.不等式原理:設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間),[∞+a上延續(xù),在區(qū)間),(∞+a內(nèi)可導(dǎo),且0)(>'xf;又.0)(≥af則ax>時(shí),.0)(>xf(不等式原理的其他形式.)

2.4.1凸性的定義及判定：

（1）凸性的定義：由直觀引入.強(qiáng)調(diào)曲線彎曲方向與升高方向的區(qū)分.定義設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間],[ba上延續(xù).若對(duì)],[,21baxx∈?,恒有

2)()(22121xfxfxxf+≥?????+,(或2)()(22121xfxfxxf+≤?????+.)

則稱(chēng)曲線)(xfy=在區(qū)間],[ba上是凹(或凸)的.若在上式中,當(dāng)21xx≠時(shí),有嚴(yán)格不等號(hào)成立,則稱(chēng)曲線)(xfy=在區(qū)間],[ba上是嚴(yán)格凹(或嚴(yán)格凸)的.凹和凸也分離稱(chēng)為

上凸和下凸.

(2)凸性的幾何意義:倘有切線,與切線的位置關(guān)系;與弦的位置關(guān)系;曲線的彎曲方向.

2.4.2利用二階導(dǎo)數(shù)推斷曲線的凸向:

設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間),(ba內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù),則在),(ba內(nèi)

⑴)(,0)(xfxf?''在),(ba內(nèi)嚴(yán)格下凸.

該判別法也俗稱(chēng)為“雨水法則”.

證法一(用Taylor公式)對(duì)),,(,21baxx∈?設(shè)2

210xxx+=

,把)(xf在點(diǎn)

0x綻開(kāi)成具Lagrange型余項(xiàng)的Taylor公式,有,)(2

)())(()()(202201001xxfxxxfxfxf-''+-'+=ξ202202202)(2)())(()()(xxfxxxfxfxf-''+

-'+=ξ.其中1ξ和2ξ在1x與2x之間.注重到)(0201xxxx--=-,就有

[]

20222022021))(())((21)(2)()(xxfxxfxfxfxf-''+-''+=+ξξ,于是若有?'',0)(xf上式中[])(2)()(,0021xfxfxf>+?>,即)(xf嚴(yán)格下凸.

證法二(利用Lagrange中值定理.)若,0)(>''xf則有)(xf'↗↗,不妨設(shè)21xx-=-xxxx，?))((101xxf-'ξ+22)(2)()(21021xxfxfxfxf，)(xf嚴(yán)格下凸.可類(lèi)證0)(單調(diào)函數(shù)的最值:

ⅱ>假如函數(shù))(xf在區(qū)間],[ba上可導(dǎo)且僅有一個(gè)駐點(diǎn),則當(dāng)0x為極大值點(diǎn)時(shí),0x亦為最大值點(diǎn);當(dāng)0x為微小值點(diǎn)時(shí),0x亦為最小值點(diǎn).

ⅲ>若函數(shù))(xf在R內(nèi)可導(dǎo)且僅有一個(gè)極大(或小)值點(diǎn),則該點(diǎn)亦為最大(或小)值點(diǎn).

ⅳ>對(duì)具有實(shí)際意義

則(或小)值點(diǎn).

3.1最值應(yīng)用問(wèn)題:例17A、B兩村距輸電線和5.1長(zhǎng).3km.現(xiàn)兩村合用一臺(tái)變壓器供電.問(wèn)變壓器設(shè)在何處,輸電線總長(zhǎng)BEAE+最小.

解設(shè)x，并設(shè)輸電線總長(zhǎng)為)(xL.則有

.30,5.1)3(1)(222≤≤+-++=+=xxxEBAExL015.1)3(1

)3(5.1)3()