線面垂直及面面垂直典型例題

-.z.線面垂直與面面垂直根底要點(diǎn)線面垂直線面垂直面面垂直線線垂直面面垂直線線垂直AUTONUM、假設(shè)直線與平面所成的角相等，則平面與的位置關(guān)系是〔B〕A、B、不一定平行于C、不平行于D、以上結(jié)論都不正確AUTONUM、在斜三棱柱,,又,過作⊥底面ABC，垂足為H，則H一定在〔B〕A、直線AC上B、直線AB上C、直線BC上D、△ABC的部AUTONUM、如圖示，平面⊥平面，與兩平面所成的角分別為和，過A、B分別作兩平面交線的垂線，垂足為，則〔A〕A、2:1B、3:1C、3:2D、4:3AUTONUM、如圖示，直三棱柱中，,DC上有一動點(diǎn)P，則△周長的最小值是5.長方體中，,假設(shè)棱AB上存在點(diǎn)P，使得,則棱AD長的取值圍是。題型一：直線、平面垂直的應(yīng)用1.〔2014，卷〕如圖，在三棱錐P-ABC中，D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點(diǎn)..求證：(1)QUOTE；(2)QUOTE.證明：(1)因?yàn)镈，E分別為棱PC，AC的中點(diǎn)，所以DE∥PA.又因?yàn)镻A?平面DEF，DE平面DEF，所以直線PA∥平面DEF.(2)因?yàn)镈，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點(diǎn)，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，DE＝PA＝3，EF＝BC＝4.又因DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2，所以∠DEF＝90°，即DE丄EF.又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.因?yàn)锳C∩EF＝E，AC平面ABC，EF平面ABC，所以DE⊥平面ABC.又DE平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC.2.(2014,卷，文科)如圖，在三棱柱中，側(cè)棱垂直于底面，，，、分別為、的中點(diǎn).〔1〕求證：平面平面；〔2〕求證：平面.證明：〔1〕在三棱柱中，.(2)取AB的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G、分別為、的中點(diǎn),,,則四邊形為平行四邊形，.3．如圖，是所在平面外的一點(diǎn)，且平面，平面平面．求證．分析：條件是線面垂直和面面垂直，要證明兩條直線垂直，應(yīng)將兩條直線中的一條納入一個平面中，使另一條直線與該平面垂直，即從線面垂直得到線線垂直．．證明：在平面作，交于．因?yàn)槠矫嫫矫嬗?，平面，且，所以．又因?yàn)槠矫?，于是有①．另外平面，平面，所以．由①②及，可知平面．因?yàn)槠矫?，所以．說明：在空間圖形中，高一級的垂直關(guān)系中蘊(yùn)含著低一級的垂直關(guān)系，通過此題可以看到，面面垂直線面垂直線線垂直．4.過點(diǎn)引三條不共面的直線、、，如圖，，，假設(shè)截取(1)求證：平面平面；(2)求到平面的距離．分析：要證明平面平面，根據(jù)面面垂直的判定定理，須在平面或平面找到一條與另一個平面垂直的直線．(1)證明：∵，又，∴和都是等邊三角形，∴，取的中點(diǎn)，連結(jié)，∴．在中，，∴，，∴，∴．在中，∴，，，∴，∴，∴平面．∵平面，∴平面平面．或：∵，∴頂點(diǎn)在平面的射影為的外心，又為，∴在斜邊上，又為等腰直角三角形，∴為的中點(diǎn)，∴平面．∵平面，∴平面平面．(2)解：由前所證：，，∴平面，∴的長即為點(diǎn)到平面的距離，，∴點(diǎn)到平面的距離為．AUTONUM、如圖示，ABCD為長方形，SA垂直于ABCD所在平面，過A且垂直于SC的平面分別交SB、SC、SD于E、F、G，求證：AE⊥SB,AG⊥SD6.在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PCD是正三角形，且與底面ABCD垂直，底面是面積為的菱形，，M是PB中點(diǎn)。(1)求證：PACD(2)求證：平面PAB平面CDM7.在多面體ABCDE中，AB=BC=AC=AE=1，CD=2，面ABC，AE//CD。(1)求證：AE//平面BCD；(2)求證：平面BED平面BCD題型二、空間角的問題1.如圖示，在正四棱柱中，，E為上使的點(diǎn)，平面交于F，交的延長線于G，求：〔1〕異面直線AD與所成的角的大小〔2〕二面角的正弦值2.如圖，點(diǎn)在銳二面角的棱上，在面引射線，使與所成的角為，與面所成的角大小為，求二面角的大小．分析：首先根據(jù)條件作出二面角的平面角，然后將平面角放入一個可解的三角形中〔最好是直角三角形〕，通過解三角形使問題得解．解：在射線上取一點(diǎn)，作于，連結(jié)，則為射線與平面所成的角，．再作，交于，連結(jié)，則為在平面的射影．由三垂線定理的逆定理，，為二面角的平面角．設(shè)，在中，,在△中，,是銳角，,即二面角等于．說明：此題綜合性較強(qiáng)，在一個圖形中出現(xiàn)了兩條直線所稱的角，斜線與平面所稱的角，二面角等空間角，這些空間角都要轉(zhuǎn)化為平面角，而且還要彼此聯(lián)系相互依存，要根據(jù)各個平面角的定義添加適當(dāng)?shù)妮o助線．3.正方體的棱長為1，是的中點(diǎn)．求二面角的大小．分析：求二面角關(guān)鍵是確定它的平面角，按定義在二面角的棱上任取了點(diǎn)，在二個半平面上分別作棱的垂線，方法雖簡便，但因與其他條件沒有聯(lián)系，要求這個平面角一般是很不容易的，所以在解題中不大應(yīng)用．在解題中應(yīng)用得較多的是"三垂線定理〞的方法，如圖考慮到垂直于平面，在平面上的射影就是．再過作的垂線，則面，過作的垂線，即為所求二面角的平面角了．解：過作及的垂線，垂足分別是、，連結(jié)．∵面，面，∴，又，∴面．又∵，∴，∴為所求二面角的平面角．∵∽，∴．而，，，∴．在中，．∵，∴．在中，，在中，，∴．4.PA垂直于矩形ABCD所在平面，M、E、N分別是AB、CD和PC的中點(diǎn)，〔１〕求證：MN∥平面PAD〔２〕假設(shè)二面角P－DC－A為，求證:平面MND⊥平面PDC5.正方體中，E為棱上的動點(diǎn)，〔1〕求證：⊥BD(2) 當(dāng)E恰為棱的中點(diǎn)時，求證：平面⊥平面〔3〕在棱上是否存在一個點(diǎn)E，可以使二面角的大小為？如果存在，試確定E在棱上的位置；如果不存在，請說明理由。題型三、探索性、開放型問題1.如圖，正方形ABCD的邊