第五節(jié)含參變量的積分

第五節(jié)含參變量的積分第1頁(yè)，共17頁(yè)，2023年，2月20日，星期三一、被積函數(shù)含參變量的積分上的連續(xù)函數(shù),則積分確定了一個(gè)定義在[a,b]上的函數(shù),記作x稱為參變量,上式稱為含參變量的積分.含參積分的性質(zhì)定理1.(連續(xù)性)

上連續(xù),則由①確定的含參積分在[a,b]上連續(xù).—連續(xù)性,可積性,可微性:①機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第2頁(yè)，共17頁(yè)，2023年，2月20日，星期三證:在閉區(qū)域R上連續(xù),所以一致連續(xù),即只要就有就有這說(shuō)明機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第3頁(yè)，共17頁(yè)，2023年，2月20日，星期三定理1表明,定義在閉矩形域上的連續(xù)函數(shù),其極限運(yùn)算與積分運(yùn)算的順序是可交換的.同理可證,續(xù),則含參變量的積分機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束由連續(xù)性定理易得下述可積性定理:第4頁(yè)，共17頁(yè)，2023年，2月20日，星期三定理2.(可積性)上連續(xù),同樣,推論:在定理2的條件下,累次積分可交換求積順序,即機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第5頁(yè)，共17頁(yè)，2023年，2月20日，星期三定理3.(可微性)都在證:令函數(shù),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第6頁(yè)，共17頁(yè)，2023年，2月20日，星期三因上式左邊的變上限積分可導(dǎo),因此右邊且有此定理說(shuō)明,被積函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)在閉矩形域上連續(xù)時(shí),求導(dǎo)與求積運(yùn)算是可以交換順序的.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第7頁(yè)，共17頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例1.解:由被積函數(shù)的特點(diǎn)想到積分:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第8頁(yè)，共17頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例2.解:考慮含參變量t的積分所確定的函數(shù)顯然,由于機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第9頁(yè)，共17頁(yè)，2023年，2月20日，星期三故因此得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第10頁(yè)，共17頁(yè)，2023年，2月20日，星期三二、積分限含參變量的積分在實(shí)際問(wèn)題中,常遇到積分限含參變量的情形,例如,為定義在區(qū)域上的連續(xù)函數(shù),則也是參變量x的函數(shù),其定義域?yàn)閇a,b].利用前面的定理可推出這種含參積分的性質(zhì).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第11頁(yè)，共17頁(yè)，2023年，2月20日，星期三定理4.(連續(xù)性)上連續(xù),則函數(shù)證:令則由于被積函數(shù)在矩形域上連續(xù),由定理1知,上述積分確定的函數(shù)第12頁(yè)，共17頁(yè)，2023年，2月20日，星期三定理5.(可微性)都在中的可微函數(shù),則證:令機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第13頁(yè)，共17頁(yè)，2023年，2月20日，星期三利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則及變限積分求導(dǎo),得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第14頁(yè)，共17頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例3.解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第15頁(yè)，共17頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例4.分小時(shí),函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)存在,且證:令

在原點(diǎn)的某個(gè)閉矩形鄰域內(nèi)連續(xù),由定理5可得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第16頁(yè)，共17頁(yè)，2023年，2月20日，星期三即同理于是作業(yè)

(*習(xí)題9-5)P1231(2),(3);2(2),(4);