第八章 二重積分

第八章二重積分第1頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三一元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)重積分曲線積分曲面積分重積分

第2頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三第一節(jié)二重積分三、二重積分的性質(zhì)一、引例二、二重積分的定義與可積性四、曲頂柱體體積的計算五、二重積分的計算第3頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三解法:

類似定積分解決問題的思想:一、引例1.曲頂柱體的體積

給定曲頂柱體:底：

xOy面上的閉區(qū)域D頂:連續(xù)曲面?zhèn)让妫阂訢的邊界為準(zhǔn)線,母線平行于z軸的柱面求其體積.“大化小,常代變,近似和,求極限”第4頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三1)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分D為n個區(qū)域以它們?yōu)榈装亚斨w分為n個2)“常代變”在每個3)“近似和”則中任取一點小曲頂柱體第5頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三4)“取極限”令第6頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三2.平面薄片的質(zhì)量

有一個平面薄片,在xOy平面上占有區(qū)域D,計算該薄片的質(zhì)量M.度為設(shè)D的面積為,則若非常數(shù),仍可用其面密“大化小,常代變,近似和,求極限”解決.1)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分D為n個小區(qū)域相應(yīng)把薄片也分為小塊.第7頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三2)“常代變”中任取一點3)“近似和”4)“取極限”則第k小塊的質(zhì)量第8頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三兩個問題的共性：(1)解決問題的步驟相同(2)所求量的結(jié)構(gòu)式相同“大化小,常代變,近似和,取極限”曲頂柱體體積:平面薄片的質(zhì)量:第9頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三二、二重積分的定義及可積性定義:將區(qū)域D

任意分成n個小區(qū)域任取一點若存在一個常數(shù)I,使可積

,在D上的二重積分.積分和積分域被積函數(shù)積分表達式面積元素記作是定義在有界區(qū)域D上的有界函數(shù),第10頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三引例1中曲頂柱體體積:引例2中平面薄板的質(zhì)量:如果在D上可積,元素d也常記作二重積分記作這時分區(qū)域D,因此面積可用平行坐標(biāo)軸的直線來劃第11頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三二重積分存在定理:若函數(shù)定理2.(證明略)定理1.在D上可積.限個點或有限條光滑曲線外都連續(xù),積.在有界閉區(qū)域D上連續(xù),則若有界函數(shù)在有界閉區(qū)域D上除去有例如,在D:上二重積分存在;在D上二重積分不存在.第12頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三三、二重積分的性質(zhì)(k為常數(shù))為D的面積,則第13頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三特別,由于則5.若在D上6.設(shè)D的面積為,則有第14頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三7.(二重積分的中值定理)證:由性質(zhì)6可知,由連續(xù)函數(shù)介值定理,至少有一點在閉區(qū)域D上為D的面積,則至少存在一點使使連續(xù),因此第15頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三例1.比較下列積分的大小:其中解:積分域D的邊界為圓周它在與x軸的交點(1,0)處與直線從而而域D位于直線的上方,故在D上第16頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三例2.估計下列積分之值解:

D的面積為由于積分性質(zhì)5即:1.96I2D第17頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三例3.判斷積分的正負(fù)號.解:分積分域為則原式=猜想結(jié)果為負(fù)

但不好估計.舍去此項第18頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三8.設(shè)函數(shù)D位于x軸上方的部分為D1,當(dāng)區(qū)域關(guān)于y軸對稱,函數(shù)關(guān)于變量x有奇偶性時,仍在D上在閉區(qū)域上連續(xù),域D關(guān)于x軸對稱,則則有類似結(jié)果.在第一象限部分,則有第19頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三四、曲頂柱體體積的計算設(shè)曲頂柱的底為任取平面故曲頂柱體體積為截面積為截柱體的記作第20頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三同樣,曲頂柱的底為則其體積可按如下兩次積分計算記作第21頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三例4.求兩個底圓半徑為R的直交圓柱面所圍的體積.解:設(shè)兩個直圓柱方程為利用對稱性,考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為則所求體積為第22頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三被積函數(shù)相同,且非負(fù),思考與練習(xí)解:

由它們的積分域范圍可知1.比較下列積分值的大小關(guān)系:第23頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三2.設(shè)D是第二象限的一個有界閉域,且0<y<1,則的大小順序為()提示:因0<y<1,故故在D上有第24頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三3.計算解:第25頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三4.證明:其中D為解:利用題中x,y位置的對稱性,有又D的面積為1,故結(jié)論成立.第26頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三且在D上連續(xù)時,由曲頂柱體體積的計算可知,若D為X-

型區(qū)域

則1、利用直角坐標(biāo)計算二重積分五、二重積分的計算第27頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三若D為Y-型區(qū)域則第28頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三當(dāng)被積函數(shù)均非負(fù)在D上變號時,因此上面討論的累次積分法仍然有效.由于第29頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三說明:(1)若積分區(qū)域既是X-型區(qū)域又是Y

-型區(qū)域,為計算方便,可選擇積分序,必要時還可以交換積分序.則有(2)若積分域較復(fù)雜,可將它分成若干X-型域或Y-型域,則第30頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三例1.計算其中D是直線y＝1,x＝2,及y＝x所圍的閉區(qū)域.解法1.將D看作X-型區(qū)域,則解法2.將D看作Y-型區(qū)域,

則第31頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三例2.計算其中D是拋物線所圍成的閉區(qū)域.解:為計算簡便,先對x后對y積分,及直線則第32頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三例3.計算其中D是直線所圍成的閉區(qū)域.解:由被積函數(shù)可知,因此取D為X-型域:先對x積分不行,說明:

有些二次積分為了積分方便,還需交換積分順序.第33頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三例4.交換下列積分順序解:積分域由兩部分組成:視為Y-型區(qū)域,則第34頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三例5.

計算其中D由所圍成.解:令(如圖所示)顯然,第35頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三2、利用極坐標(biāo)計算二重積分對應(yīng)有在極坐標(biāo)系下,用同心圓r=常數(shù)則除包含邊界點的小區(qū)域外,小區(qū)域的面積在內(nèi)取點及射線

=常數(shù),分劃區(qū)域D為第36頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三即第37頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三設(shè)則(1)極點O在積分區(qū)域D之外第38頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三(2)極點O在積分區(qū)域D之內(nèi)第39頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三此時若f≡1則可求得D的面積思考:下列各圖中域D分別與x,y軸相切于原點,試答:問的變化范圍是什么?(1)(2)第40頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三若區(qū)域特征如圖第41頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三解第42頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三解第43頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三例3求由球面x2+y2+z2=4a2與柱面x2+y2=2ay所圍立體的體積。解：計算第一掛限部分體積xyoxyz第44頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三解∵D=2D1第45頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三第46頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三例5解第47頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三例6.計算其中解:在極坐標(biāo)系下原式的原函數(shù)不是初等函數(shù),故本題無法用直角由于故坐標(biāo)計算.第48頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三注:利用上題可得一個在概率論與數(shù)理統(tǒng)計及工程上非常有用的反常積分公式事實上,①故①式成立.又第49頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三例7.

求球體被圓柱面所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積.解:設(shè)由對稱性可知第50頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三*3、二重積分換元法

定積分換元法滿足一階導(dǎo)數(shù)連續(xù);雅可比行列式(3)變換則定理:變換:是一一對應(yīng)的,第51頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三證:根據(jù)定理條件可知變換T可逆.

用平行于坐標(biāo)軸的直線分割區(qū)域任取其中一個小矩形,其頂點為通過變換T,在xOy面上得到一個四邊形,其對應(yīng)頂點為則第52頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三同理得當(dāng)h,k充分小時,曲邊四邊形M1M2M3M4近似于平行四邊形,故其面積近似為第53頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三因此面積元素的關(guān)系為從而得二重積分的換元公式:例如,直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)時,第54頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三例8.計算其中D是x軸y軸和直線所圍成的閉域.解:令則第55頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三例9.計算由所圍成的閉區(qū)域D的面積S.解:令則第56頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三例10.

試計算橢球體解:由對稱性令則D的原象為的體積V.第57頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三思考與練習(xí)1.設(shè)且求提示:交換積分順序后,x,y互換第58頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三解：原式2.給定改變積分的次序.第59頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三內(nèi)容小結(jié)1.二重積分的定義2.二重積分的性質(zhì)(與定積分性質(zhì)相似)3.曲頂柱體體積的計算二次積分法第60頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三(1)二重積分化為累次積分的方法直角坐標(biāo)系情形:

若積分區(qū)域為則

若積分區(qū)域為則4、二重積分的計算第61頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三則(2)一般換元