第二節(jié)量子力學基本原理

第二節(jié)量子力學基本原理第1頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三復指數函數：將代入上式得在三維空間內，則有德布羅意波函數第2頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三2、波函數的物理意義—德布羅意波的統(tǒng)計解釋稱為幾率密度，它就是通常所說的電子云；dτ為空間某點附近體積元dτ中電子出現的幾率。由于空間某點波的強度與波函數絕對值的平方成正比,所以在該點附近找到粒子的幾率正比于，用波函數描述的波為幾率波。量子力學的基本假定之一第3頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三（1）合格波函數的條件a、Ψ必須是連續(xù)的；b、Ψ必須是單值的；c、Ψ必須是有限的。3、波函數的性質◆一般為復數形式：＝f＋ig，f和g均為坐標的實函數。的共軛復數*＝f－ig，*＝f2＋g2，因此*是實函數，且為正值。為書寫方便，常用2代替*。第4頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三（2）C和描寫同一狀態(tài)（C為常數）（3）波函數的歸一化對于未歸一化的波函數，粒子出現在d內的幾率與*d成正比，粒子出現在空間某點的幾率密度與*成正比；若是歸一化的定態(tài)波函數，*d表示粒子出現在d內的幾率，*是粒子出現在空間某點的幾率密度。通常用歸一化的波函數描述微觀粒子的運動狀態(tài)。即在整個空間找到粒子的幾率是100%.第5頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三如果波函數未歸一化，可乘上一個合適的系數c使它歸一化。歸一=c未歸一化（C為歸一化系數）第6頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三第7頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三二、實物微粒的運動規(guī)律—Schr?dinger方程1、定態(tài)Schr?dinger方程對三維空間內任意方向上運動的粒子，則：上式兩側對x,y,z兩次求偏導，得：第8頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三第9頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三將三式相加，并乘以1/2m,得：量子力學證明，對受力場V作用的粒子可得：（拉普拉斯算符）第10頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三

這就是著名的定態(tài)Schr?dinger方程，用它來描述微觀粒子運動的穩(wěn)定態(tài)上式兩側各加上V(x,y,z)，粒子總能量的平均值對定態(tài)而言，粒子的總能量必定是守恒的，為一與位置無關的常數。第11頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三?Schr?dinger方程的物理意義：2、含時Schr?dinger方程

對于一個質量為m，在勢能為V的場中運動的微粒來說，其每一個定態(tài)可用滿足這個方程的合理解的波函數來描述，與每一個相應的常數E就是微粒處在該定態(tài)時的總能量。量子力學的基本假定之二第12頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三三、定態(tài)Schr?dinger方程的算符表達式力學量：力學中能用實驗儀器觀察得到的物理量，如：E、P、M，它們都是坐標和動量的函數。1、算符和力學量的算符表示算符：指對一個函數施行某種運算（或動作）的符號，如：+、-、×、÷、√。第13頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三線性算符：?(1＋2)＝?1＋?2，?為線性算符。厄米算符：∫1*?1d＝∫1(?1)*d或∫1*?2d＝∫2(?1)*d∫exp[-ix](id/dx)exp[ix]dx＝∫exp[-ix](-exp[ix])dx＝-x.∫exp[ix](id/dx)exp[ix]*dx＝∫exp[ix](-exp[ix])*dx＝-x.∫1*?1d＝∫1(?1)*d?是厄米算符例:?＝id/dx，1＝exp[ix]，1*＝exp[-ix]，?是厄米算符嗎？第14頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三量子力學中，微觀體系的每個力學量都對應著一個線性厄米算符量子力學的基本假定之三第15頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三力學量算符力學量算符位置x勢能V動量的x軸分量px動能T=p2/2m角動量的z軸分量Mz＝xpy－ypx總能量E=T+V力學量與算符的對應關系如下表：第16頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三2、能量算符的本征方程、本征值和本征函數

若上式中f2等于一個常數a乘以f1本身，那么稱f1為本征函數，常數稱為與f1對應的本征值，而把方程稱為本征方程。一個算符?作用于一個函數f1,得到的將是另一個函數f2，本征函數本征值量子力學的基本假定之四第17頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三(a)eimx(b)sinx(c)x2+y2(d)(a-x)e-x例.下列函數,那些是的本征函數?并求出相應的本征值.解:(a)和(b)是的本征函數

eimx=-m2eimx,其相應的本征值為-m2

sinx=-sinx,其相應的本征值為-1第18頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三（定態(tài)Schr?dinger方程的算符表達式）第19頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三四、量子力學態(tài)的疊加原理假設：若1，2…n為某一微觀體系的可能狀態(tài)，由它們線性組合所得的也是該體系可能的狀態(tài)。如果已歸一化，組合系數ci的大小反映i貢獻的多少。為適應原子周圍勢場的變化，原子軌道通過線性組合，所得的雜化軌道（sp，sp2，sp3等）也是該原子中電子可能存在的狀態(tài)。量子力學的基本假定之五第20頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三若狀態(tài)函數不是力學量A的算符?的本征態(tài),當體系處于這個狀態(tài)時,?a,但這時可用積分計算力學量的平均值：〈a〉＝∫*?d設與1，2…n對應的本征值分別為a1，a2，…，an，當體系處于狀態(tài)并且已歸一化時，可由下式計算力學量的平均值〈a〉（對應于力學量A的實驗測定值）：□本征態(tài)的力學量的平均值□非本征態(tài)的力學量的平均值例如，氫原子基態(tài)波函數為1s，其半徑和