第四章 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

第四章隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望第1頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三§4.1數(shù)學(xué)期望

4.1.1概念例1、盒子中有6個球（如圖），122333從中任取一球再放回，重復(fù)了三次，問三次抽到號碼的平均值。第2頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三定義4.1：設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列是，若級數(shù)收斂，則稱隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望存在，且稱級數(shù)的和為X的數(shù)學(xué)期望，并記為EX，有時也稱EX為X的均值。第3頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三對連續(xù)型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望類似的可定義如下：定義4.2：如果連續(xù)型隨機(jī)變量X具有密度函數(shù)f(x)，積分收斂，則稱X的數(shù)學(xué)期望存在，否則稱X的數(shù)學(xué)期望不存在。若X的數(shù)學(xué)期望存在，稱積分值為X的數(shù)學(xué)期望，也記為EX。第4頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三注1、若，仍稱X的數(shù)學(xué)期望不存在。2、離散型取有限個值，連續(xù)型密度函數(shù)只在有限區(qū)間上積分，則X的期望一定存在。3、離散型只取非負(fù)值，連續(xù)型只在x>0時f(x)>0，則只需直接計(jì)算期望。第5頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三4.1.2常見隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（1）（0－1）分布p1-pP10X第6頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三（2）二項(xiàng)分布B(n,p)第7頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三（3）泊松分布P(λ)第8頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三（4）幾何分布G(p)第9頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三（5）超幾何分布H(N,M,n)第10頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三（6）均勻分布U(a,b)第11頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三（7）指數(shù)分布第12頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三（8）正態(tài)分布N(μ,σ2)第13頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三4.1.3隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望

定理4.1：設(shè)Y是隨機(jī)變量X的函數(shù)，即（g

是連續(xù)函數(shù)），（1）若X是離散型隨機(jī)變量，其分布律為而級數(shù)絕對收斂，則有第14頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三（2）若X

是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為，若積分絕對收斂，則有第15頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三定理4.2：設(shè)Z是二維隨機(jī)變量（X，Y）的函數(shù)，即Z＝g（X，Y），則（1）若（X，Y）是二維離散型隨機(jī)變量，有（2）若（X，Y）是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，有第16頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三例1：設(shè)

X～B（n，p），求EX(X－1)。解：因X～B（n，p），則X的分布律為令Y＝g（X）＝X(X－1)第17頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三例2、已知X～N(0,1)，求E(X4)第18頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三例3、（X,Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為：求：EY第19頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三例4：設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）服從二維正態(tài)分布，其密度為求

的數(shù)學(xué)期望。解：第20頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三例5：設(shè)X、Y相互獨(dú)立同服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1），求E（max｛X,Y｝）。解：由題設(shè)，(X，Y)的聯(lián)合密度為第21頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三（1）

EC＝C，(C為常數(shù))（2）

E(CX)＝CEX，(C為常數(shù))（3）

E(X+Y)＝EX＋EYE(aX+b)＝aEX＋b，

E()＝（4）若X、Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則

E(X·Y)＝EX·EY。4.1.4數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)第22頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三例6、盒中有N個球，其中M個黑球，N-M個白球，從中任取n個球，令X表示取得黑球的個數(shù)，求EX。第23頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三§4.2隨機(jī)變量的方差

4.2.1方差的定義

對隨機(jī)變量的特征進(jìn)行考察，除了數(shù)學(xué)期望外，還要考察X的可取值與EX的偏離情況，由于X－EX可正可負(fù)，因此用[X－EX]2

來考慮。

第24頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三定義4.3：設(shè)X是一個隨機(jī)變量，若(X－EX)2

的數(shù)學(xué)期望存在，則稱E(X－EX)2為X的方差，記為DX或Var(X)，即DX＝E(X－EX)2

離散型隨機(jī)變量：連續(xù)型隨機(jī)變量：第25頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三方差的計(jì)算公式：4.2.2幾種常見的隨機(jī)變量的方差（1）（0－1）分布p1-pP10X第26頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三（2）二項(xiàng)分布：（3）泊松分布：（4）均勻分布：第27頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三（5）指數(shù)分布：第28頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三（6）正態(tài)分布：第29頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三4.2.3方差的性質(zhì)

（1）D(C)＝0，(C為常數(shù))

（2）D(CX)＝C2DX，(C為常數(shù))

（3）若X、Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則

D(X+Y)=D(X-Y)＝DX＋DY（4）DX＝0第30頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三例1、已知X～N(1,22)，Y～N(2,22)，且X、Y相互獨(dú)立，求：X-2Y+3的數(shù)學(xué)期望和方差。

第31頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三定理：切比雪夫不等式第32頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三§4.3協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)4.3.1協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的概念

我們在證明方差的性質(zhì)時看到，當(dāng)兩個隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立時，有但當(dāng)X和Y不相互獨(dú)立時，它們之間的關(guān)系呢？第33頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三稱

為

X、Y

的相關(guān)系數(shù)。定義4.4：設(shè)X、Y

是兩個隨機(jī)變量，稱為隨機(jī)變量X、Y

的協(xié)方差，記為即：第34頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三相關(guān)系數(shù)的特征：是一個無量綱的量。它描述的是

X、Y

之間的線性相關(guān)程度。特殊的，當(dāng)時，稱X,Y不相關(guān)。結(jié)論：X、Y相互獨(dú)立，則其一定不相關(guān)；但若X，Y不相關(guān)，卻未必相互獨(dú)立。第35頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三4.3.2協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)1、協(xié)方差的性質(zhì):第36頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三2、相關(guān)系數(shù)的性質(zhì):（1）||≤1;（2）||=1的充要條件為X與Y以概率1線性相關(guān)。即存在常數(shù)

a、b，a≠0，使第37頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三例1、已知隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，且求

3X-Y與

X+Y的相關(guān)系數(shù)。第38頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三獨(dú)立與不相關(guān)的關(guān)系：X、Y相互獨(dú)立，則其一定不相關(guān)；但若X，Y不相關(guān)，卻未必相互獨(dú)立。例2、已知（X,Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為：證明：X，Y不相關(guān)，X，Y不獨(dú)立。第39頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三§4.4矩、協(xié)方差矩陣4.4.1矩定義4.5：設(shè)X、Y是隨機(jī)變量，

稱為X的k階原點(diǎn)矩

稱為X的k階中心矩稱為X與Y的k+l階混合中心矩第40頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三4.4.2協(xié)方差矩陣設(shè)n維隨機(jī)變量

X＝，記

稱

為X的期望向量，記

為

Xi

與Xj

的協(xié)方差，則稱n階矩陣Σ為隨機(jī)變量X的協(xié)方差矩陣。設(shè)n維隨機(jī)變量

X＝，記

稱

為X的期望向量，記

為

Xi

與Xj

的協(xié)方差，則稱n階矩陣Σ第41頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三協(xié)方差矩陣的性質(zhì)：（1）（2），即協(xié)方差矩陣Σ是對稱的。（3）協(xié)方差矩陣Σ是非負(fù)定矩陣，即對任意的n維實(shí)向量

t

＝，有

t’Σt

（4）第42頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三4.4.3n維正態(tài)分布定義4.6：若n維隨機(jī)向量X＝的聯(lián)合概率密度為其中x＝，μ＝，是n維實(shí)向量，Σ＝是n階正定矩陣，|Σ|表示Σ的行列式，則稱X服從n維正態(tài)分布，記為X～N（μ，Σn×n）。第43頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三特殊的，n=2時，即：其中第44頁，共48頁，2023年，2月