第四章態(tài)和力學(xué)量的表象

第四章態(tài)和力學(xué)量的表象第1頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三一、坐標(biāo)表象的波函數(shù)——

§4.1態(tài)的表象

是位置幾率第2頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三二、動(dòng)量表象的波函數(shù)——

和可以互求，它們包含同樣多的信息。我們稱這樣做是變換到了動(dòng)量表象,可以稱為動(dòng)量表象中的“波函數(shù)”第3頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三基諧振子基點(diǎn)：第4頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三三、表象的波函數(shù)（為任意力學(xué)量）第5頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

§4.2算符的矩陣表示在坐標(biāo)表象中：在表象中：于是有：可見(jiàn)必是一矩陣。第6頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三一、算符的矩陣表示以

um*

乘以上式并積分，得第7頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三寫成矩陣形式如下第8頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三1.以二階矩陣為例：2.厄密共軛矩陣和厄密矩陣厄密共軛矩陣是厄密共軛算符的對(duì)應(yīng)物。對(duì)任意算符A得到下述矩陣元之間的關(guān)系二、厄密算符的矩陣第9頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

于是我們知道，一個(gè)矩陣取其厄密共軛，相當(dāng)于矩陣轉(zhuǎn)置后再取復(fù)共軛。即當(dāng)一個(gè)矩陣等于它的厄密共軛矩陣，即滿足條件時(shí)，稱厄密自共軛矩陣，簡(jiǎn)稱厄密矩陣。由(4.2-6)式和(4.2-8)式可知，厄密矩陣的矩陣元滿足下述關(guān)系這一式子意味著，厄密矩陣的對(duì)角元（）為實(shí)數(shù)；而其余的各個(gè)非對(duì)角元素，對(duì)于主對(duì)角線是復(fù)數(shù)共厄反射對(duì)稱的。量子力學(xué)中要用厄密算符來(lái)描寫力學(xué)量，所以同它們對(duì)應(yīng)的矩陣必是厄密矩陣。由于厄密矩陣的對(duì)角元是實(shí)數(shù)，由此也可得到厄密算符的本征值必定是實(shí)數(shù)的結(jié)論。第10頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三厄密算符的矩陣是厄密矩陣：三、算符在自身表象中為對(duì)角陣在其自身表象中的矩陣元因此我們常說(shuō)表象為以為對(duì)角線的表象。在，為對(duì)角的表象即以，的共同本征函數(shù)為基矢的表象。第11頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三四、連續(xù)譜第12頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三在連續(xù)譜情況下，所有矩陣都是象征性的。第13頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三§4.3量子力學(xué)公式的矩陣表示一、平均值公式（不顯含t）第14頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三二、薛定諤方程左邊乘以并積分：第15頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三三、本征方程1.本征方程2.求解本征值和本征矢將(4.3-9)式中等號(hào)右邊部分移至左邊，得：第16頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三方程（4.3-10）是一個(gè)線形齊次代數(shù)方程組：這個(gè)方程組有非零解的條件是系數(shù)行列式等于零，即：方程（4.3-11）稱為久期方程。求解久期方程可得到一組λ值它們就是F的本征值。把求得的λi

分別代入（4.3-10）式中就可以求得與這λi

對(duì)應(yīng)的本征矢其中i=1,2,…n,…。第17頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三四、例題設(shè)已知在和的共同表象中，算符和的矩陣分別為求它們的本征值和歸一化的本征函數(shù)，最后將和對(duì)角化。解：（1）求的本征值和本征函數(shù)。設(shè)在和的共同表象中，的本征函數(shù)為，為所對(duì)應(yīng)的本征值。本征方程為即第18頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三齊次方程有非零解的條件是系數(shù)行列式等于零，即第19頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三展開(kāi)后整理得即即的本征值為利用歸一化條件，確定常數(shù)a1.

因此，對(duì)應(yīng)于m=0的本征函數(shù)是第20頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三利用歸一化條件求a3.即因此，對(duì)應(yīng)于m=0的本征函數(shù)為第21頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三利用歸一化條件求a2,即因此對(duì)應(yīng)于m=-1的本征函數(shù)為第22頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三（2）求的本征值和本征函數(shù)設(shè)的本征函數(shù)為，對(duì)應(yīng)于。即令，并將的矩陣形式代入本征方程，即有第23頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三b1,b2,b3有非零解的條件是由此得m=0,±1.對(duì)應(yīng)于第24頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三所以同樣步驟得第25頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三(3)將、對(duì)角化所謂對(duì)角化，即將、變換到自身的表象中去，這里s為幺正變換矩陣,即將在和的共同表象中的本征函數(shù)按列排成矩陣而得：于是第26頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三變換矩陣R具有如下性質(zhì)：是轉(zhuǎn)置矩陣，I是單位矩陣)因?yàn)镽*=R（實(shí)數(shù)），所以：（R+是共軛矩陣）滿足上式的矩陣是幺正矩陣第27頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第28頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三對(duì)于，幺正變換為于是第29頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第30頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三§4.4狄喇克(Dirac)符號(hào)在幾何或經(jīng)典力學(xué)中，常用矢量形式討論問(wèn)題而不指明坐標(biāo)系。同樣，量子力學(xué)中描寫態(tài)和力學(xué)量，也可以不用具體表象。這種描寫的方式是狄喇克最先引用的，這樣的一套符號(hào)就稱為狄拉克符號(hào)。微觀體系的狀態(tài)可以用一種矢量來(lái)表示，它的符號(hào)是，稱為刃矢（右矢），簡(jiǎn)稱為刃，表示某一確定的刃矢A，可以用符號(hào)。微觀體系的狀態(tài)也可以用另一種矢量來(lái)表示，這種矢量符號(hào)是，稱為刁矢（左矢），簡(jiǎn)稱為刁。表示某一確定的刁矢B可以用符號(hào)。刃和刁是兩種性質(zhì)不同的矢量，兩者不能相加，它們?cè)谕环N表象中的相應(yīng)分量互為共厄復(fù)數(shù)。第31頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三刃和刁二者的關(guān)系是：對(duì)于兩個(gè)態(tài)和，定義代表一個(gè)復(fù)數(shù)，稱為二者的內(nèi)積，并且

又，假定

態(tài)的歸一是兩態(tài)正交是

Hermitian算符滿足條件

所以是實(shí)數(shù)。本征方程是第32頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三平均值公式是:基矢量集的正交歸一性可表為態(tài)矢量在表象中的分解是

算符F在表象中的矩陣元是

S-方程

第33頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三現(xiàn)將一些公式的通常寫法與用狄拉克符號(hào)的寫法對(duì)照如下：第34頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

典型例題用坐標(biāo)輪換的方法，寫出時(shí)，的全部本征函數(shù)，用球函數(shù)表達(dá)。例1、解：我們知道的全部本征函數(shù)為：第35頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三上面是的一組本征函數(shù)。根據(jù)問(wèn)題的對(duì)稱性，當(dāng)?shù)娜≈低瑯佑?，而的本征函?shù)，由上式將z換為x,x換為y,y換為z得到，用表示：第36頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三同樣的想法，通過(guò)同樣的方法，可找到對(duì)于的的全部本征函數(shù)，即滿足對(duì)于所得（）的全部本征函數(shù)的正確性，我們可以驗(yàn)證。例如對(duì)于第37頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三即的確是的本征函數(shù)，本征值是。第38頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三選用不同的表象來(lái)描寫態(tài)函數(shù)和經(jīng)典力學(xué)中選