第四講近代數(shù)學(xué)的興起與解析幾何誕生

第五章近代數(shù)學(xué)的興起

古代學(xué)術(shù)傳播西歐的路線：一、文藝復(fù)興的前奏大學(xué)：波隆尼亞大學(xué)（1088）、巴黎大學(xué)（1160）、牛津大學(xué)（1167）——搖籃文藝復(fù)興運(yùn)動(dòng)——資產(chǎn)階級(jí)文化的興起斐波那契（1170-1250），著作《算經(jīng)》（《算盤書》）內(nèi)容：前七章為十進(jìn)制整數(shù)及分?jǐn)?shù)的計(jì)算問(wèn)題；8—11章涉及商業(yè)計(jì)算的比例、利息、等差級(jí)數(shù)及等比級(jí)數(shù)，還有賺賠、合股、折扣、復(fù)利等應(yīng)用問(wèn)題；12、13章為求一次方程的整數(shù)解問(wèn)題；14章是求平方根、立方根的法則；15章是幾何度量及代數(shù)問(wèn)題。斐波那契(L.Fibonacci,1170-1250):<算經(jīng)>(1202)某人養(yǎng)了一對(duì)小兔子，假定每對(duì)兔子每月生一對(duì)小兔子，而小兔子出生后兩個(gè)月就能生育，問(wèn)從這對(duì)兔子開(kāi)始，一年內(nèi)能繁殖成多少對(duì)兔子？裴波那契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，……Un=Un-1+Un-2(n≥3)著名的裴波那契數(shù)列——自然現(xiàn)象中的裴波那契數(shù)：向日葵花瓣依兩個(gè)相反的螺旋形排列，朝一個(gè)螺旋方向生長(zhǎng)的花瓣數(shù)同朝相反螺旋方向生長(zhǎng)的花瓣數(shù)，幾乎總等于裴波那契序列中兩個(gè)相鄰的數(shù)。菠蘿、冬表、球花、牛眼菊和許多植物的花也有類似的情形。一些花的花瓣數(shù)構(gòu)成裴波那契序列中的一串?dāng)?shù)字電子學(xué)專門設(shè)計(jì)的電路也能產(chǎn)生裴波那契序列歐洲數(shù)學(xué)真正的復(fù)蘇,要到15-16世紀(jì).在文藝復(fù)興的高潮中,數(shù)學(xué)的發(fā)展與科學(xué)的革新緊密結(jié)合在一起,數(shù)學(xué)在認(rèn)識(shí)自然和探索真理方面的意義被文藝復(fù)興的代表人物高度強(qiáng)調(diào).達(dá)?芬奇(1452-1519)就這樣說(shuō)過(guò):“一個(gè)人若懷疑數(shù)學(xué)的極端可靠性就是陷入混亂,他永遠(yuǎn)不能平息詭辯科學(xué)中只會(huì)導(dǎo)致不斷空談的爭(zhēng)辯.……因?yàn)槿藗兊奶接懖荒芊Q為科學(xué)的,除非通過(guò)數(shù)學(xué)上的說(shuō)明和論證.”伽利略干脆認(rèn)為宇宙“這本書是用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言寫成的”.科學(xué)中數(shù)學(xué)化趨勢(shì)的增長(zhǎng)促使數(shù)學(xué)本身走向繁榮.二、近代數(shù)學(xué)的興起三次及以上的方程的根式解問(wèn)題：巴巧利認(rèn)為x3+mx=n，x3+n=mx無(wú)根式解，就象解化圓為方一樣。費(fèi)羅（1465-1526）發(fā)現(xiàn)了形如x3+mx=n（m,n>0）的解法。尼古拉·豐丹納（綽號(hào)塔塔里亞）（1499-1557），1535年宣布發(fā)現(xiàn)了三次方程的代數(shù)解法。（一）代數(shù)學(xué)1.三次方程根式求解的成功費(fèi)羅（1515年）

x3+mx=n(m,n>0)塔塔利亞x3+mx2=n(m,n>0)卡爾丹（1501-1576）醫(yī)生、數(shù)學(xué)家、預(yù)言家?！洞蠓ā贰剂巳畏匠痰慕夥??！洞蠓ā罚ˋrsMagna）p,q>0

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2.四次方程求解費(fèi)拉里（1522-1565），卡爾丹的學(xué)生，獲得解一般四次方程的解法。x4+ax3+bx2+cx+d=0基本思想是通過(guò)配方、因式分解后降次。關(guān)于四次方程的解法，以后韋達(dá)和笛卡爾都作過(guò)研究，并取得成果，由此引發(fā)探求五次方程根式解的嘗試，經(jīng)拉格朗日、阿貝爾、伽羅瓦的努力，阿貝爾首先證明了一般的五次及以上方程無(wú)根式解，伽羅瓦在此基礎(chǔ)上創(chuàng)造了群論，將代數(shù)研究推向縱深。（二）代數(shù)符號(hào)體系與代數(shù)運(yùn)算韋達(dá)(F.Vieta):<分析引論>(1591)近代數(shù)學(xué)的開(kāi)始最重大的事莫過(guò)于符號(hào)代數(shù)的引進(jìn)韋達(dá)是第一個(gè)有意識(shí)地、系統(tǒng)地使用字母韋達(dá)（1540-1603），法國(guó)數(shù)學(xué)家，創(chuàng)立符號(hào)代數(shù)；發(fā)現(xiàn)根與系數(shù)的關(guān)系。對(duì)韋達(dá)所使用的代數(shù)符號(hào)的改進(jìn)工作是由笛卡兒于1637年完成的,他用拉丁字母的前幾個(gè)(a,b,c,…)表示已知量,后幾個(gè)(x,y,z,…)表示未知量,成為今天的習(xí)慣.另外,我們現(xiàn)在所使用的代數(shù)符號(hào)都是這一時(shí)期發(fā)明的,如“+”、“-”來(lái)自于德國(guó),“=”來(lái)自于英國(guó).（三）三角學(xué)航海、歷法推算以及天文觀測(cè)的需要,推動(dòng)了三角學(xué)的發(fā)展.早期三角學(xué)總是與天文學(xué)密不可分的,這樣在1450年以前,三角學(xué)主要是球面三角,后來(lái)由于間接測(cè)量、測(cè)繪工作的需要而出現(xiàn)了平面三角.15、16世紀(jì),德國(guó)人開(kāi)始對(duì)三角學(xué)作出新的推進(jìn),他們從意大利獲得了阿拉伯天文學(xué)著作中的三角學(xué)知識(shí).游學(xué)意大利、后來(lái)定居維也納的波伊爾巴赫(G.Peurbach,1423-1461,德國(guó))曾經(jīng)把托勒枚的《大匯編》譯成拉丁文,并且編制了十分精確的正弦表.在歐洲,第一部脫離天文學(xué)的三角學(xué)專著是波伊爾巴赫的學(xué)生雷格蒙塔努斯(J.Regiomontanus,1436-1476)的《論各種三角形》.該書分五卷,前兩卷論平面三角,后三卷論球面三角,給出了球面三角的正弦定理和關(guān)于邊的余弦定理.雷格蒙塔努斯在其另一部著作《方位表》中,制定了多達(dá)五位的三角函數(shù)表,除正弦、余弦表外,還有正切表.在1450年以前,希臘、阿拉伯人著作中的三角方法很不嚴(yán)謹(jǐn),雷格蒙塔努斯首次對(duì)三角學(xué)作出完整、獨(dú)立的闡述,使其開(kāi)始在歐洲廣泛傳播.三、從透視學(xué)到射影幾何布努雷契(F.Brunelleschi,1377-1446)阿爾貝蒂(L.B.Alberti,1404-1472)<論繪畫>迪勒(A.Dürer,1471-1528)<線面體的尺規(guī)測(cè)量法>英國(guó)畫家柯?tīng)柋?lt;泰勒博士透視方法淺說(shuō)>(1754)

卷首插圖中世紀(jì)油畫文藝復(fù)興時(shí)代的油畫出發(fā)點(diǎn)透視畫的天才阿爾貝蒂提出一個(gè)很重要的問(wèn)題：如果眼睛和景物之間插立一張直立的玻璃屏板，設(shè)想光線從眼睛出發(fā)射在景物上，那么這些光線形成投影錐，投影錐經(jīng)過(guò)屏板上的點(diǎn)便形成截景，截景給眼睛的印象和物景本身一樣。如果在眼睛與物景之間再插另一張屏板，那么兩個(gè)截景都傳達(dá)原來(lái)的形象，但它們具有何數(shù)學(xué)關(guān)系？眼物景截景德沙格的工作德沙格（1591-1661），法國(guó)陸軍軍官，德沙格定理。德沙格發(fā)表了一本關(guān)于圓維曲線的很有獨(dú)創(chuàng)性的小冊(cè)子《試論錐面截一平面所得結(jié)果的初稿》，從開(kāi)普勒的連續(xù)性原理開(kāi)始，導(dǎo)出了許多關(guān)于對(duì)合、調(diào)和變程、透射、極軸、極點(diǎn)以及透視的基本原理。1、兩投影三角形對(duì)應(yīng)邊交點(diǎn)共線，反之，對(duì)應(yīng)邊共點(diǎn)的兩三角形，對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線共點(diǎn)（德沙格定理）2、交比在投影下的不變性；3、對(duì)合、調(diào)合點(diǎn)組關(guān)系不變性。對(duì)任一直線上的定點(diǎn)O，稱直線上的兩對(duì)點(diǎn)A，B和A’，B’是對(duì)合的，如果成立：OA·OB=OA’·OB’帕斯卡（1623-1662），著作《圓錐曲線論》（1640），帕斯卡定理。拉伊爾（1640-1718），著作《圓錐曲線》，獲得定理：若一點(diǎn)Q在直線p上移動(dòng)，則該點(diǎn)Q的極帶將繞直線p的極點(diǎn)P移動(dòng)。四、計(jì)算技術(shù)與對(duì)數(shù)納皮爾（1550-1617），利用兩種不同的運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系，建立了“對(duì)數(shù)”關(guān)系。稱為納皮爾對(duì)數(shù)。布里格斯（1561-1631），建立了以10為底的常用對(duì)數(shù)，制出第一張常用對(duì)數(shù)表。岡特（1581-1626），算出三角函數(shù)的常用對(duì)數(shù)表。比爾吉（1552-1632），也獨(dú)立發(fā)明了對(duì)數(shù)。穆尼閣（1611-1656），把對(duì)數(shù)傳入中國(guó)納皮爾布里格斯這一時(shí)期計(jì)算技術(shù)的最大改進(jìn)是對(duì)數(shù)的發(fā)明和應(yīng)用,它的產(chǎn)生主要是由于天文、航海方面所遇到的繁雜數(shù)值計(jì)算,自然希望將乘除法歸結(jié)為簡(jiǎn)單的加減法,這種設(shè)想受到人們熟知的三角公式(積化和差)的啟示——或許還受到德國(guó)數(shù)學(xué)家斯蒂弗爾的啟示——德國(guó)數(shù)學(xué)家斯蒂弗爾（約1487-1567）在他的《綜合算術(shù)》中指出：幾何數(shù)列：1,r,r2,r3,……算術(shù)數(shù)列：0,1,2,3,……指數(shù)與算術(shù)級(jí)數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。蘇格蘭貴族數(shù)學(xué)家納皮爾(J.Napier,1550-1617)正是在球面天文學(xué)的三角學(xué)研究中發(fā)明對(duì)數(shù)方法的.

1614年,他在題為《奇妙的對(duì)數(shù)定理說(shuō)明書》的小書中,闡述了他的對(duì)數(shù)方法.他考察一個(gè)點(diǎn)P沿直線AB(長(zhǎng)度為107單位)的運(yùn)動(dòng),其速度在每一點(diǎn)P處正比于剩余距離PB=y;再假定另一個(gè)點(diǎn)Q沿?zé)o窮直線CD勻速運(yùn)動(dòng),其速度等于P點(diǎn)在A處的速度,CQ=x;令P與Q同時(shí)分別從A、C出發(fā),那么定義x是y的對(duì)數(shù).五、解析幾何的誕生16世紀(jì)，機(jī)械的廣泛運(yùn)用，建筑業(yè)的興起，造船業(yè)的發(fā)展，顯微鏡、望遠(yuǎn)鏡的使用，要求數(shù)學(xué)確定各種復(fù)雜的曲線、曲面。航海業(yè)向天文學(xué)和數(shù)學(xué)提出精確測(cè)定經(jīng)緯度要求，槍炮制造要求研究拋射體軌跡，這些都需有一種新思想、新方法來(lái)解決問(wèn)題，這是解析幾何產(chǎn)生的外部原因。其次，代數(shù)學(xué)的充分發(fā)展，使過(guò)去依賴幾何方法解決代數(shù)問(wèn)題的局面被打破，反過(guò)來(lái)利用代數(shù)方法研究幾何的思想已成熟，這是內(nèi)部原因。第三，形數(shù)結(jié)合思想歷來(lái)有之，古希臘阿波羅尼奧斯研究圓錐曲線時(shí)，偶爾引用正交直線來(lái)顯示一種“坐標(biāo)”，依巴谷在天文、地理的研究中曾明確指出一點(diǎn)的位置由經(jīng)緯度來(lái)決定.到14世紀(jì),奧雷斯姆(1323-1382)在其書中直接陳述過(guò)一種“坐標(biāo)”幾何。格塔拉底(1566-1627)繼承韋達(dá)用代數(shù)研究幾何的思想，寫成《阿波羅尼奧斯著作的現(xiàn)代闡釋》，對(duì)幾何問(wèn)題的代數(shù)解法作了系統(tǒng)的研究。1630年又在《數(shù)學(xué)的分析與綜合》中更詳細(xì)地討論了這個(gè)問(wèn)題，1631年哈里奧特在《實(shí)用分析學(xué)》中把格塔拉底的思想引伸并系統(tǒng)化。最后，更為重要的是天體運(yùn)動(dòng)和物體運(yùn)動(dòng)的研究，啟發(fā)數(shù)學(xué)家思考用運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)來(lái)研究幾何問(wèn)題。在德沙格和帕斯卡開(kāi)辟了射影幾何的同時(shí)，笛卡兒和費(fèi)爾馬開(kāi)始構(gòu)思現(xiàn)代解析幾何的概念，并各自獨(dú)立地創(chuàng)立了解析幾何。這兩項(xiàng)研究之間存在一個(gè)根本區(qū)別：前者是幾何學(xué)的一個(gè)分支，后者是幾何學(xué)的一種方法。笛卡爾(R.Descartes,1596-1650):

<幾何學(xué)>(1637)費(fèi)馬(P.deFermat,1601-1665)<論平面和立體的軌跡引論>(1629)笛卡兒(1596-1650)，法國(guó)著名哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家。1637年，發(fā)表了《方法論》及其三個(gè)附錄，他對(duì)解析幾何的貢獻(xiàn)，就在第三個(gè)附錄《幾何學(xué)》中，其中心思想是要把代數(shù)與幾何繼往開(kāi)來(lái)起來(lái)，由方程自變量變化，函數(shù)值變化形成動(dòng)點(diǎn)，得到方程曲線，他提出了幾種由機(jī)械運(yùn)動(dòng)生成的新曲線。費(fèi)馬(1601-1665)，法國(guó)人業(yè)余數(shù)學(xué)家，數(shù)論方面是承前啟后的人物，幾何方面又是一個(gè)創(chuàng)造性人物。在《平面和立體軌跡導(dǎo)論》中，引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)成線思想，利用坐標(biāo)，把曲線用一個(gè)方程表示出來(lái)，解析地定義了許多新的曲線，然后進(jìn)行研究。在很大程度上，笛卡兒從軌跡開(kāi)始，然后求它的方程；費(fèi)爾馬則從方程出發(fā)，然后來(lái)研究軌跡。這正是解析幾何基本原則的兩個(gè)相反的方面，“解析幾何”的名稱是以后才定下來(lái)的。笛卡爾在另一部較早的哲學(xué)著作《指導(dǎo)思維的法則》中稱自己設(shè)想的一般方法為“通用數(shù)學(xué)”,并概述了這種通用數(shù)學(xué)的思路.在這里,笛卡兒提出了一種大膽的計(jì)劃,即:任何問(wèn)題→數(shù)學(xué)問(wèn)題→代數(shù)問(wèn)題→方程求解.關(guān)于笛卡兒創(chuàng)立解析幾何的靈感有幾個(gè)傳說(shuō).一個(gè)傳說(shuō)(能與牛頓看見(jiàn)蘋果落地的故事相媲美)講,笛卡兒終身保持著在耶穌會(huì)學(xué)校讀書期間養(yǎng)成的“晨思”習(xí)慣.他在一次“晨思”時(shí),看見(jiàn)一只蒼蠅正在天花板上爬,他突然想到,如果知道了蒼蠅與相鄰兩個(gè)墻壁的關(guān)系,就能描述它的路線,這使他頭腦中產(chǎn)生了解析幾何的最初閃念.另一個(gè)傳說(shuō)(能與門捷列夫夢(mèng)見(jiàn)元素周期表的故事相媲美)是,1619年冬天,笛卡兒隨軍隊(duì)駐扎在多瑙河畔的一個(gè)村莊,在圣馬丁節(jié)的前夕(11月10日),他作了三個(gè)連貫的夢(mèng).笛卡兒后來(lái)說(shuō),正是這三個(gè)夢(mèng)向他揭示了“一門奇特的科學(xué)”和“一項(xiàng)驚人的發(fā)現(xiàn)”.雖然他從未說(shuō)過(guò)這門奇特的科學(xué)和這項(xiàng)驚人的發(fā)現(xiàn)是什么,但這三個(gè)夢(mèng)從此成為后來(lái)每本介紹解析幾何誕生的著作必提的佳話,它給解析幾何的誕生蒙上了一層神秘的面紗.人們?cè)诳嘈乃妓髦蟮乃瘔?mèng)中獲得靈感與啟示不是不可能的.但事實(shí)上笛卡兒之所以能創(chuàng)立解析幾何,主要是他艱苦探索、潛心思考,運(yùn)用科學(xué)的方法,同時(shí)批判地繼承前人的成就的結(jié)果.解析幾何開(kāi)辟高等數(shù)學(xué)新紀(jì)元解析幾何徹底改變了數(shù)學(xué)的研究方法。

——M.克萊茵“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡爾的變數(shù)，有了變書，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要的了，……”——恩格斯恩格斯在《自然辨證法》中指出納皮爾的對(duì)數(shù)發(fā)現(xiàn)，笛卡兒的解析幾何學(xué)，牛頓-萊布尼茲的微積分并列為“17世紀(jì)最重要的數(shù)學(xué)方法”。

17世紀(jì)最重要的數(shù)學(xué)方法

解析幾何的創(chuàng)始人——笛卡兒

“笛卡兒，歐洲文藝復(fù)興以來(lái)，為人類爭(zhēng)取并保證理性權(quán)利的第一人”。

恩格斯評(píng)論笛卡兒：“數(shù)學(xué)由于研究變數(shù)而進(jìn)入辯證法的領(lǐng)域，而且很明顯正式辯證哲學(xué)家笛卡兒是數(shù)學(xué)有了這種進(jìn)步?！钡芽柕恼軐W(xué)格言是：“我思故我在”。

數(shù)學(xué)格言是：“一切問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，一切數(shù)學(xué)問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化成代數(shù)問(wèn)題，一切代數(shù)問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化成方程求解的問(wèn)題。最具水準(zhǔn)的情書情書內(nèi)容：R=a(1-sinx)芙蓉樓送辛漸——王昌齡寒雨連江夜入?yún)?，平明送客楚山孤。洛?yáng)親友如相問(wèn)，一片冰心在玉壺。笛卡爾笛卡兒1596年3月31日生于法國(guó)土倫省萊耳市的一個(gè)貴族之家，笛卡兒的父親是布列塔尼地方議會(huì)的議員，同時(shí)也是地方法院的法官,笛卡兒在豪華的生活中無(wú)憂無(wú)慮地度過(guò)了童年。他幼年體弱多病，母親病故后就一直由一位保姆照看。他對(duì)周圍的事物充滿了好奇，父親見(jiàn)他頗有哲學(xué)家的氣質(zhì)，親昵地稱他為“小哲學(xué)家”。父親希望笛卡兒將來(lái)能夠成為一名神學(xué)家，于是在笛卡兒八歲時(shí)，便將他送入拉弗萊什的耶穌會(huì)學(xué)校，接受古典教育。校方為照顧他的孱弱的身體，特許他可以不必受校規(guī)的約束，早晨不必到學(xué)校上課，可以在床上讀書。因此，他從小養(yǎng)成了喜歡安靜，善于思考的習(xí)慣。笛卡兒1612年到普瓦捷大學(xué)攻讀法學(xué)，四年后獲博士學(xué)位。1616年笛卡兒結(jié)束學(xué)業(yè)后，便背離家庭的職業(yè)傳統(tǒng)，開(kāi)始探索人生之路。他投筆從戎，想借機(jī)游歷歐洲，開(kāi)闊眼界。這期間有幾次經(jīng)歷對(duì)他產(chǎn)生了重大的影響。一次，笛卡兒在街上散步，偶然間看到了一張數(shù)學(xué)題懸賞的啟事。兩天后，笛卡兒竟然把那個(gè)問(wèn)題解答出來(lái)了，引起了著名學(xué)者伊薩克·皮克曼的注意。皮克曼向笛卡兒介紹了數(shù)學(xué)的最新發(fā)展，給了他許多有待研究的問(wèn)題。與皮克曼的交往，使笛卡兒對(duì)自己的數(shù)學(xué)和科學(xué)能力有了較充分的認(rèn)識(shí)，他開(kāi)始看到了傳統(tǒng)的幾何過(guò)分依賴圖形和形式演繹的缺陷，同時(shí)也深感代數(shù)過(guò)分受法則和公式的限制而缺乏活力，于是認(rèn)真探尋是否存在一種類似于數(shù)學(xué)的、具有普遍使用性的方法，以期獲取真正的知識(shí)。1、與數(shù)學(xué)結(jié)緣代數(shù)與幾何的各自為政、劃地為牢的狀況抑制了數(shù)學(xué)的發(fā)展，怎樣才能擺脫這種狀況，架起溝通代數(shù)與幾何的橋梁呢？笛卡兒分析了幾何學(xué)與代數(shù)學(xué)的優(yōu)缺點(diǎn)，表示要去“尋求另外一種包含這兩門科學(xué)的好處，而沒(méi)有它們的缺點(diǎn)的方法”。據(jù)說(shuō)，笛卡兒曾在一個(gè)晚上做了三個(gè)奇特的夢(mèng)。第一個(gè)夢(mèng)是，笛卡兒被風(fēng)暴吹到一個(gè)風(fēng)力吹不到的地方；第二個(gè)夢(mèng)是他得到了打開(kāi)自然寶庫(kù)的鑰匙；第三個(gè)夢(mèng)是他開(kāi)辟了通向真正知識(shí)的道路。這三個(gè)奇特的夢(mèng)增強(qiáng)了他創(chuàng)立新學(xué)說(shuō)的信心。這一天是笛卡兒思想上的一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，有些學(xué)者也把這一天定為解析幾何的誕生日。

2、夢(mèng)境與靈感現(xiàn)在，他的思緒又回到了這個(gè)問(wèn)題上……抬頭望著天花板，一只小小的蜘蛛從墻角慢慢地爬過(guò)來(lái)，吐絲結(jié)網(wǎng)，忙個(gè)不停。從東爬到西，從南爬到北。要結(jié)一張網(wǎng)，小蜘蛛該走多少路啊！笛卡爾突發(fā)奇想，算一算蜘蛛走過(guò)的路程。他先把蜘蛛看成一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)離墻角多遠(yuǎn)？離墻的兩邊多遠(yuǎn)？……他思考著，計(jì)算著，病中的他睡著了……夢(mèng)中他繼續(xù)在數(shù)學(xué)的廣闊天地中馳騁，好像悟出了什么，又看到了什么，大夢(mèng)醒來(lái)的笛卡爾茅塞頓開(kāi)，一種新的思想初露端倪：在互相垂直的兩條直線下，一個(gè)點(diǎn)可以用到這兩條直線的距離，也就是兩個(gè)數(shù)來(lái)表示，這個(gè)點(diǎn)的位置就被確定了。

用數(shù)形結(jié)合的方式將代數(shù)與幾何的橋梁聯(lián)起來(lái)了。這就是解析幾何學(xué)誕生的曙光，沿著這條思路前進(jìn)，在眾多數(shù)學(xué)家的努力下數(shù)學(xué)的歷史發(fā)生了重要的轉(zhuǎn)折，建立了解析幾何學(xué)。3、解析幾何的創(chuàng)立（1）笛卡兒的主要數(shù)學(xué)成果集中在他的“幾何學(xué)”中。笛卡兒站在方法論的自然哲學(xué)的高度，認(rèn)為希臘人的幾何學(xué)過(guò)于依賴于圖形，束縛了人的想象力。對(duì)于當(dāng)時(shí)的代數(shù)學(xué)，覺(jué)得它完全從屬于法則和公式，不能成為一門改進(jìn)智力的科學(xué)。因此他提出必須把幾何與代數(shù)的優(yōu)點(diǎn)結(jié)合起來(lái)，建立一種“真正的數(shù)學(xué)”。笛卡兒的思想核心是：把幾何學(xué)的問(wèn)題歸結(jié)成代數(shù)形式的問(wèn)題，用代數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行計(jì)算、證明，從而達(dá)到最終解決幾何問(wèn)題的目的。

1637年，笛卡兒發(fā)表了《幾何學(xué)》，創(chuàng)立了直角坐標(biāo)系。他用平面上的一點(diǎn)到兩條固定直線的距離來(lái)確定點(diǎn)的位置，用坐標(biāo)來(lái)描述空間上的點(diǎn)。他進(jìn)而又創(chuàng)立了解析幾何學(xué)，表明了幾何問(wèn)題不僅可以歸結(jié)成為代數(shù)形式，而且可以通過(guò)代數(shù)變換來(lái)實(shí)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)幾何性質(zhì)，證明幾何性質(zhì)。解析幾何的出現(xiàn)，改變了自古希臘以來(lái)代數(shù)和幾何分離的趨向，把相互對(duì)立著的“數(shù)”與“形”統(tǒng)一了起來(lái)，使幾何曲線與代數(shù)方程相結(jié)合。笛卡兒的這一天才創(chuàng)見(jiàn)，更為微積分的創(chuàng)立奠定了基礎(chǔ)，從而開(kāi)拓了變量數(shù)學(xué)的廣闊領(lǐng)域。最為可貴的是，笛卡兒用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)，把曲線看成點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的軌跡，不僅建立了點(diǎn)與實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，而且把形（包括點(diǎn)、線、面）和“數(shù)”兩個(gè)對(duì)立的對(duì)象統(tǒng)一起來(lái)，建立了曲線和方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系。這種對(duì)應(yīng)關(guān)系的建立，不僅標(biāo)志著函數(shù)概念的萌芽，而且標(biāo)明變數(shù)進(jìn)入了數(shù)學(xué)，使數(shù)學(xué)在思想方法上發(fā)生了偉大的轉(zhuǎn)折--由常量數(shù)學(xué)進(jìn)入變量數(shù)學(xué)的時(shí)期。正如恩格斯所說(shuō)：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡兒的變數(shù)。有了變數(shù)，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，辨證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要了。笛卡兒的這些成就，為后來(lái)牛頓、萊布尼茲發(fā)現(xiàn)微積分，為一大批數(shù)學(xué)家的新發(fā)現(xiàn)開(kāi)辟了道路。

1637年，法國(guó)的哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家笛卡爾發(fā)表了他的著作《方法論》，這本書的后面有三篇附錄，一篇叫《折光學(xué)》，一篇叫《流星學(xué)》，一篇叫《幾何學(xué)》。當(dāng)時(shí)的這個(gè)“幾何學(xué)”實(shí)際上指的是數(shù)學(xué)，就像我國(guó)古代“算術(shù)”和“數(shù)學(xué)”是一個(gè)意思一樣。笛卡爾的《幾何學(xué)》共分三卷，第一卷討論尺規(guī)作圖；第二卷是曲線的性質(zhì)；第三卷是立體和“超立體”的作圖，但他實(shí)際是代數(shù)問(wèn)題，探討方程的根的性質(zhì)。后世的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)史學(xué)家都把笛卡爾的《幾何學(xué)》作為解析幾何的起點(diǎn)。

從笛卡爾的《幾何學(xué)》中可以看出，笛卡爾的中心思想是建立起一種“普遍”的數(shù)學(xué)，把算術(shù)、代數(shù)、幾何統(tǒng)一起來(lái)。他設(shè)想，把任何數(shù)學(xué)問(wèn)題化為一個(gè)代數(shù)問(wèn)題，在把任何代數(shù)問(wèn)題歸結(jié)到去解一個(gè)方程式。（4）解析幾何的基本思想：

為了實(shí)現(xiàn)上述的設(shè)想，笛卡爾從天文和地理的經(jīng)緯制度出發(fā)，指出平面上的點(diǎn)和實(shí)數(shù)對(duì)(x,y)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。x,y的不同數(shù)值可以確定平面上許多不同的點(diǎn)，這樣就可以用代數(shù)的方法研究曲線的性質(zhì)。這就是解析幾何的基本思想。具體地說(shuō)，平面解析幾何的基本思想有兩個(gè)要點(diǎn)：第一，在平面建立坐標(biāo)系，一點(diǎn)的坐標(biāo)與一組有序的實(shí)數(shù)對(duì)相對(duì)應(yīng)；第二，在平面上建立了坐標(biāo)系后，平面上的一條曲線就可由帶兩個(gè)變數(shù)的一個(gè)代數(shù)方程來(lái)表示了。從這里可以看到，運(yùn)用坐標(biāo)法不僅可以把幾何問(wèn)題通過(guò)代數(shù)的方法解決，而且還把變量、函數(shù)以及數(shù)和形等重要概念密切聯(lián)系了起來(lái)。

在解析幾何中，首先是建立坐標(biāo)系。取定兩條相互垂直的、具有一定方向和度量單位的直線，叫做平面上的一個(gè)直角坐標(biāo)系oxy。利用坐標(biāo)系可以把平面內(nèi)的點(diǎn)和一對(duì)實(shí)數(shù)(x,y)建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。除了直角坐標(biāo)系外，還有斜坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系、空間直角坐標(biāo)系等等。在空間坐標(biāo)系中還有球坐標(biāo)和柱面坐標(biāo)。（5）解析幾何的基本內(nèi)容坐標(biāo)系將幾何對(duì)象和數(shù)、幾何關(guān)系和函數(shù)之間建立了密切的聯(lián)系，這樣就可以對(duì)空間形式的研究歸結(jié)成比較成熟也容易駕馭的數(shù)量關(guān)系的研究了。用這種方法研究幾何學(xué)，通常就叫做解析法。這種解析法不但對(duì)于解析幾何是重要的，就是對(duì)于幾何學(xué)的各個(gè)分支的研究也是十分重要的。解析幾何的創(chuàng)立，引入了一系列新的數(shù)學(xué)概念，特別是將變量引入數(shù)學(xué)，使數(shù)學(xué)進(jìn)入了一個(gè)新的發(fā)展時(shí)期，這就是變量數(shù)學(xué)的時(shí)期。解析幾何在數(shù)學(xué)發(fā)展中起了推動(dòng)作用。解析幾何又分作平面解析幾何和空間解析幾何。在平面解析幾何中，除了研究直線的有關(guān)直線的性質(zhì)外，主要是研究圓錐曲線（圓、橢圓、拋物線、雙曲線）的有關(guān)性質(zhì)。在空間解析幾何中，除了研究平面、直線有關(guān)性質(zhì)外，主要研究柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面。橢圓、雙曲線、拋物線的有些性質(zhì)，在生產(chǎn)或生活中被廣泛應(yīng)用。比如電影放映機(jī)的聚光燈泡的反射面是橢圓面，燈絲在一個(gè)焦點(diǎn)上，影片門在另一個(gè)焦點(diǎn)上；探照燈、聚光燈、太陽(yáng)灶、雷達(dá)天線、衛(wèi)星的天線、射電望遠(yuǎn)鏡等都是利用拋物線的原理制成的。

（6）解析幾何的應(yīng)用總的來(lái)說(shuō)，解析幾何運(yùn)用坐標(biāo)法可以解決兩類基本問(wèn)題：一類是滿足給定條件點(diǎn)的軌跡，通過(guò)坐標(biāo)系建立它的方程；另一類是通過(guò)方程的討論，研究方程所表示的曲線性質(zhì)。運(yùn)用坐標(biāo)法解決問(wèn)題的步驟是：首先在平面上建立坐標(biāo)系，把已知點(diǎn)的軌跡的幾何條件“翻譯”成代數(shù)方程；然后運(yùn)用代數(shù)工具對(duì)方程進(jìn)行研究；最后把代數(shù)方程的性質(zhì)用幾何語(yǔ)言敘述，從而得到原先幾何問(wèn)題的答案。坐標(biāo)法的思想促使人們運(yùn)用各種代數(shù)的方法解決幾何問(wèn)題。先前被看作幾何學(xué)中的難題，一旦運(yùn)用代數(shù)方法后就變得平淡無(wú)奇了。坐標(biāo)法對(duì)近代數(shù)學(xué)的機(jī)械化證明也提供了有力的工具。笛卡兒的成就笛卡兒在科學(xué)上的貢獻(xiàn)是多方面的。但他的哲學(xué)思想和方法論，在其一生活動(dòng)中則占有更重要的地位。他的哲學(xué)思想對(duì)后來(lái)的哲學(xué)和科學(xué)的發(fā)展，產(chǎn)生了極大的影響?！粽軐W(xué)方面：笛卡兒強(qiáng)調(diào)科學(xué)的目的在于造福人類，使人成為自然界的主人和統(tǒng)治者。他反對(duì)經(jīng)院哲學(xué)和神學(xué)，提出懷疑一切的“系統(tǒng)懷疑的方法”。但他還提出了“我思故我在”的原則，強(qiáng)調(diào)不能懷疑以思維為其屬性的獨(dú)立的精神實(shí)體的存在，并論證以廣延為其屬性的獨(dú)立物質(zhì)實(shí)體的存在。他認(rèn)為上述兩實(shí)體都是有限實(shí)體，把它們并列起來(lái)，這說(shuō)明了在形而上學(xué)或本體論上，他是典型的二元論者。笛卡兒還企圖證明無(wú)限實(shí)體，即上帝的存在。他認(rèn)為上帝是有限實(shí)體的創(chuàng)造者和終極的原因。笛卡兒的認(rèn)識(shí)論基本上是唯心主義的。他主張唯理論，把幾何學(xué)的推理方法和演繹法應(yīng)用于哲學(xué)上，認(rèn)為清晰明白的概念就是真理，提出“天賦觀念”。笛卡兒的自然哲學(xué)觀同亞里士多德的學(xué)說(shuō)是完全對(duì)立的。他認(rèn)為，所有物質(zhì)的東西，都是為同一機(jī)械規(guī)律所支配的機(jī)器，甚至人體也是如此。同時(shí)他又認(rèn)為，除了機(jī)械的世界外，還有一個(gè)精神世界存在，這種二元論的觀點(diǎn)后來(lái)成了歐洲人的根本思想方法。最著名的思想就是＂我思故我在＂。意思是：“當(dāng)我懷疑一切事物的存在時(shí)，我卻不用懷疑我本身的思想，因?yàn)榇藭r(shí)我唯一可以確定的事就是我自己思想的存在”。這句被Descartes當(dāng)作自己的哲學(xué)體系的出發(fā)點(diǎn)的名言，在過(guò)去的東歐和現(xiàn)在的中國(guó)學(xué)界都被認(rèn)為是極端主觀唯心主義的總代表，而遭到嚴(yán)厲的批判。很多人甚至以“存在必先于意識(shí)”、“沒(méi)有肉體便不能有思想”等為論據(jù)，認(rèn)為Descartes是“本末倒置”、“荒唐可笑”。Descartes的懷疑不是對(duì)某些具體事物、具體原理的懷疑，而是對(duì)人類、對(duì)世界、對(duì)上帝的絕對(duì)的懷疑。從這個(gè)絕對(duì)的懷疑，Descartes要引導(dǎo)出不容置疑的哲學(xué)的原則?！魯?shù)學(xué)方面笛卡兒最杰出的成就是在數(shù)學(xué)發(fā)展上創(chuàng)立了解析幾何學(xué)。在笛卡兒時(shí)代，代數(shù)還是一個(gè)比較新的學(xué)科，幾何學(xué)的思維還在數(shù)學(xué)家的頭腦中占有統(tǒng)治地位。笛卡兒致力于代數(shù)和幾何聯(lián)系起來(lái)的研究，于1637年，在創(chuàng)立了坐標(biāo)系后，成功地創(chuàng)立了解析幾何學(xué)。他的這一成就為微積分的創(chuàng)立奠定了基礎(chǔ)。解析幾何直到現(xiàn)在仍是重要的數(shù)學(xué)方法之一?！粑锢韺W(xué)方面笛卡兒靠著天才的直覺(jué)和嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推理，在物理學(xué)方面做出了有益的貢獻(xiàn)。從161