第六章數(shù)值計算

第六章數(shù)值計算第1頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三6.1多項式運算1．多項式表示法2．多項式求值3．多項式乘法和除4．多項式的微積分5．多項式的根6．多項式部分分式展開7．多項式曲線擬合8．多曲線擬合圖形用戶接口

第2頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三MATLAB提供了關于多項式的函數(shù)：多項式的值；多項式的根和微分；多項式擬合曲線；部分分式。第3頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三多項式函數(shù)第4頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三1．多項式表示法

MATLAB采用行向量表示多項式系數(shù)，多項式系數(shù)按降冪排列。函數(shù)poly2str(p,’v’)或poly2sym(p)將多項式系數(shù)向量轉換為完整形式。第5頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三多項式的創(chuàng)建首先，了解多項式在matlab中，都是用多項式的系數(shù)矢量來表示，也就是行向量。對于多項式P(X)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an用p=[a0a1

…an-1an]來表示因此，創(chuàng)建多項式，可簡單總結為以下三個方法第6頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三系數(shù)矢量的直接輸入法即已知具體的多項式形式，在命令窗口直接輸入多項式的系數(shù)矢量。注意冪次缺項的處理。特征多項式輸入法借助于函數(shù)poly，取得矩陣的特征多項式系數(shù)，作為新的多項式系數(shù)矢量。由根矢量創(chuàng)建多項式同樣借助于函數(shù)poly，由根矢量得到多項式系數(shù)注意：如果希望創(chuàng)建實系數(shù)多項式，根矢量里如果有復數(shù)根必須共軛成對；若得到的系數(shù)中帶有很小的虛部，可用取實部命令real把虛部濾掉。第7頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三A:表示多項式系數(shù)向量；‘x’：表示變量用x表示。提供系數(shù)向量，用函數(shù)poly2str（）得出完整式。第8頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三2．多項式求值函數(shù)polyval()計算多項式的值，其具體使用方法如下：y=polyval(p,x)，p為多項式系數(shù)行向量，x代入多項式的值,是按數(shù)組規(guī)則計算；Y=polyvalm(p,X)，把矩陣X代入多項式p中進行計算，是按矩陣規(guī)則運算。第9頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三第10頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三3．多項式乘法和除法函數(shù)conv()和deconv()進行多項式乘法和除法，其具體使用方法如下：w=conv(u,v)，實現(xiàn)多項式乘法，返回結果多項式的系數(shù)行向量；[q,r]=deconv(u,v)，實現(xiàn)多項式除法，q是商，r是余數(shù)。第11頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三4．多項式的微積分（1）多項式的微分函數(shù)polyder()計算多項式的微分，其具體使用方法如下：k=polyder(p)，返回多項式p微分的系數(shù)向量；k=polyder(a,b)，返回多項式ab乘積微分的系數(shù)向量；第12頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三

[q,d]=polyder(b,a)，返回多項式b/a微分的系數(shù)向量。q，d是系數(shù)向量第13頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三什么意思！！第14頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三（2）多項式的積分

函數(shù)polyint()計算多項式的不定積分，其具體使用方法如下：s=polyint(p,k)，返回多項式p不定積分的系數(shù)向量，k為積分常數(shù)項，缺省為0。也可以簡化使用polyint(p)第15頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三5．多項式的根

函數(shù)roots()求多項式的根，其具體使用方法如下：r=roots(c)，返回多項式c的所有根r。第16頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三6．多項式部分分式展開

函數(shù)residue()將多項式之比按部分分式展開，其具體使用方法如下：[r,p,k]=residue(b,a)，求多項式b/a的部分分式展開；[b,a]=residue(r,p,k)，從部分分式得到多項式向量。第17頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三7．多項式曲線擬合函數(shù)polyfit()采用最小二乘法對給定數(shù)據(jù)進行多項式擬合，其具體使用方法如下：p=polyfit(x,y,n)，采用n次多項式p來擬合數(shù)據(jù)x和y。第18頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三legend（‘’）；是用于生產(chǎn)圖例。生成的圖例可以移動位置第19頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三運行結果如下圖所示。生成的圖例可以移動位置調整位置?。〉?0頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三6.2插值運算

6.2.1一維插值6.2.2二維插值第21頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三插值是根據(jù)已知輸入/輸出數(shù)據(jù)集和當前輸入估計輸出值。MATLAB提供大量的插值函數(shù)，如下表所示。插值函數(shù)第22頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三6.2.1一維插值一維插值就是對函數(shù)y=f(x)進行插值，一維插值的原理如下圖所示。第23頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三函數(shù)interp1()實現(xiàn)一維插值，其具體使用方法如下：yi=interp1(x,y,xi,method)，method用于指定插值的方法，包括：鄰近點插值（’nearest’）：返回已知數(shù)據(jù)集中與當前輸入最鄰近點對應的輸出；線性插值（’linear’）：返回當前輸入在與它相鄰兩點直線上的取值，是默認方法；三次樣條插值（’spline’）：返回當前輸入在采用三次樣條函數(shù)上的取值。比較第24頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三第25頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三運行結果如下圖所示。第26頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三6.2.2二維插值二維插值是對兩變量的函數(shù)z=f(x,y)進行插值，二維插值的原理如下圖所示：第27頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三

函數(shù)interp2()實現(xiàn)二維插值,其具體使用方法如下：zi=interp2(x,y,z,xi,yi,method)，method用于指定插值的方法。包括：鄰近點插值（’nearest’）：返回已知數(shù)據(jù)集中與當前輸入最鄰近點對應的輸出；雙線性插值（’linear’）：返回與當前輸入相鄰四點輸出的雙線性加權，是默認方法；三次樣條插值（’spline’）：返回當前輸入在采用三次樣條函數(shù)上的取值。

第28頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三[xiyi]=meshgrid(-3:0.25:3);zi=peaks(xi,yi);第29頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三運行結果如下圖所示。第30頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三6.3數(shù)據(jù)分析6.3.1基本數(shù)據(jù)分析函數(shù)6.3.2協(xié)方差和相關系數(shù)矩陣6.3.3有限差分和梯度6.3.4信號濾波和卷積6.3.5傅立葉變換第31頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三MATLAB提供大量數(shù)據(jù)分析的函數(shù)，首先給出如下約定：一維數(shù)據(jù)分析時，數(shù)據(jù)可以用行向量或者列向量來表示，運算是對整個矢量進行的；二維數(shù)據(jù)分析時，數(shù)據(jù)可以用多個向量或者二維矩陣來表示，函數(shù)運算按列進行。第32頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三6.3.1基本數(shù)據(jù)分析函數(shù)

1．最大值、最小值、平均值、中間值、元素求和2．標準差和方差3．元素排序第33頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三基本數(shù)據(jù)分析函數(shù)

第34頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三第35頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三續(xù)表第36頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三1．最大值、最小值、平均值、中間值、元素求和第37頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三運行結果如下，并如下圖所示。運行結果不一樣?。〉?8頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三2．標準差和方差第39頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三改為r5=r2^2第40頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三第41頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三第42頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三3．元素排序MATLAB提供對實數(shù)、復數(shù)和字符串的排序函數(shù)。函數(shù)sort()實現(xiàn)數(shù)值的排序；函數(shù)sortrows()實現(xiàn)對行的排序。第43頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三第44頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三6.3.2協(xié)方差和相關系數(shù)矩陣第45頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三

函數(shù)cov()計算隨機變量的協(xié)方差矩陣，其具體使用方法如下：C=cov(X)，計算X代表的隨機變量的協(xié)方差矩陣；C=cov(x,y)，x和y必須是具有相同長度的向量；第46頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三函數(shù)corrcoef()計算隨機變量的相關系數(shù)矩陣，其具體使用方法如下：R=corrcoef(X)，返回X代表的隨機變量的相關系數(shù)矩陣；R=corrcoef(x,y)，x和y必須是具有相同長度的向量。第47頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三6.3.3有限差分和梯度函數(shù)diff()計算差分，其具體使用方法如下：Y=diff(X)，X可以是向量或矩陣；Y=diff(X,n)，返回n階差分；Y=diff(X,n,dim)，返回在dim維上的n階差分。第48頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三第49頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三運行結果如下圖所示。第50頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三函數(shù)gradient()計算梯度，其具體使用方法如下：FX=gradient(F)，返回F在x方向上的梯度；[FX,FY]=gradient(F)，F(xiàn)X是F在x方向的近似偏導數(shù)，F(xiàn)Y是F在y方向的近似偏導數(shù)；[Fx,Fy,Fz,...]=gradient(F)，返回N個方向的近似偏導數(shù)；第51頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三[...]=gradient(F,h)，h用于指定所有方向上自變量的間距；[...]=gradient(F,h1,h2,...)，用多個標量來指定各個方向上自變量的間距。第52頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三運行結果如下圖所示。第53頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三6.3.4信號濾波和卷積1．一維數(shù)字濾波2．信號卷積3．去除信號直流或線性成分

第54頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三MATLAB提供如下表所示的信號濾波和卷積的函數(shù)。信號濾波和卷積函數(shù)第55頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三1．一維數(shù)字濾波函數(shù)filter()實現(xiàn)一維數(shù)字濾波，該函數(shù)的具體使用方法如下：y=filter(b,a,X)，X為用于濾波的數(shù)據(jù)，Y為數(shù)據(jù)X通過濾波器之后的值；[y,zf]=filter(b,a,X)，附加返回一個表示數(shù)據(jù)延遲時間的量zf；第56頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三[y,zf]=filter(b,a,X,zi)，zi為初始數(shù)據(jù)延遲，zf等于最終數(shù)據(jù)延遲；y=filter(b,a,X,zi,dim)，在dim維上進行數(shù)據(jù)濾波。第57頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三2．信號卷積函數(shù)conv()計算卷積。第58頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三運行結果如下圖所示。第59頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三3．去除信號直流或線性成分detrend()函數(shù)實現(xiàn)去除信號中的直流或者線性成分，其具體使用方法如下：y=detrend(x)，如果x是一個向量，從信號x中減去線性成分；如果x是一個矩陣，去除x所有列中的線性成分；第60頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三y=detrend(x,‘constant’)，如果x是一個向量，減去信號中的直流成分；如果x是一個矩陣，去除所有列中的直流成分；y=detrend(x,'linear',bp)，從信號x中減去分段線性函數(shù)。第61頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三6.3.5傅立葉變換1．一維傅立葉變換和逆變換2．二維傅立葉變換和逆變換

第62頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三

傅立葉變換既可以對連續(xù)信號進行變換，也可以對離散信號進行變換。本小節(jié)只介紹離散傅立葉變換。

傅立葉變換函數(shù)

第63頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三1．一維傅立葉變換和逆變換函數(shù)fft()實現(xiàn)一維離散傅立葉變換，其具體使用方法如下：Y=fft(X)，如果X是向量，返回向量X的傅立葉變換；如果X是矩陣，函數(shù)對矩陣X的每一列進行傅立葉變換；第64頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三Y=fft(X,n)，用輸入n指定傅立葉變換的長度；Y=fft(X,[],dim)，在dim維上進行傅立葉變換；Y=fft(X,n,dim)，在dim維上進行傅立葉變換，并指定傅立葉變換的長度。第65頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三函數(shù)ifft()實現(xiàn)一維離散傅立葉逆變換，其具體使用方法與函數(shù)fft()類似，只是添加一個選項。y=ifft(...,'symmetric')；y=ifft(...,'nonsymmetric')。第66頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三2．二維傅立葉變換和逆變換函數(shù)fft2()實現(xiàn)二維傅立葉變換，用函數(shù)ifft2來實現(xiàn)二維傅立葉逆變換。函數(shù)fft2()的具體使用方法如下：Y=fft2(X)，X是矩陣，對矩陣X進行二維傅立葉變換；Y=fft2(X,m,n)，m和n指定傅立葉變換的長度。第67頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三6.4功能函數(shù)

功能函數(shù)就是可以將其他函數(shù)作為輸入變量的函數(shù)。1．函數(shù)的表示2．函數(shù)畫圖3．函數(shù)最小值和零點4．數(shù)值積分5．在功能函數(shù)中使用含參函數(shù)第68頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三在matlab中，函數(shù)可以通過以下方式來表示：M文件；匿名函數(shù)；函數(shù)inline()。1．函數(shù)的表示第69頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三第70頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三2．函數(shù)畫圖MATLAB提供函數(shù)畫圖的函數(shù)如下表所示。函數(shù)畫圖的函數(shù)

第71頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三以函數(shù)fplot()為例介紹畫圖函數(shù)的用法，其具體使用方法如下：fplot(function,limits)，function為待畫圖的函數(shù)，limits是橫坐標數(shù)值范圍或橫縱坐標數(shù)值范圍；第72頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三fplot(function,limits,LineSpec)，LineSpec指定畫圖的線條屬性；fplot(function,limits,tol)，tol指定畫圖相對精度；fplot(function,limits,tol,LineSpec)，指定畫圖的線條屬性和畫圖相對精度。第73頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三畫網(wǎng)格的作用是1不是L第74頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三運行結果如下圖所示。第75頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三3．函數(shù)最小值和零點求函數(shù)的最小值和零點的函數(shù)，如下表所示。求函數(shù)最小值和零點

第76頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三（1）求一元函數(shù)最小值函數(shù)fminbnd()求一元函數(shù)在給定區(qū)間內的最小值，其具體使用方法如下：x=fminbnd(fun,,x1,x2)，在區(qū)間[x1x2]內尋找函數(shù)最小值；

第77頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三x=fminbnd(fun,x1,x2,options)，使用options選項來指定的優(yōu)化器的參數(shù)；[x,fval]=fminbnd(...)，附加返回函數(shù)最小值。第78頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三（2）求多元函數(shù)的最小值函數(shù)fminsearch()求多元函數(shù)的最小值。其具體使用方法如下：x=fminsearch(fun,x0)，在初始x0附近尋找局部最小值；x=fminsearch(fun,x0,options)，使用options選項來指定優(yōu)化器的參數(shù)；第79頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三[x,fval]=fminsearch(...)，附加返回函數(shù)最小值。第80頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三（3）求一元函數(shù)的零點函數(shù)fzero()求一元函數(shù)的零點，其具體使用方法如下：x=fzero(fun,x0)，在x0點附近尋找函數(shù)的零點；x=fzero(fun,[x0,x1])，在[x0,x1]區(qū)間內尋找函數(shù)的零點；第81頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三x=fzero(fun,x0,options)，用options指定尋找零點的優(yōu)化器參數(shù)；[x,fval]=fzero(...)，附加自變量為x時的函數(shù)值。第82頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三（4）優(yōu)化器參數(shù)函數(shù)optimset()設定優(yōu)化器參數(shù)，其具體使用方法如下：options=optimset('param1',value1,'param2',value2,...)，用參數(shù)名和對應的參數(shù)值設定優(yōu)化器的參數(shù)；第83頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三optimset，顯示優(yōu)化器的所有參數(shù)名和有效的參數(shù)值；options=optimset，返回一個優(yōu)化器的結構體；options=optimset(optimfun)，返回函數(shù)optimfun()對應的優(yōu)化器參數(shù)；第84頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三options=optimset(oldopts,'param1',value1,...)，在原優(yōu)化器參數(shù)oldopts的基礎上，改動指定優(yōu)化器參數(shù)；options=optimset(oldopts,newopts)，用newopts的所有非空參數(shù)覆蓋oldopts中的值。第85頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三在函數(shù)optimset()中常用的優(yōu)化器參數(shù)如下表所示。優(yōu)化器參數(shù)

第86頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三函數(shù)optimget()得到目前優(yōu)化器的參數(shù)，其具體使用方法如下：val=optimget(options,'param')，返回優(yōu)化器參數(shù)'param'的值；val=optimget(options,'param',default)，返回優(yōu)化器參數(shù)'param'的值。第87頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三4．數(shù)值積分MATLAB提供一些的數(shù)值積分函數(shù)，如下表所示。數(shù)值積分函數(shù)

第88頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三（1）一元函數(shù)的數(shù)值積分函數(shù)quad()和函數(shù)quadl()來計算一元函數(shù)的積分。函數(shù)quad()的具體使用方法如下：q=quad(fun,a,b)，計算函數(shù)fun在[ab]區(qū)間內的定積分；第89頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三q=quad(fun,a,b,tol)，以絕對誤差容限tol計算函數(shù)fun在[ab]區(qū)間內的定積分；q=quad(fun,a,b,tol,trace)，當trace為非零值時，顯示迭代過程的中間值。第90頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三（2）矢量數(shù)值積分矢量數(shù)值積分等價于多個一元定積分。第91頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三（3）二重和三重積分

函數(shù)dblquad()計算二重積分。其具體使用方法如下：q=dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax)，計算二元函數(shù)的二重積分；q=dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol)，用tol指定絕對計算精度；第92頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三q=dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol,method)，用method指定計算一維積分時采用的函數(shù)。第93頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三5．在功能函數(shù)中使用含參函數(shù)

功能函數(shù)中的含參函數(shù)的兩種解決方法：嵌套函數(shù)匿名函數(shù)第94頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三編寫M文件的函數(shù)時：首先將含參函數(shù)的參數(shù)作為輸入；其次在其中調用功能函數(shù)，形成嵌套；最后通過調用該函數(shù)進行計算。（1）用嵌套函數(shù)提供函數(shù)參數(shù)第95頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三第96頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三運行結果如下圖所示。第97頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三（2）用匿名函數(shù)提供函數(shù)參數(shù)用匿名函數(shù)提供函數(shù)參數(shù)的具體步驟如下：創(chuàng)建一個含參函數(shù)，并保存為M文件格式；調用功能函數(shù)的M文件中給參數(shù)賦值；用含參函數(shù)創(chuàng)建匿名函數(shù)；把匿名函數(shù)句柄傳遞給功能函數(shù)計算。第98頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三6.5微分方程組數(shù)值解在MATLAB中，可以計算微分方程數(shù)值解，如：常微分方程組的初值問題；延遲微分方程的問題；常微分方程組的邊界問題。第99頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三第100頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三6.5.1常微分方程組的初值問題1．顯式常微分方程組2．設置解法器參數(shù)3．線性隱式常微分方程組4．完全隱式常微分方程組第101頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三在MATLAB中可以計算以下初值問題的數(shù)值解。顯式常微分方程組；線性隱式常微分方程組；完全隱式常微分方程組。第102頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三1．顯式常微分方程組在MATLAB中，用函數(shù)實現(xiàn)不同的解法，如下表所示。第103頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三常微分方程組解法對比

第104頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三2．設置解法器參數(shù)函數(shù)odeset()設定解法器參數(shù)，其具體使用方法如下：options=odeset('name1',value1,'name2',value2,…)，用參數(shù)名和相應參數(shù)值設定解法器的參數(shù)；第105頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三options=odeset(oldopts,‘name1’,value1,…)，修改原來的解法器options結構體oldopts；options=odeset(oldopts,newopts)，合并兩個解法器options結構體oldopts和newopts；odeset，顯示所有的參數(shù)值和它們的默認值。第106頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三常微分方程組解法器參數(shù)第107頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三第108頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三3．線性隱式常微分方程組線性隱式常微分方程組可以利用解法器參數(shù)options來求解。第109頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三第110頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三運行結果如下圖所示。第111頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三4．完全隱式常微分方程組函數(shù)ode15i()求解完全隱式常微分方程組，其具體使用方法如下：