高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)總教案：4.1　平面向量的概念及線性運(yùn)算

第四章平面對量高考導(dǎo)航考試要求重難點(diǎn)擊命題展望1.平面對量的實(shí)際背景及基本概念(1)了解向量的實(shí)際背景；(2)理解平面對量的概念，理解兩個(gè)向量相等的含義；(3)理解向量的幾何表示.2.向量的線性運(yùn)算(1)駕馭向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義；(2)駕馭向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義；(3)了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義.3.平面對量的基本定理及其坐標(biāo)表示(1)了解平面對量的基本定理及其意義；(2)駕馭平面對量的正交分解及其坐標(biāo)表示；(3)會(huì)用坐標(biāo)表示平面對量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算；(4)理解用坐標(biāo)表示的平面對量共線的條件.4.平面對量的數(shù)量積(1)理解平面對量數(shù)量積的含義及其物理意義；(2)了解平面對量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系；(3)駕馭數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面對量數(shù)量積的運(yùn)算；(4)能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積推斷兩個(gè)平面對量的垂直關(guān)系.5.向量的應(yīng)用(1)會(huì)用向量方法解決某些簡潔的平面幾何問題；(2)會(huì)用向量方法解決某些簡潔的力學(xué)問題及其他一些實(shí)際問題.本章重點(diǎn)：1.向量的各種運(yùn)算；2.向量的坐標(biāo)運(yùn)算及數(shù)形結(jié)合的思想；3.向量的數(shù)量積在證明有關(guān)向量相等、兩向量垂直、投影、夾角等問題中的應(yīng)用.本章難點(diǎn)：1.向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算在證明向量垂直和平行問題中的應(yīng)用；2.向量的夾角公式和距離公式在求解平面上兩條直線的夾角和兩點(diǎn)間距離中的應(yīng)用.向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一，它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，有著極其豐富的實(shí)際背景，同時(shí)又是數(shù)形結(jié)合思想運(yùn)用的典范，正是由于向量既具有幾何形式又具有代數(shù)形式的“雙重身份”，所以它成為中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)問的一個(gè)交匯點(diǎn).在高考中，不僅留意考查向量本身的基礎(chǔ)學(xué)問和方法，而且常與解析幾何、三角函數(shù)、數(shù)列等一起進(jìn)行綜合考查.在考試要求的層次上更加突出向量的實(shí)際背景、幾何意義、運(yùn)算功能和應(yīng)用價(jià)值.學(xué)問網(wǎng)絡(luò)4.1平面對量的概念及線性運(yùn)算典例精析題型一向量的有關(guān)概念【例1】下列命題：①向量的長度與的長度相等；②向量a與向量b平行，則a與b的方向相同或相反；③兩個(gè)有共同起點(diǎn)的單位向量，其終點(diǎn)必相同；④向量與向量是共線向量，則A、B、C、D必在同始終線上.其中真命題的序號是.【解析】①對；零向量與任一向量是平行向量，但零向量的方向隨意，故②錯(cuò)；③明顯錯(cuò)；與是共線向量，則A、B、C、D可在同始終線上，也可共面但不在同始終線上，故④錯(cuò).故是真命題的只有①.【點(diǎn)撥】正確理解向量的有關(guān)概念是解決本題的關(guān)鍵，留意到特別狀況，否定某個(gè)命題只要舉出一個(gè)反例即可.【變式訓(xùn)練1】下列各式：①|(zhì)a|＝；②(ab)c＝a(bc)；④在隨意四邊形ABCD中，M為AD的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)，則＋＝2；⑤a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，且a與b不共線，則(a＋b)⊥(a－b).其中正確的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2 C.3 【解析】選D.|a|＝正確；(ab)c≠a(bc)；－＝正確；如下圖所示，=++且=++，兩式相加可得2＝＋，即命題④正確；因?yàn)閍，b不共線，且|a|＝|b|＝1，所以a＋b，a－b為菱形的兩條對角線，即得(a＋b)⊥(a－b).所以命題①③④⑤正確.題型二與向量線性運(yùn)算有關(guān)的問題【例2】如圖，ABCD是平行四邊形，AC、BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)M在線段DO上，且=，點(diǎn)N在線段OC上,且=,設(shè)=a,=b,試用a、b表示，，.【解析】在?ABCD中，AC，BD交于點(diǎn)O，所以＝eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(－)＝eq\f(1,2)(a－b)，＝＝eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(＋)＝eq\f(1,2)(a＋b).又＝eq\f(1,3)，＝eq\f(1,3)，所以＝＋＝b＋eq\f(1,3)＝b＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)(a－b)＝eq\f(1,6)a＋eq\f(5,6)b，＝＋＝＋eq\f(1,3)＝eq\f(4,3)＝eq\f(4,3)×eq\f(1,2)(a＋b)＝eq\f(2,3)(a＋b).所以＝－＝eq\f(2,3)(a＋b)－(eq\f(1,6)a＋eq\f(5,6)b)＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,6)b.【點(diǎn)撥】向量的線性運(yùn)算的一個(gè)重要作用就是可以將平面內(nèi)任一向量由平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量表示，即平面對量基本定理的應(yīng)用，在運(yùn)用向量解決問題時(shí)，常常須要進(jìn)行這樣的變形.【變式訓(xùn)練2】O是平面α上一點(diǎn)，A、B、C是平面α上不共線的三點(diǎn)，平面α內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P滿意＝＋λ(＋)，若λ＝eq\f(1,2)時(shí)，則(＋)的值為.【解析】由已知得－＝λ(＋)，即＝λ(＋)，當(dāng)λ＝eq\f(1,2)時(shí)，得＝eq\f(1,2)(＋)，所以2＝＋，即－＝－，所以＝，所以＋＝＋＝0，所以(＋)＝0＝0，故填0.題型三向量共線問題【例3】設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線.(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求證：A，B，D三點(diǎn)共線；(2)試確定實(shí)數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線.【解析】(1)證明：因?yàn)椋絘＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，所以＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5，所以，共線.又因?yàn)樗鼈冇泄颤c(diǎn)B，所以A，B，D三點(diǎn)共線.(2)因?yàn)閗a＋b和a＋kb共線，所以存在實(shí)數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，所以(k－λ)a＝(λk－1)b.因?yàn)閍與b是不共線的兩個(gè)非零向量，所以k－λ＝λk－1＝0，所以k2－1＝0，所以k＝±1.【點(diǎn)撥】(1)向量共線的充要條件中，要留意當(dāng)兩向量共線時(shí)，通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，要留意待定系數(shù)法的運(yùn)用和方程思想.(2)證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)留意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)分與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線.【變式訓(xùn)練3】已知O是正三角形BAC內(nèi)部一點(diǎn)，+2+3=0，則△OAC的面積與△OAB的面積之比是（ ）A.eq\f(3,2) B.eq\f(2,3) C.2 D.eq\f(1,3)【解析】如圖，在三角形ABC中，＋2＋3＝0，整理可得＋＋2(＋)＝0.令三角形ABC中AC邊的中點(diǎn)為E，BC邊的中點(diǎn)為F，則點(diǎn)O在點(diǎn)F與點(diǎn)E連線的eq\f(1,3)處，即OE＝2OF.設(shè)三角形ABC中AB邊上的高為h，則S△OAC＝S△OAE＋S△OEC＝eq\f(1,2)OE(eq\f(h,2)＋eq\f(h,2))＝eq\f(1,2)OE·h，S△OAB＝eq\f(1,2)ABeq\f(1,2)h＝eq\f(1,4)AB·h，由于AB＝2EF，OE＝eq\f(2,3)EF，所以AB＝3OE，所以eq\f(S△OAC,S△OAB)＝＝eq\f(2,3).故選B.總結(jié)提高1.向量共線也稱向量平行，它與直線平行有區(qū)分，直線平行不包括共線(即重合)的情形，而向量平行則包括共線(即重合)的情形.2.推斷兩非零向量是否平行，事實(shí)上就是找出一個(gè)實(shí)