數(shù)學文化課件 07-Kj-2

第一章概述

第一節(jié)數(shù)學是什么1一、數(shù)學的“定義”

恩格斯：數(shù)學是研究現(xiàn)實世界中的數(shù)量關系與空間形式的一門科學。隨著時間的推移，數(shù)學大大發(fā)展了，諸如事物的結構、數(shù)理邏輯等，都成為數(shù)學的研究對象；這些，似乎不能包含在上述定義中。人們在尋找數(shù)學的新“定義”。但是，要給數(shù)學下個定義，并不那么容易。至今難以有關于“數(shù)學”的、大家取得共識的“定義”。21．古今數(shù)學家的說法

（美）R·柯朗（《數(shù)學是什么》）：“數(shù)學，作為人類智慧的一種表達形式，反映生動活潑的意念，深入細致的思考，以及完美和諧的愿望，它的基礎是邏輯和直覺，分析和推理，共性和個性?！?（法）E·波萊爾：“數(shù)學是我們確切知道我們在說什么，并肯定我們說的是否對的唯一的一門科學。”（英）羅素：“數(shù)學是所有形如p蘊含q的命題的類”，而最前面的命題p是否對，卻無法判斷。因此“數(shù)學是我們永遠不知道我們在說什么，也不知道我們說的是否對的一門學科?！?1）哲學說2）符號說3）科學說4）工具說5）邏輯說6）創(chuàng)新說7）直覺說8）集合說9）結構說（關系說）10）模型說11）活動說12）精神說13）審美說14）藝術說15）萬物皆數(shù)說

2．數(shù)學的15個“定義”5

15個“定義”

來自61）哲學說2）符號說3）科學說4）工具說5）邏輯說6）創(chuàng)新說7）直覺說8）集合說9）結構說（關系說）10）模型說11）活動說12）精神說13）審美說14）藝術說15）萬物皆數(shù)說

2．數(shù)學的15個“定義”7

只解釋“哲學說”，其他請查資料

哲學說亞里士多德：“新的思想家把數(shù)學和哲學看作是相同的?！眮碜怨畔ＥD，亞里士多德、歐幾里得等人?！稁缀卧尽罚狐c是沒有部分的那種東西；線是沒有寬度的長度牛頓在《自然哲學之數(shù)學原理》的序言中說，他是把這本書“作為哲學的數(shù)學原理的著作”，“在哲學范圍內(nèi)盡量把數(shù)學問題呈現(xiàn)出來”。8

哲學是研究最廣泛的事物，數(shù)學也是研究最廣泛的事物，這是它們的共同點。但是，數(shù)學與哲學的研究對象不同，研究方法也不同。兩者雖有相似之處，但數(shù)學不是哲學的一部分，哲學也不是數(shù)學的一部分?，F(xiàn)在有人說“哲學從一門學科中退出，意味著這門學科的建立；而數(shù)學進入一門學科，就意味著這門學科的成熟。”

9

方延明：數(shù)學是研究現(xiàn)實世界中數(shù)與形之間各種形式模型的結構的一門科學。徐利治：數(shù)學是“實在世界的最一般的量與空間形式的科學，同時又作為實在世界中最具有特殊性、實踐性及多樣性的量與空間形式的科學”?；氐蕉鞲袼沟亩x：

數(shù)學是研究（現(xiàn)實世界中的）數(shù)量關系與空間形式的一門科學。

10[思]：

請你在學習“數(shù)學文化”課的過程中，始終帶著下面的問題——在學完“數(shù)學文化”課后，給出一個你自己對“數(shù)學”的定義。11

二、數(shù)學的特點

抽象性精確性應用的廣泛性

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1．抽象性

“數(shù)學抽象”的特點：第一，在數(shù)學的抽象中只保留量的關系和空間形式而舍棄了其他一切；第二，數(shù)學的抽象是一級一級逐步提高的，它們所達到的抽象程度大大超過了其它學科中的抽象；第三，數(shù)學本身幾乎全在處理抽象概念和它們的相互關系。13

2．精確性數(shù)學的精確性表現(xiàn)在數(shù)學推理的邏輯嚴格性和數(shù)學結論的確定無疑性。漢克爾說：“在大多數(shù)科學里，一代人要推倒另一代人所修筑的東西，只有數(shù)學，每一代人都能在舊建筑上增添一層新樓?！弊鳛閷φ盏娜齻€例子：

①電子管電路→半導體電路→集成電路②地心說→日心說→開普勒三定律③高溫超導的上界（朱經(jīng)武）30oK→90oK→120oK→240oK14

3．應用的廣泛性

華羅庚：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，數(shù)學無處不在。例子：①哈雷彗星的發(fā)現(xiàn)；②海王星的發(fā)現(xiàn)；③電磁波的發(fā)現(xiàn)。15

哈雷彗星的發(fā)現(xiàn)古時人們認為彗星的出現(xiàn)是不祥之兆，直到17世紀，英國天文學家哈雷開始計算彗星軌道時，發(fā)現(xiàn)1682年、1607年和1531年出現(xiàn)的彗星有相似的軌道，他判斷這三顆彗星其實是同一顆彗星，并預言它將在1758年底或1759年初再次出現(xiàn)。1759年，這顆彗星果然出現(xiàn)了。雖然哈雷已在此前的1742年逝世，但為了紀念他，這顆彗星稱為“哈雷彗星”。

哈雷彗星的回歸周期為76年，最近一次的回歸是在1986年；下一次回歸是在2062年。16海王星的發(fā)現(xiàn)這個太陽系最遠的行星（之一），

是1846年在數(shù)學計算的基礎上發(fā)現(xiàn)的。天文學家分析了天王星運動的不規(guī)律性，推斷出這是由其他行星的引力而產(chǎn)生的。勒未累計算出它應處的位置，觀察員在指定位置發(fā)現(xiàn)了該行星。航海家2號拍攝,1989.8.

17電磁波的發(fā)現(xiàn)英國物理學家麥克斯韋概括了由實驗建立起來的電磁現(xiàn)象規(guī)律，把這些規(guī)律表述為“方程的形式”，用純粹數(shù)學的方法推導出可能存在著電磁波并且這些電磁波應該以光速傳播者。據(jù)此，他提出了光的電磁理論。此外，他的結論還推動了人們?nèi)ふ壹冸娖鹪吹碾姶挪ā?/p>

24年后，德國物理學家赫茲在振蕩放電實驗中證實了電磁波的存在，不久，意大利的馬可尼和俄國人波波夫又在此基礎上獨立地發(fā)明了無線電報。從此，電磁波走進了千家萬戶。18

三、數(shù)學與其它領域的聯(lián)系

1.數(shù)學與教育

數(shù)學對于受教育者，不僅僅是學會一門課程、一門知識、更重要的是學習數(shù)學的思想、方法、精神；把數(shù)學作為成才的基本素質(zhì)要求。19

1）波利亞：“讓我們教猜想吧！”

波利亞還說：“在數(shù)學家證明一個定理之前，必須猜想到這個定理；在他完成證明的細節(jié)之前，必須先猜想出證明的主導思想?！笔聦嵣?，教育并不總是在讓學生認知，教育在很大程度上是讓學生欣賞，只有這樣，才有最佳的教育效益。202）作為數(shù)學教授的大學校長：丁石孫——北京大學蘇步青——復旦大學谷超豪——中國科大潘承洞——山東大學齊民友——武漢大學伍卓群——吉林大學侯自新——南開大學李岳生——中山大學曹策問——鄭州大學楊思明——湘潭大學展?jié)綎|大學黃達人——中山大學吳傳喜——湖北大學周明儒——徐州師大王梓坤——北師大陸善鎮(zhèn)——北師大王建磐——華東師大史寧中——東北師大路鋼——華中師大邱玉輝——西南師大王國俊——陜西師大21大學校長是綜合素質(zhì)比較好的學者；眾多大學校長都是數(shù)學教授，這也說明數(shù)學教育對人的綜合素質(zhì)的提高，影響很大。有些人把它叫做有趣的中國現(xiàn)象222）作為數(shù)學教授的大學校長：丁石孫——北京大學蘇步青——復旦大學谷超豪——中國科大潘承洞——山東大學齊民友——武漢大學伍卓群——吉林大學侯自新——南開大學李岳生——中山大學曹策問——鄭州大學楊思明——湘潭大學展?jié)綎|大學黃達人——中山大學吳傳喜——湖北大學周明儒——徐州師大王梓坤——北師大陸善鎮(zhèn)——北師大王建磐——華東師大史寧中——東北師大路鋼——華中師大邱玉輝——西南師大王國俊——陜西師大23

丁石孫：北京大學校長

丁石孫：北京大學校長（1984-1989年）全國人大常委會副委員長，民盟中央名譽主席。漢族，1927年9月生，江蘇鎮(zhèn)江人，民盟成員、中共黨員，1950年參加工作，清華大學數(shù)學系畢業(yè)，大學學歷，教授。專長:代數(shù)、數(shù)論。24

蘇步青，復旦大學校長

蘇步青：復旦大學校長（1978-1983年）

1902年生于浙江，2003年卒于上海。中國科學院院士。他是國際公認的幾何學權威，我國微分幾何學派的創(chuàng)始人。早在20年代，他的仿射不變的四次（三階）的代數(shù)錐面，被命名為蘇錐面。他的仿射微分幾何的高水平工作，至今在國際數(shù)學界仍享有很高的評價。25

谷超豪，中國科技大學校長谷超豪：中國科技大學校長簡歷：

1926年生于浙江溫州。1948年畢業(yè)于浙江大學數(shù)學系，1953年起在復旦大學任教，1957年赴前蘇聯(lián)莫斯科大學進修，獲科學博士學位。歷任復旦大學副校長和中國科技大學校長。1980年當選為中國科學院數(shù)學物理學部委員。專長偏微分方程、微分幾何和數(shù)學物理。26

潘承洞，山東大學校長潘承洞：山東大學校長（1986年-？）

1934出生，江蘇省蘇州市人。1997年12月27日在濟南病逝。中國科學院院士。1981年與其胞弟潘承彪合作編著的《哥德巴赫猜想》一書，為世界上第一本全面系統(tǒng)地論述哥德巴赫猜想研究工作的專著；1982年與王元、陳景潤共同以哥德巴赫猜想的研究成果獲國家自然科學一等獎。27

齊民友，武漢大學校長

齊民友：武漢大學校長（1988-1992年）

1930年出生，1952年畢業(yè)于武漢大學數(shù)學系，并從事偏微分方程理論的研究。武漢大學博士導師。

曾任國務院學位委員會數(shù)學組成員。中國數(shù)學會副理事長，湖北省數(shù)學會理事長。1984年起任武漢大學副校長，1988年任武漢大學校長。28

李岳生，中山大學校長

李岳生：中山大學校長（1984-1991年）

1930年1月生，中山大學教授，博士生導師。曾任中山大學校長、計算機科學系主任、數(shù)學研究所所長；國務院學位委員會第二、三屆學科評議組成員，從事常微分方程、計算數(shù)學、微分方程數(shù)值解法、樣條函數(shù)與變分方法等方面的研究。29

曹策問，鄭州大學校長

曹策問：鄭州大學校長簡歷：

1940年2月出生，湖南長沙人。1957年9月進入北京大學數(shù)學力學系數(shù)學專業(yè)學習；1963年9月在北京大學數(shù)學力學系讀研究生；1979年3月任鄭州大學數(shù)學系教師，1986年任教授；1987年2月任鄭州大學副校長；1994年起任校長；；2003年1月任政協(xié)河南省第九屆委員會副主席。專長：可積動力系統(tǒng)。30展?jié)?，山東大學校長展?jié)?，回族?963年4月出生，山東兗州人，中共黨員，理學博士，教授，博士生導師。1979年9月入山東大學數(shù)學系學習，先后獲得學士、碩士、博士學位；1987年留校任教，先后被評聘為講師、副教授、教授；1991年1月至1992年12月獲德國洪堡基金會獎勵基金，赴德國弗萊堡大學從事合作研究；1993年4月任山東大學數(shù)學系副主任；1995年3月任山東大學副校長；1996年12月任山東大學黨委

常委、副校長；2000年7月任

山東大學黨委常委、校長。31黃達人，中山大學校長黃達人，男，1945年4月生，浙江象山人。1962年至1968年就讀于浙江大學數(shù)學系。1978年至1981年在浙江大學數(shù)學系讀研究生，畢業(yè)后留校任教。1985年至1986年作為訪問學者在美國南卡羅來納大學數(shù)學系進修訪問一年。1988年任浙江大學數(shù)學系教授。曾任浙江大學數(shù)學系副主任、范歲久醫(yī)學圖像實驗室主任、教務處長、副教務長等職。1992年至1998年任浙江大學副校長。1998年11月調(diào)任中山大學常務副校長。1999年8月至今任中山大學校長。

學術研究領域為函數(shù)逼近論、小波分析、信號和圖像處理。32吳傳喜，湖北大學

吳傳喜1961年7月出生。教授，博導。北京大學數(shù)學系畢業(yè)，獲理學博士學位。2000年1月?lián)魏贝髮W校長。研究方向：現(xiàn)代微分幾何33周明儒，徐州師范大學34

王梓坤，北京師范大學校長

王梓坤：北京師范大學校長（1984-1989年）

1929年4月生,江西吉安縣人。1952年畢業(yè)于武漢大學數(shù)學系。1955年考入蘇聯(lián)莫斯科大學數(shù)學力學系做研究生，師從于數(shù)學大師A.N.Kolmogorov和R.L.Dobrushin,1952年起先后任南開大學講師、教授。1984年以來任北京師范大學教授。1984年至1989年任北京師范大學校長。1991年當選為中國科學院院士。王梓坤是我國概率論研究的先驅(qū)和主要領導者之一。35

王建磐，華東師范大學校長

王建磐：華東師范大學校長簡歷：

1949年1月2日生于福建古田縣。數(shù)學教授、博士生導師。1967年高中畢業(yè)后曾插隊農(nóng)村，當過中學民辦教師和縣劇團編劇。1978年靠自學考取華東師范大學數(shù)學系研究生，1981年獲理學碩士學位并留校工作，1982年考取本校在職博士研究生并于當年獲得理學博士學位，是我國首批18位自己培養(yǎng)的博士之一。1991年聘為教授。1997年起任華東師范大學校長。主要研究領域為代數(shù)群與量子群，在代數(shù)群的模表示和量子群的表示理論上均有重要建樹。36

史寧中，東北師范大學校長

史寧中：東北師范大學校長（1998年-）

1975年畢業(yè)于東北師范大學數(shù)學系。1982年至1989年赴日本九州大學理學部學習，先后獲得碩士、博士學位，是我國改革開放后首批公費留學的博士生。1989年回國后，任教于東北師范大學數(shù)學系。1992年起任教授。1993年被評為博士生導師。1997年當選國務院學位委員會學科評議組成員。主要從事數(shù)理統(tǒng)計研究，研究方向涉及多元分析、傘型半序約束、列聯(lián)表、凸分析等。37路鋼，華中師范大學38

侯自新，南開大學校長（1995年-2006年）侯自新教授曾任南開大學數(shù)學系主任、校長助理、副校長、研究生院院長、中國數(shù)學學會副理事長、天津市學位委員會副主任，九屆全國人民代表大會代表，天津市十四屆人民代表大會常務委員會委員?，F(xiàn)任十屆全國人民代表大會代表、中國高等院校數(shù)學研究與高等人才培養(yǎng)中心主任、中國老教授協(xié)會副會長、天津市教育發(fā)展基金會副理事長。

侯自新教授多年從事李群、李代數(shù)及齊性空間微分幾何等方面的研究與教學工作。39

2.數(shù)學與文學

1）用數(shù)學方法對作品和語言進行寫作風格分析、詞匯相關程度和句型頻譜分析

例：《紅樓夢》前80回與后40回的作者是否相同？

1980年6月，在美國威斯康辛大學召開的國際首屆《紅樓夢》研討會上，來自威斯康辛大學的華裔學者陳炳藻先生宣讀了一篇《從詞匯上的統(tǒng)計論〈紅樓夢〉的作者問題》的博士論文，引起了國際紅學界的關注和興趣。1986年，陳炳藻教授公開發(fā)表了《電腦在文學上的應用：〈紅樓夢〉與〈兒女英雄傳〉兩書作者》的專著。利用計算機對《紅樓夢》前八十回和后四十回的用字進行了測定，并從數(shù)理統(tǒng)計的觀點出發(fā)，探討《紅樓夢》前后用字的相關程度。他將《紅樓夢》的一百二十回分為三組，每組四十回。并將《兒女英雄傳》作為第四組進行比較，從每組中任意取出八萬字，分別挑出名詞，動詞，形容詞，副詞，虛詞這五種詞匯，運用數(shù)理語言學，通過計算機程序?qū)@些詞進行編排，統(tǒng)計，比較和處理，進而找出各組相關程度。結果發(fā)現(xiàn)《紅樓夢》前八十回與后四十回的詞匯相關程度達到78.57%，而《紅樓夢》與《兒女英雄傳》的詞匯相關程度是32.14%。由此他推斷出《紅樓夢》的作者為同一個人所寫的結論。這個結論是否被紅學界所結受，還存在一定的爭論。但是這種方法卻給很多人留下了深刻的印象。

《靜靜的頓河》的作者是肖洛霍夫。

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2）語言學好比一個公理化系統(tǒng)（語法好比法則和定理）

3）語音學（關于語調(diào)）的研究

計算機模擬人的語調(diào)，并繪出直觀的三維圖像，是南開大學中文系與計算機系合作的一個成果，曾獲得國家級教學成果二等獎。

其中大量用到數(shù)學。

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3.數(shù)學與史學

1）史衡學

數(shù)學的介入，使史學的研究成果更加客觀、嚴謹，較多地排除了人為因素。

2）考古對數(shù)學史的推進

1986年上海陸家咀發(fā)現(xiàn)元朝玉掛，談祥柏教授研究后發(fā)現(xiàn)，它是一個四階完全幻方。過去以為只有印度歷史上才有這種“完全幻方”。42

4.數(shù)學與哲學

1）數(shù)學中“無限”的概念、“連續(xù)”的概念，一經(jīng)出現(xiàn)，便成了哲學研究的對象。

2）“哲學從一門學科中退出，意味著這門學科的建立；而數(shù)學進入一門學科，就意味著這門學科的成熟?！?/p>

B.Demollins:“沒有數(shù)學，我們無法看透哲學的深度，沒有哲學，人們也無法看透數(shù)學的深度，而若沒有兩者，人們就什么也看不透?！?/p>

3）哲學系的“邏輯學”專業(yè)與數(shù)學系的“數(shù)理邏輯”專業(yè)。43

5.數(shù)學與經(jīng)濟

1）普遍運用數(shù)學，建立經(jīng)濟模型

2）獲諾貝爾經(jīng)濟學獎的學者中，數(shù)學家出身的和有數(shù)學背景的人占一半以上。

6.數(shù)學與社會學

1）定量社會學、實證社會學已經(jīng)形成了一套邏輯嚴密的研究模式

2）“社會科學的許多重要領域已經(jīng)發(fā)展到不懂數(shù)學的人望塵莫及的階段。”44

7.數(shù)學與工程技術

1）“1991年的海灣戰(zhàn)爭就是信息戰(zhàn)爭、數(shù)學戰(zhàn)爭”

2）數(shù)學與工程技術的相互滲透，非常廣泛、深刻。

2000年是聯(lián)合國宣布的“世界數(shù)學年”，聯(lián)合國教科文組織指出：“純粹數(shù)學與應用數(shù)學是理解世界及其發(fā)展的一把主要鑰匙。”45第二節(jié)數(shù)學發(fā)展簡史數(shù)學發(fā)展史大致可以分為四個階段。

一、數(shù)學形成時期二、常量數(shù)學時期

三、變量數(shù)學時期四、現(xiàn)代數(shù)學時期46一、數(shù)學形成時期

（遠古——公元前5世紀）建立自然數(shù)的概念，認識簡單的幾何圖形；算術與幾何尚未分開。47484950

當對數(shù)的認識變得越來越明確時，人們感到有必要以某種方式來表達事物的這一屬性，于是導致了記數(shù)。人類現(xiàn)在主要采用十進制，與“人的手指共有十個”有關。而記數(shù)也是伴隨著計數(shù)的發(fā)展而發(fā)展的。

51捷克摩拉維亞狼骨（約三萬年前）

52萊茵德紙草書(1650B.C.)53莫斯科紙草書5455

二、常量數(shù)學時期

（前5世紀——公元17世紀）

也稱初等數(shù)學時期，形成了初等數(shù)學的主要分支：算術、幾何、代數(shù)、三角。該時期的基本成果，構成現(xiàn)在中學數(shù)學的主要內(nèi)容。

561．古希臘

（前5世紀——公元6世紀）

畢達哥拉斯——“萬物皆數(shù)”歐幾里得——《幾何原本》

阿基米德——面積、體積阿波羅尼奧斯——《圓錐曲線論》

托勒密——三角學丟番圖——不定方程57畢達哥拉斯(公元前580年～公元前500年)58TheSchoolofAthensbyRaphael59柏拉圖與亞里士多德倡導邏輯演繹的結構60雅典學派61歐幾里得(Euclid,公元前330年～前275年)62阿基米德(Archimedes，約公元前287～212)6364阿波羅尼奧斯（約公元前262－前190）

65

2．東方

（公元2世紀——15世紀）

1）中國西漢（前2世紀）

——《周髀算經(jīng)》、《九章算術》

魏晉南北朝（公元3世紀——5世紀）

——劉徽、祖沖之出入相補原理，割圓術，算

6667劉徽（約公元3世紀）割圓術68祖沖之（公元429-500年）69

宋元時期（公元10世紀——14世紀）宋元四大家——楊輝、秦九韶、李冶、朱世杰天元術、正負開方術——高次方程數(shù)值求解；大衍總數(shù)術——一次同余式組求解70楊輝71秦九韶程序72秦九韶的《數(shù)書九章》“賈憲三角”，

卷一“大衍總數(shù)術”也稱“楊輝三角”73朱世杰的《四元玉鑒》

四元高次方程組，（天、地、人、物——x、y、z、w）74

2）印度

現(xiàn)代記數(shù)法（公元8世紀）——印度數(shù)碼，有0，負數(shù)；十進制（后經(jīng)阿拉伯傳入歐洲，也稱阿拉伯記數(shù)法）數(shù)學與天文學交織在一起阿耶波多——《阿耶波多歷數(shù)書》（公元499年）開創(chuàng)弧度制度量婆羅摩笈多——《婆羅摩修正體系》、《肯特卡迪亞格》代數(shù)成就可貴 婆什迦羅——《莉拉沃蒂》、《算法本源》（12世紀）算術、代數(shù)、組合學75

3）阿拉伯國家（公元8世紀——15世紀）

花拉子米——《代數(shù)學》曾長期作為歐洲的數(shù)學課本，“代數(shù)”一詞，即起源于此；阿拉伯語原意是“還原”，即“移項”；此后，代數(shù)學的內(nèi)容，主要是解方程。阿布爾．維法奧馬爾．海亞姆阿拉伯學者在吸收、融匯、保存古希臘、印度和中國數(shù)學成果的基礎上，又有他們自己的創(chuàng)造，使阿拉伯數(shù)學對歐洲文藝復興時期數(shù)學的崛起，作了很好的學術準備。

76花拉子米當時阿拉伯天文學家和數(shù)學家工作的情景77

3．歐洲文藝復興時期

（公元16世紀——17世紀）

1）方程與符號

意大利－塔塔利亞、卡爾丹、費拉里

三次方程的求根公式法國－韋達

引入符號系統(tǒng)，代數(shù)成為獨立的學科

78“算法家”與“算盤家”的比賽韋達79

2）透視與射影幾何

畫家－布努雷契、柯爾比、迪勒、達．芬奇數(shù)學家－阿爾貝蒂、德沙格、帕斯卡、拉伊爾

3）對數(shù)

簡化天文、航海方面煩雜計算，希望把乘除轉化為加減。英國數(shù)學家－納皮爾80中世紀油畫81文藝復興時代的油畫82英國畫家柯爾比<泰勒博士透視方法淺說>(1754)

卷首插圖（違反透視原理）83

三、變量數(shù)學時期

（公元17世紀——19世紀）

家庭手工業(yè)、作坊→→工場手工業(yè)→→機器大工業(yè)對運動和變化的研究成了自然科學