隱函數(shù)的理論與應(yīng)用開題報告

畢業(yè)論文開題報告數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)隱函數(shù)的理論與應(yīng)用一、選題的背景、意義（所選課題的歷史背景、國內(nèi)外研究現(xiàn)狀和發(fā)展趨勢）通常我們遇到的函數(shù)都是因變量用自變量的一個解析式（或分段函數(shù)用不同的解析式）表示的，如，，.，這種形式的函數(shù)我們稱之為顯函數(shù).但在許多實際問題中，變量之間的函數(shù)關(guān)系往往不是用顯式形式表示的，而是通過一個（或多個）方程或來確定的，這時我們稱由或確定的函數(shù)為隱函數(shù).二、相關(guān)研究的最新成果及動態(tài)本文的主要目的是通過對大量文獻資料的查閱，尋找各種相關(guān)信息，向人們介紹隱函數(shù)的理論知識，并且通過隱函數(shù)的知識解決一些幾何問題和實際問題.本論文首先引出一些關(guān)于隱函數(shù)的概念．以下是有關(guān)概念：定義[1]：設(shè),，函數(shù):.對于方程（1）若存在集合與，使得對于任何，恒有惟一確定的，它與一起滿足方程（1），則稱由方程（1）確定一個定義在上，值域含于的隱函數(shù).定義[2]：設(shè)和為定義在區(qū)域上的兩個三元函數(shù)。若存在區(qū)間,對于內(nèi)任意一點,分別有區(qū)間和上唯一的一對值,,它們與一起滿足方程組（2）；則說方程組(2)確定了兩個定義在區(qū)間上,值域分別落在和內(nèi)的函數(shù).我們稱這兩個函數(shù)為由方程組(2)所確定的隱函數(shù)組,若分別記這兩個函數(shù)為,,則在區(qū)間上成立恒等式和.隱函數(shù)存在惟一性定理[3]若滿足下列條件：（=1\*romani）函數(shù)在以為內(nèi)點的某一區(qū)域上連續(xù)；（=2\*romanii）（通常稱為初始條件）；（=3\*romaniii）在內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)；（=4\*romaniv），則在點的某領(lǐng)域內(nèi)，方程惟一地確定了一個定義在某區(qū)間內(nèi)的函數(shù)（隱函數(shù)），使得=1\*GB3①時且；=2\*GB3②在內(nèi)連續(xù).隱函數(shù)存在定理的推廣定理1[4]設(shè)在的一個領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)，滿足1）2）存在正數(shù)及，使以下（）、（）兩條件至少有一個成立（）（）這里等是關(guān)于的導(dǎo)數(shù).那么存在上的連續(xù)函數(shù)，使定理2[5]函數(shù)是帶域上的有界函數(shù)，的導(dǎo)數(shù)處處存在，且滿足，在上可測，則存在，使得.定理3[6]若函數(shù)滿足下列條件:（1）函數(shù)在以為內(nèi)點的某一區(qū)域上連續(xù)；（2）；（3）在內(nèi)存在關(guān)于的直到階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且;（4）.則當(dāng)為偶數(shù)時,在點的某領(lǐng)域內(nèi),方程惟一地確定了一個定義在某區(qū)間內(nèi)的函數(shù)(隱函數(shù)),使得（1）時且；（2）在內(nèi)連續(xù);注:當(dāng)為奇數(shù)時,無法判斷隱函數(shù)的存在性,也無法判斷惟一性.隱函數(shù)組定理[7]設(shè)方程組（3），若（3）中的與滿足：（=1\*romani）在上連續(xù)，；（=2\*romanii）；（=3\*romaniii）在內(nèi)存在一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)；（=4\*romaniv），則、使，，即有，，滿足及，；、在內(nèi)連續(xù)；、在內(nèi)存在一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且隱函數(shù)求導(dǎo)的方法[8]1、顯化法把隱函數(shù)化為顯函數(shù)后，再利用顯函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的方法來求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).此種方法常用于較容易化為顯函數(shù)的隱函數(shù)的求導(dǎo)，但是此種方法由于受有些隱函數(shù)不能或較難化為顯函數(shù)限制，而不是很常用.2、公式法利用公式：來求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法[9].這種方法要求先把確定隱函數(shù)的方程寫成的形式，再對的兩邊同時分別對求導(dǎo)數(shù)，然后再利用該公式求出.而且在對的兩邊同時分別求導(dǎo)數(shù)時，需要先后把看作常數(shù)(其實是根據(jù)為的獨立變量)這對初學(xué)者來說不容易分辨.而且此方法的計算量較大.3、微商法利用對確定隱函數(shù)的方程兩邊同時求微分，再根據(jù)函數(shù)的微分與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系（對的導(dǎo)數(shù)即為的微分與的微分的商）求出隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法.此種方法與公式法有著同樣的缺點，即：在求微分的過程中需要分別把看作獨立變量，而且該方法比公式法的計算過程更復(fù)雜一些.4.參數(shù)法引入?yún)?shù)把隱函數(shù)轉(zhuǎn)換成由參數(shù)方程所確定的函數(shù)，再利用參數(shù)方程組所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法則來求該隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法.該方法在把隱函數(shù)轉(zhuǎn)換成由參數(shù)方程組所確定的函數(shù)時，步驟較為復(fù)雜，因此一般很少使用.5、復(fù)合法把隱函數(shù)轉(zhuǎn)換成復(fù)合函數(shù)，再利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則來求該隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法.該方法的原理類似于對數(shù)求導(dǎo)法原理，但比對數(shù)求導(dǎo)法適用性更廣泛.6、直接法直接把確定隱函數(shù)的方程中的看成是的函數(shù),再對方程的兩邊同時求對的導(dǎo)數(shù)，從而得到一個含有的方程，由此方程解出的方法.該方法具有很好的適用性，因此也被廣泛使用，但是該方法要求使用者比較熟悉復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法、對數(shù)求導(dǎo)法等一些基本的導(dǎo)數(shù)知識，而且若能夠把此方法和復(fù)合法靈活地結(jié)合起來使用，將是求導(dǎo)數(shù)問題的一個極其有用的工具.隱函數(shù)極值定理定理1[10]設(shè)函數(shù)在的鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且，則當(dāng)時,由方程確定的隱函數(shù)在處取得極大值;當(dāng)時,由方程確定的隱函數(shù)在處取得極小值.定理2[11]設(shè)函數(shù)在點的鄰域內(nèi)具有一階、二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且，.由方程所確定的元函數(shù)為，則當(dāng)為正定矩陣時,在處取得極小值;當(dāng)為負(fù)定矩陣時,在處取得極大值;當(dāng)為不定矩陣時,在處不取得極值.其中.隱函數(shù)[12]的極值求法（一）隱函數(shù)確定的函數(shù)的極值求解步驟歸納如下[13]：=1\*GB2⑴利用隱函數(shù)求導(dǎo)方法求出.=2\*GB2⑵求出函數(shù)的定義域內(nèi)特殊的點：導(dǎo)數(shù)等于零的點（駐點），即的點；導(dǎo)數(shù)不存在的點的點；有的隱函數(shù)還存在同時既是導(dǎo)數(shù)等于零的點又是導(dǎo)數(shù)不存在的點.=3\*GB2⑶對于的點一般用第二充分條件判斷；對于的點可用反證法說明或從函數(shù)方程來考慮，對于的點只能從函數(shù)本身來考慮．（二）幾何判別法[14]對于隱函數(shù)的極值問題,通常是根據(jù)隱函數(shù)求導(dǎo)法求出隱函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù),再根據(jù)多元顯函數(shù)取極值的必要和充分條件,求得隱函數(shù)的極值.利用方向?qū)?shù)討論隱函數(shù)極值卻很少見到.所以我們在方向?qū)?shù)的基礎(chǔ)上,得到了隱函數(shù)的幾何判別法,豐富了隱函數(shù)極值的判別理論.下面來看一下隱函數(shù)在幾何，經(jīng)濟方面的應(yīng)用（一）在幾何中的應(yīng)用[15]例：求一條平面二次曲線，使過點與點，且分別在點與點處與直線相切（圖1），并證明直線在曲線上點處的法線上，其中點為點到曲線的最近點.解：（1）先求二次曲線的方程.設(shè)直線的方程分別為，，（1），其中直線與相交于點，直線與相交于，.令，則是二元二次方程，表示一條圓錐曲線（即不過圓錐頂點的任意平面截圓錐所得的曲線）.由于曲線在點處的法向量（即該點處與切向量垂直的向量），其中，于是，法向量，而是直線在點處的法向量，故曲線在點處與直線相切.同理可得曲線在點處與直線相切.因此，所求平面二次曲線的方程為其中由（1）式確定.（2）下證直線在曲線上點處的法線上.設(shè)點為點到曲線的最近點，則點的坐標(biāo)滿足方程，并使距離為最小.構(gòu)造函數(shù)，則點的坐標(biāo)還滿足方程組，因此（2）又曲線在點處的法向量為，而向量，由（2）式知，即在曲線上點處的法線上.（二）在經(jīng)濟方面的應(yīng)用[16]以一個簡單的國民收入模型為例介紹了隱函數(shù)定理及在其基礎(chǔ)之上推導(dǎo)出來的比較靜態(tài)分析一般形式體系在經(jīng)濟學(xué)比較靜態(tài)分析中的應(yīng)用.

三、課題的研究內(nèi)容及擬采取的研究方法（技術(shù)路線）、難點及預(yù)期達(dá)到的目標(biāo)（1）研究內(nèi)容本課題主要是研究隱函數(shù)的理論知識及其在幾何與經(jīng)濟中的應(yīng)用．（2）研究方法探討隱函數(shù)的理論知識與應(yīng)用問題，要理論聯(lián)系實際！怎么把隱函數(shù)的知識應(yīng)用到實際中！隱函數(shù)的知識在實際中有很廣泛的作用．主要是通過大量的搜查資料，尋找相關(guān)信息，總結(jié)隱函數(shù)的理論知識和實際應(yīng)用.我將會通過上網(wǎng)和去圖書館借相關(guān)的書來得到資料信息．（3）技術(shù)路線盡可能的收集足夠的相關(guān)資料，對資料中的理論研究成果進行整理分析，相互比較后進行總結(jié)并盡量得到新的應(yīng)用．（4）研究難點怎樣把隱函數(shù)的理論知識應(yīng)用到實際問題中．（5）預(yù)期達(dá)到的目標(biāo)利用隱函數(shù)理論知識解決生活中的一些實際問題．

四、論文詳細(xì)工作進度和安排1．指導(dǎo)學(xué)生收集資料完成畢業(yè)論文的文獻檢索，泛讀相關(guān)文章，形成系統(tǒng)材料。（09～10學(xué)年第一學(xué)期第8周至第9周）2.指導(dǎo)學(xué)生完成文獻綜述。（09～10學(xué)年第一學(xué)期第10周至第11周）3.指導(dǎo)學(xué)生完成開題報告。（09～10學(xué)年第一學(xué)期第12周至第13周）4.指導(dǎo)學(xué)生研讀外文文獻，完成外文翻譯。（09～10學(xué)年第一學(xué)期第14周至第15周）5.要求學(xué)生進一步完善論文的資料、數(shù)據(jù)收集，精讀其中的重要參考文獻、列出文章的初步提綱。（09～10學(xué)年第二學(xué)期第1周至第2周）6.指導(dǎo)學(xué)生的論文初稿撰寫工作。（09～10學(xué)年第二學(xué)期第3周至第8周）7.審閱論文初稿，指導(dǎo)學(xué)生對論文進行反復(fù)修改。（09～10學(xué)年第二學(xué)期第9周至第10周）8.要求學(xué)生對論文進行完善，最后定稿。（09～10學(xué)年第二學(xué)期第11周至第12周）五、主要參考文獻（參考文獻格式：論文：作者題目刊名年份卷（期）頁碼專著：作者書名出版者年份）華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（下冊）[M].高等教育出版社,2001.吳耀強.隱函數(shù)組存在性在幾何方面的一個定理及其應(yīng)用[J].宿州教育學(xué)院學(xué)報,2006,6:9-1.楊則燊，邊馥萍.高等數(shù)學(xué)[M].天津大學(xué)出版社，2005.劉季浦.關(guān)于隱函數(shù)存在定理[J].岳陽大學(xué)學(xué)報,1993,4:6-1.王江云.隱函數(shù)存在定理的推廣[J].學(xué)術(shù)交流，1994:1.胡華.隱函數(shù)定理的一個推廣及其應(yīng)用[J].廣西民族學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2000,5:6-2.李保榮.隱函數(shù)組定理證明的教學(xué)芻議[J].邵陽學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版）,2010,3:7-1.陳志惠.關(guān)于隱函數(shù)求導(dǎo)問題的歸納與總結(jié)[J].牡丹江教育學(xué)院學(xué)報，2010:121-3.WalterRudin.PrinciplesofMathematicalAnalysis[M].ChinaMachinePress.2004.1.單國莉.隱函數(shù)極值存在的條件及應(yīng)用實例[J].煙臺師范學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版),2005:21-3.陳維杜,王漱石.極值和條件極值[J].湖州師范學(xué)院學(xué)報.1990:5.[美]阿潑斯托爾（Aposto