簡單曲線的極坐標(biāo)方程

三[學(xué)習(xí)目標(biāo)] 1.了解極坐標(biāo)方程的意義.2.掌握直線和圓的極坐標(biāo)方程.3.能夠根據(jù)極坐標(biāo)方程研究有關(guān)數(shù)學(xué)問題.[知識答 (1,0)1的圓答 (1)曲線C上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f(x，y)＝0的解(2)f(x，y)＝0C上[預(yù)習(xí)導(dǎo)引rρ＝2rcos 圓心為 π，半徑為r的ρ＝2rsinαρcos 過點(diǎn) ρsin要點(diǎn) 圓的極坐標(biāo)方

例 在極坐標(biāo)系中，求半徑為r，圓心為C，2的圓的極坐標(biāo)方程 O，A以外的任意一點(diǎn)，則|OA|＝2r，連接AM，則OM⊥MA，Rt△OAM ρ＝2rcos2－θ，∴ρ＝－2rsin O(0,0)，A2的坐標(biāo)滿足上式ρ＝－2rsin 求軌跡方程時(shí)，我們常在三角形中利用正弦、余弦定義找到變量ρ，θ的關(guān)系.演練 在圓心的極坐標(biāo)為A(4,0)，半徑為4的圓中，求過極點(diǎn)O的弦的中點(diǎn)的軌跡 設(shè)M(ρ，θ)是軌跡上任意一點(diǎn).連接OM并延長交圓A于點(diǎn)P(ρ0，θ0)，則有θ0＝θ，ρ0＝2ρ.由圓心為(4,0)4ρ＝8cosθ，ρ0＝8cosθ0.2ρ＝8cosθ，ρ＝4cosρ＝4cosθ.它表示以(2,0)為圓心，2為半徑的圓要點(diǎn) 射線或直線的極坐標(biāo)方例 方法 如圖

π

44

在△OAM中，由正弦定理得 ρ

4sin sin4 2∴ρsin4－θ＝2 2

4cosθ－cos4sinθ)＝2ρ(cosθ－sin所以滿足條件的直線的極坐標(biāo)方程為ρ(cosθsinθ＝1

π≥0)和

θ<4 方法 ＝y(tǒng)＝ρsinθ，x＝ρcosθρsinθ＝ρcos∴ρ(cosθ－sin

π

4規(guī)律方法ρ，θ為未知數(shù)的方程；二先求出直線的直角坐標(biāo)方演練 求過

如圖所示，在直線l上任意取點(diǎn)

∴|MH|＝2·sin Rt△OMH中，|MH|＝|OM|sinθρsinθ＝

，4ρsinθ＝2要點(diǎn) 直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互例 (3)ρcosθ＝2；(4)ρ＝2cosθ；(5)ρ2cos (1)將x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x＋y＝0得ρcosθ＋ρsinθ＝0，∴ρ(cosθ＋sinθ)＝0，∴tan ＝4(ρ≥0)θ＝4x＋y＝0 ＝4(ρ≥0)θ＝4x＝ρcosθ，y＝ρsinθx2＋y2＋2ax＝0ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ＋2aρcosρ(ρ＋2acosθ)＝0，∴ρ＝－2acosρ＝－2acosθ.∵ρcos∵ρ＝2cosθ，∴ρ2＝2ρcos∵ρ2cos2θ＝2，∴ρ2(cos2θ－sin2θ)＝2，ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝2，∴x2－y2＝2.規(guī)律方法在實(shí)踐中，由于問題的需要和研究的方便，常需把這兩種坐標(biāo)進(jìn)行換算，我們有必要掌握這兩種坐標(biāo)間的互化.在解這類題時(shí)，除正確使用互化外，還要注意與三角恒等變換等知識相結(jié)合.ρ≥0.演練 (2)ρ＝2asinθ化為直角坐標(biāo)方程 ＝3 (1)直接代入互化，ρ2cos2θ－ρ2sin2∴ρ2cos2θ＝a2，這就是所求的極坐標(biāo)方程(2)ρρ2＝2a·ρsin(3)tan 3y＝要點(diǎn) 求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方例4 點(diǎn)P，使|OM|·|OP|＝12.(1)P(2)RlRP的最小值 (1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(ρ，θ)，則點(diǎn)M為(ρ0，θ).ρρρ∵M(jìn)ρcosθ＝4上，∴ρ0cosθ＝4.即12cosθ＝4，ρ＝3cosθ(ρ＞0)P的軌跡方程.ρ(2)Pρ＝3cosθ＝ 2·2cos P的軌跡是圓心為2，0，半徑為2的圓(去掉極點(diǎn)l：ρcosθ＝4過點(diǎn)(4,0)RlRP (1)直線l：ρcosθ＝4的直角坐標(biāo)方程為x＝4，設(shè)點(diǎn)P(x，y)為軌跡上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M(4，y0)，由→∥→得 4y ＝x 2

∴(x＋y)16＋x2P的軌跡的直角坐標(biāo)方程 (2)P的軌跡是圓心為2，0，半徑為2的圓(去掉原點(diǎn)Rl：x＝4RP 演練 在極坐標(biāo)系中，已知圓C的圓心(1)C

(2)QC上運(yùn)動(dòng)，POQ的延長線上，且＝P的軌跡方程 (1)設(shè)M(ρ，θ)是圓C上任意一點(diǎn)在△OCM

由余弦定理得

∴3＝ρ＋3－2×3×ρcos

(2)Q為(ρ1，θ1)P為由 ∴→2

ρ1＝6cos1－3的方程得

A.ρ＝2sin B.ρ＝－2sinC.ρ＝2cos D.ρ＝－2cos答 解 方法 如圖所示，圓心為(1π，且過極點(diǎn)的圓的半徑為r＝1，設(shè)P的極坐標(biāo)為 ρ＝2rcos－2＝2cos(2－θ)＝2sin 方法

2.極坐標(biāo)方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的圖形是() 答案解 由(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)得，ρ＝1或θ＝π，其中ρ＝1表示以極點(diǎn)為圓心，半徑為的圓，θ＝πOx反向的射線在極坐標(biāo)系中，極點(diǎn)到直線ρcosθ＝2的距離 答案 由ρcosθ＝2得x＝2.所以原點(diǎn)到直線x＝2的距離為2.即極點(diǎn)到直線ρcosθ＝2的距離為2.

，35的圓的極坐標(biāo)方程 在圓上任取一點(diǎn)P(ρ，θ)，那么，在△AOP中

2×8·ρ ρ－16ρcos－3＋39＝0為所求圓的極坐標(biāo)方程＋θ)都表示同一點(diǎn)的坐標(biāo)，這與點(diǎn)的直角坐標(biāo)的惟一性明顯不同.所以對于曲線上的點(diǎn)的極.

M4，4可以表示為4，4＋2π或4，4－2π或－44 極坐標(biāo)方程ρ＝sinθ＋2cosθ表示的曲線為 由ρ＝sinθ＋2cosθ，得ρ2＝ρsinθ＋2ρcos∴x2＋y2＝y(tǒng)＋2x，即x2＋y2－2x－y＝0，表示圓．3．在極坐標(biāo)系中，方程ρ＝6cosθ表示的曲線是( A．以點(diǎn)(－3,0)為圓心，3為半徑的圓

，2為圓心，3解析：選C 由ρ＝6cosθ得ρ2＝6ρcosθ，即x2＋y2－6x＝0，表示以(3,0)為圓心，半徑為3的圓．

r2＝ρ2＋ρ2－2ρρcos(θ－θ) 解析：x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入，得ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ－4ρsinθ＝0ρ＝4sinθ.答案：ρ＝4sinθ已知圓的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cosθ－23sinθ，θ∈[0，2π)，則圓心的極坐標(biāo)是 ρ＝2cosθ－23sin

＝4cos＋3－2π＝4cosθ－3

，3

，3

解析：ρ＝4cosθρ2＝4ρcosθ，x2＋y2＝4x，

，3P的極坐標(biāo)為

，3P的直角坐標(biāo)為(2,2 2－22＋23－02＝2332＋2cos求極坐標(biāo)方程ρ＝ 2＋2cos 21＋cos

1－cos2θ 1－cos化簡，得ρ＝2＋ρcosθ.將互化代入，x2＋y2＝(2＋x)2.

Q θ＝θ