結構力學 靜定結構的位移計算

結構力學靜定結構的位移計算第1頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四1．位移的種類一、概述ΔAθ

（A結點的水平線位移Δ，轉角θ）1)角位移：桿件橫截面產(chǎn)生的轉角2)線位移：結構上各點產(chǎn)生的移動3)相對位移（相對角位移，相對線位移）A

θ（A截面的轉角θ）第2頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四ΔAΔBAB（A、B兩點的相對位移Δ=ΔA+ΔB）1)荷載。由于材料的應變而產(chǎn)生位移2)溫度變化。熱脹冷縮而產(chǎn)生位移3)支座移動。地基沉降4)材料的干縮、制造誤差2．使結構產(chǎn)生位移的因素

θAC（結點C左右截面的相對轉角θ=θA+θB）θAθB第3頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四1)驗算結構的剛度。剛度的大小是以變形或位移來度量的3．計算結構位移的目的（框架結構的側移要滿足剛度要求）3)為分析超靜定結構作準備。2)為制作、架設結構等提供依據(jù)第4頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四如屋架在豎向荷載作用下，下弦各結點產(chǎn)生虛線所示位移將各下弦桿做得比實際長度短些，拼裝后下弦向上起拱。在屋蓋自重作用下，下弦各桿位于原設計的水平位置。第5頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四1）結構的變形或位移與其作用力成正比4．線彈性體系的特征P1=1K

δ

若單位力P1=1作用下產(chǎn)生的位移δ，則力P作用下在K處產(chǎn)生的位移為Pδ2）結構的變形或位移服從疊加原理P1P2PiPn

KΔΔ=δKi表示Pi=1時在K處產(chǎn)生的位移。第6頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四二、變形體系的虛功原理P1荷載P1加在梁上，在荷載作用點產(chǎn)生位移Δ11則力P1作功梁上再加荷載P2，此時P1處有位移Δ12Δ11W1=1.實功、虛功的概念Δ11

Δ12P1P2

P1是恒力，繼續(xù)作功W2=P1·Δ12

AABΔ22P2作功W3=P2·Δ22/2第7頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四分析：作功過程，存在兩種情況：力在其自身引起的位移上作功，稱為實功；在別的因素引起的與力本身無關的位移上所作的功，稱為虛功，虛功并非為不存在的功，只是強調(diào)作功過程中位移與力無關的特點。如：W2=P1·Δ12P1Δ11Δ11

Δ12P1P2

AAB如：W1=，W3=Δ22第8頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四變形體系處于平衡的必要和充分條件是：對于符合變形體系約束條件的任意微小的連續(xù)虛位移，變形體系上所有外力所作的虛功總和W外，等于變形體系各微段截面上的內(nèi)力在其虛變形上所作的虛功的總和W變。2．變形體系的虛功原理的表述用公式表示為：

W外=W變

虛位移可以是與力狀態(tài)無關的任何原因引起的，甚至是假想的，但虛位移必須是微小的，且為約束條件和變形連續(xù)條件允許的。AP結構發(fā)生虛位移的狀態(tài)和結構承受外力的狀態(tài)是兩個獨立的狀態(tài)。分別稱為結構的位移狀態(tài)和力狀態(tài)第9頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四3．位移計算的一般公式PA

qC3

C2C1

1）位移狀態(tài)的設定dx設：結構受荷載的作用，及支座移動，求A點的豎向位移。ΔW外=W變外力所作的虛功總和W外，等于各微段截面上的內(nèi)力在其虛變形上所作的虛功的總和W變。第10頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四dxMM+dMNN+dNVV+dV

dλ軸力作用下伸長dλ剪力作用下的變形dη彎矩作用下的變形dθ

（微元在內(nèi)力作用下的變形）dθdη（微元段dx的受力）這樣，體系在荷載及支座移動的作用下，所有的虛位移為：外部：支座移動C1、C2、C3，A點的豎向位移Δ內(nèi)部：微段dx的變形dλ、dη、dθ，第11頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四PA

qC3

C2C1

dxΔ

2）虛力狀態(tài)的建立P=1（在A點作用虛設的單位力）AdxR3

R1

R2W外=W變外力所作的虛功總和W外，等于各微段截面上的內(nèi)力在其虛變形上所作的虛功的總和W變。第12頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四

NNVVMM

軸力N剪力V彎矩MR3

R1

R2

支座反力這樣，體系在虛設力作用下，所有的虛力為：（微段的受力）

外力：R1、R2、R3、P=1微段內(nèi)力：N、V、M第13頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四3）公式的建立微段dW變=微段所在桿件所作虛功之和：體系所有桿件所作虛功之和，即：+W外=W變=∑依虛功原理：+=∑這就是求位移的一般公式。若計算結果為正，表示單位荷載所作虛功為正，故所求位移Δ的實際指向與所假設的單位荷載P的指向相同，為負則相反。P=1AdxW外=W變P

A

qC3

C2C1

dxΔ第14頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四4．虛功原理的說明1).虛功原理適用于線彈性、非線彈性、彈塑性、塑性，靜定結構、超靜定結構，2).適用于由荷載、溫度變化、支座移動、制造誤差、材料收縮等情況。3).求位移時，需在擬求位移處作用與位移方向一致的單位力a)若求結構上C點的豎向位移，第15頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四2)若求結構上截面A的角位移，可在截面處加一單位力矩。若求桁架中AB桿的角位移，應加一單位力偶，構成這一力偶的兩個集中力的值取1/d。作用于桿端且垂直于桿(d等于桿長)。第16頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四3)若要求結構上兩點(A、B)沿其連線的相對位移，可在該兩點沿其連線加上兩個方向相反的單位力。4)若求梁或剛架上兩個截面的相對角位移，可在兩個截面上加兩個方向相反的單位力偶。第17頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四式中，k為截面形狀系數(shù)。這樣，位移公式的表達式可寫為：從公式中可見，計算位移時只須寫出兩套內(nèi)力的表達式。MP、NP、VP表示荷載作用下的內(nèi)力。dλ=，dη=，dθ=4).依材料力學的結果，上述dλ、dη、dθ可寫為：+=∑第18頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四5）特殊情況（2）靜定體系僅發(fā)生支座移動時（結構無內(nèi)力，從而無W變）：（3）桁架結構（4）梁和剛架結構（忽略軸向及剪切變形）+=0（1）體系無支座移動時：（5）組合結構（忽略受彎桿件的軸向及剪切變形）第19頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四例1試求等截面簡支梁中點C的豎向位移ΔCy。已知EI＝常數(shù)。qlC解：1）荷載作用下的彎矩表達式（坐標如圖中所示）MP（x）=q(lx-x2)/2（規(guī)定下側受拉為正），0<x<l/22）虛擬狀態(tài)下的彎矩表達式（坐標同1中規(guī)定）M（x）=x/2，0<x<l/2P=1xx5．應用例題第20頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四CEI=常數(shù)4m

A2kN4mB例2求：1）C點的豎向位移2）結點B的轉角解：1）荷載作用下各桿的彎矩表達式（各桿坐標如圖中所示）BC桿：MP（X）=2X（規(guī)定上側受拉為正），0<X<4AB桿：MP（X）=8（規(guī)定左側受拉為正），0<X<4XX第21頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四P=1B

X

X**為求C點的豎向位移，在C點作用豎向單位力P=12）虛擬狀態(tài)下各桿的彎矩表達式（各桿坐標同1）中規(guī)定）BC桿：M（X）=X，0<X<4AB桿：M（X）=4，0<X<4則，（正號表示位移方向與虛擬力方向一致，向下）=+=第22頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四**為求結點B的轉角，在結點B處作用單位力矩M=1BC桿：M（X）=0AB桿：M（X）=1（正號表示位移方向與虛擬力方向一致，順時針）

XX=0+=M=1第23頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四1．圖乘法解決的問題三、圖形相乘法坐標系，寫彎矩方程。當桿件較多，荷載較復雜時，積分運算甚為麻煩。應用公式過程中，要逐桿建立2．應用圖乘法的條件圖至少有一個是直線圖1)桿軸是直線2)該段軸EI=常數(shù)3)MP圖和第24頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四3．圖乘公式αxMP圖ABM圖x==----------------（1）是MP圖微元面積。ydxMPM=第25頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四αxMP圖ABM圖xydx式（2）表示MP圖的面積對Y軸的靜矩。xC表示面積ω的形心到Y軸的距離-----------------（2）xCC第26頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四===式中，yC為MP圖面積形心對應的圖的縱標。就是圖形相乘公式------（3）由（1）、（2）兩式，yCαxMP圖ABM圖xydxxCC第27頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四4．應用公式（3）應注意的問題2)

yC必須取自沿ω的整個長度內(nèi)是一直線變化的圖形，是折線，要分段圖乘。1)MP圖與圖在桿的同側，圖乘結果為正；在異側為負ωXChhL/2L/2ω=2Lh/3標準二次拋物線（簡支梁承受均布荷載）2L/3L/3Lω=Lh/2三角形3)由于圖乘過程中需計算圖形的面積及形心，要熟記以下四個基本圖形。第28頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四

hω=2Lh/35L/83L/8

標準二次拋物線（簡支梁承受均布荷載的半圖）

hω=Lh/3L/43L/4標準二次拋物線（懸臂梁承受均布荷載）

4）梯形圖形的處理ab=ab+baab=ba+第29頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四5）非標準二次拋物線的處理bb

=a+a

Pl/2l/2EIAB例1:求梁B段轉角。梯形標準二次拋物線4、應用舉例第30頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四PEIABM=11/2Pl/4()1）做MP圖2）做M圖3）求位移第31頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四等截面簡支梁，已知EI＝常數(shù)。中點C的豎向位移ΔCy。A端的角位移θAqlCA例2：求圖示梁C點的撓度。解P=1l/41）做MP圖ql2/8MP1P=1M1M2.2）做M圖3）求位移2第32頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四例3．梁的位移計算EI=常數(shù)，求ΔCV及截面D的轉角θD1kN2kN/mA

CBD

3m3m2m解：1）作MP圖（荷載作用下的彎矩圖）6AB圖P=1CAB1.52）作圖6AB916

BD=（向下）第33頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四+=（逆時針）M=1D

圖6AB916BD2）作圖ABD第34頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四例2．剛架的位移計算12kN6kNDC4m2kN/m

AB4m3mEI=常數(shù)，求ΔDH解：圖P=18圖8412/71）作MP圖、2KN4KN8KN14/74/7第35頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四2）圖乘過程8

812/74

CD桿圖乘8C4

A

AC桿圖乘

12/7

BD桿圖乘+=（向左）5m8484第36頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四例3．組合結構的位移計算DEA2m

10kN/mEI3EI6m

BEIC

6m6m已知，A=求B點的水平位移ΔBH

圖-1

P=1661）作MP圖、圖，MP圖解：-802048016045第37頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四2）圖乘過程=圖-1

P=16620-80480160MP圖DE45

BCA

CD

BCAEDEEI3EI第38頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四CD桿圖乘辦法：

20

45

1606++20-80480160DE

BCA-1

P=166第39頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四例4．桁架結構的位移計算AD4m

BC8kN

6×4=24mEA=常數(shù)，求：1）B點的豎向位移2）CD桿的轉角3）AB、BC桿的相對轉角∠ABC2）計算B點的豎向位移時，在B點作用P=1，求出各桿的軸力解：1）計算桁架在荷載作用下的各桿內(nèi)力NP

第40頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四P=13）計算CD桿的轉角時，P=P=DC作用力偶，如圖，計算各桿的軸力AD

BC8kN第41頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四4）計算AB、BC桿的相對轉角∠ABC時，A

BC

P=P=1/dP=1/dP=在AB桿的桿端作用力偶矩1；在BC桿的桿端作用力偶矩1，如圖所示。求出第42頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四AB

L

CHC例5．具有彈簧支座（鉸）結構的位移計算qL已知，KM=為彈簧鉸B的剛度,KN=為彈簧支座C的剛度。求，C點的豎向位移計算含彈簧約束的結構的位移時，與無彈簧約束的結構的位移計算方法相同，只是在位移計算公式右邊增加虛擬狀態(tài)的彈簧約束力在實際狀態(tài)的彈簧約束位移上所作的虛變形功即可。第43頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四，得：（向右）L解：2）作MP圖，圖qL2/3

MP圖圖（向下）qL/31）取整體，∑MA=0，ACHcqL/2xdxq11tdt第44頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四[注]：因而彎矩L要在該變形上作虛功

。1）虛擬力P=1作用于結構C點時，B處有彎矩L；荷載作用下，B處有變形（轉角），

L

1

1qL2/3

MP圖圖-qL/3ACHcqL/2

第45頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四3）上述兩虛功正負號規(guī)定如下力方向與變形同向，取正號；反之，取負號。2）同樣，虛擬力P=1作用于結構C點時，C支座處有約束反力1；因而，約束反力1要在該伸長上作虛功

荷載作用下，C支座處有伸長，

L

1

1qL2/3

MP圖圖-qL/3ACHcqL/2

第46頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四PCDKN

EAL

KMEI=∞例6．具有無限剛性桿結構位移的求法LLLEA=，求：已知，，無限剛性桿不產(chǎn)生變形，因而內(nèi)力虛功為零，計算位移時不予以考慮第47頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四1）MP圖，圖

PL/2-P/2PL/2P/2P解：L/2-1/2L/21/2P=1MP圖圖2）=（向下）[注]：EI=∞桿件不產(chǎn)生變形，因而內(nèi)力虛功為零。或計算位移時不予以考慮。第48頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四例7．彈簧支座與二力桿（鏈桿）的等效關系。

KN

LEA

圖1圖2圖2中的鏈桿可等效為圖1彈簧支座。由虎克定律，對鏈桿：若受拉（壓）力N，則其伸長（縮短）由剛度的定義，鏈桿的抗拉（壓）剛度K=圖1中的彈簧也是抗拉（壓）裝置，故，取K=那么，圖1、圖2其余桿的受力及變形就完全一樣。第49頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四2.制造誤差因素也不引起內(nèi)力，但產(chǎn)生結構其它桿件（結構）的剛體位移。體系變?yōu)闄C構（可變體系），A、B兩點的位置自由，任何位置都沒有結構內(nèi)力。AB桿由于溫度改變或制造誤差因素造成的結果只是A、B兩點距離的改變，即，A、B兩點位置的改變。不會引起內(nèi)力。同理，其余桿由于溫度改變和制造誤差因素都將不產(chǎn)生內(nèi)力。五、靜定結構由于溫度改變、制造1.靜定結構由于溫度改變不引起內(nèi)力，只產(chǎn)生桿件的變形；例如，桁架結構中，如果沒有AB桿，AB誤差因素引起的位移計算第50頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四引起的任一點沿任一方向的位移.現(xiàn)求由此dx3．溫度改變引起的桿件變形計算如圖所示，結構外側溫度上升，內(nèi)側上升，截面線膨脹系數(shù)為，并設溫度沿截面高度為h，材料的高度線性變化（平截面假設）。

KP=1+=∑第51頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四則，該微元體的變形有兩個方面：

1）軸向伸長，軸向伸長軸線處溫度

h/2h/2

dx

dλ

2）微元體兩端截面的相對轉角dθ式中，dθ=下側伸長，微段上側伸長，dθ第52頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四在擬求位移處虛設與位移方向一致的單位力P=1，求得微元體所受的內(nèi)力，4．5．由虛功原理，3中的位移狀態(tài)在4中的虛力狀態(tài)上作虛功，滿足：W外=W變

dxP=1

3）微元體兩端截面的剪切位移dν=0+=∑第53頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四即，，代入，，得：即，=式中，表示圖的面積；表示圖的面積。1)等號右第一項：若虛力使微元體軸向受拉（壓），溫度t0又使該微元體伸長（縮短），則該項取正號；其它情況取負號。2)等號右第二項：若虛力使微元體下側（上側）受拉，溫度t2>t1（t2<t1）則，該項取正號，其余情況取負號。[注]：等號右各項正負號的確定方法第54頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四例1．圖示剛架施工時的溫度為300，冬季外側溫度為-200，內(nèi)側溫度為100，各桿截面相同，均為矩形截面，截面高度為h，材料的線膨脹系數(shù)為α。桿長都是L，求剛架在冬季溫度時B點的水平位移。6．計算例題-500-500

-200

1）外側溫度變化t1=-200-300=-500，內(nèi)側溫度變化t2=100-300=-200

，2）t0=解：AB第55頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四3）建立虛擬力狀態(tài)如圖。ABP=1LLM圖+1P=1N圖4）==，第56頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四例2．制造誤差引起的位移計算dACB圖示桁架下弦各桿在制造時比設計長度縮短了2cm，求桁架在拼裝后結點C的豎向位移。（如果是架設橋梁，稱為預先起拱）6d運用虛功原理，注意以下兩方面解：1）變形狀態(tài)下弦各桿各縮短2cm，其余桿無變形+=∑第57頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四2）虛設力狀態(tài)在C結點作用單位力+1/2+1/2+3/2+3/2+1/2+1/23）讓虛力狀態(tài)在變形狀態(tài)上作虛功，滿足：W外=W內(nèi)，得：

（實際向上）P=1,求出各桿軸力（關鍵是下弦各桿的軸力）第58頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四六、支座移動引起的結構位移計算即，剛體的虛功原理3．計算例題例1．已知，支座A下沉6cm，支座B下沉12cm，支座D下沉8cm，求鉸C兩側截面的相對轉角θCC

ADBCθCC

2aa2a支座移動不引起結構內(nèi)力（因而所有桿件不變形），只產(chǎn)生結構位移2.運用變形體的虛功原理時，內(nèi)虛功為零，因而計算公式為：第59頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四解：1）虛設力系，只需求支座反力P=1，，2）

CVD

VA

VB

2）第60頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四例2．AB桿溫度升高t0，BC桿由于制造誤差縮短δ。試求∠ABC的相對轉角Bt0t0LAC

LL解：

B

A

P=

1）先計算溫度改變時產(chǎn)生的角度變化由于AB桿兩側溫度相同，只產(chǎn)生軸向伸長，故，作如圖的虛擬力易算得AB桿的軸力，AB桿的伸長第61頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四2）再計算制造誤差產(chǎn)生的角度變化3）疊加上述轉角，得兩種情況共同作用下的角度變化（）BC桿縮短δ作同樣的虛擬力系，

B

A

P=

BC桿的軸力第62頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四1．虛功互等定理ΔII表示PI作用下在I處產(chǎn)生的位移；ΔJI表示PI作用下在J處產(chǎn)生的位移ΔIJ表示PJ作用下在I處產(chǎn)生的位移；ΔJJ表示PJ作用下在J處產(chǎn)生的位移第J狀態(tài)PJIJΔIJΔJJ

七、線彈性體系的互等定理第I狀態(tài)IJΔIIΔJI

PI第63頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四1）把第I狀態(tài)看作力系統(tǒng)，把第J狀態(tài)看作位移變形系統(tǒng)，依變形體的虛功原理，（a）第J狀態(tài)PJIJΔIJΔJJ

第I狀態(tài)IJΔIIΔJI

PI2）把第J狀態(tài)看作力系統(tǒng)，把第I狀態(tài)看作位移變形系統(tǒng)，依變形體的虛功原理，（b）第64頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四第J狀態(tài)PJIJΔIJΔJJ

第I狀態(tài)IJΔIIΔJI

PI比較（a），（b）兩式，得：

PI在由于PJ產(chǎn)生的位移上所作的虛功等于PJ在由于PI產(chǎn)生的位移上所作的虛功第65頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四例：圖（a）所示梁的撓曲線，0≤x≤試用功的互等定理證明圖（b）所示梁的跨中撓度Px

L/2L/2yqyC

L/2L/2圖（b）圖（a）xy(x)第66頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四解（分析：視圖（a）為1狀態(tài)，視圖（b）為2狀態(tài))由虛功互等定理，Px

L/2L/2yqyC

L/2L/2圖（b）圖（a）dxx

xy(x)第67頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四2．位移互等定理注意：這里說的力和位移都是廣義力和廣義位移ΔIJ，ΔJI都是單位力引起的位移，記