2022-2023學(xué)年河北省承德市重點(diǎn)高中高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年河北省承德市重點(diǎn)高中高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法法則，再結(jié)合虛部的概念即可得到答案．【詳解】由，則，所以的虛部為．故選：A．2．下列說法中不正確的是（

）A．零向量與任一向量平行 B．方向相反的兩個(gè)非零向量不一定共線C．單位向量是模為1的向量 D．方向相反的兩個(gè)非零向量必不相等【答案】B【分析】根據(jù)向量的定義、共線向量、相等向量的定義求解.【詳解】根據(jù)規(guī)定：零向量與任一向量平行，A正確；方向相反的兩個(gè)非零向量一定共線，B錯(cuò)誤；單位向量是模為1的向量，C正確；根據(jù)相等向量的定義：長(zhǎng)度相等方向相同的兩個(gè)向量稱為相等向量，所以方向相反的兩個(gè)非零向量必不相等，D正確；故選:B.3．在中，若，則（

）A． B．16 C．9 D．0【答案】B【分析】根據(jù)題意得到，再根據(jù)數(shù)量積和向量的加法法則即可求解．【詳解】由，則，所以，所以．故選：B．4．若，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)角的范圍，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系式，利用兩角和的余弦公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所?故選：D.5．在中，角所對(duì)的邊分別為，若，，，則此三角形解的情況為（

）A．無解 B．有兩解 C．有一解 D．有無數(shù)解【答案】C【分析】利用正弦定理可得，由的取值范圍可求得的范圍，結(jié)合大邊對(duì)大角可知為銳角的一個(gè)，由此可得結(jié)果.【詳解】由正弦定理得：，，，則，，，，只能為銳角的一個(gè)值，只有一個(gè)解.故選：C.6．已知的三邊長(zhǎng)分別為，，，且最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍，則最小內(nèi)角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)的最小內(nèi)角為，利用正弦定理得到，再利用余弦定理得到，進(jìn)而即可求解．【詳解】設(shè)的最小內(nèi)角為，由正弦定理得，整理得，又余弦定理得，所以，解得，則．故選：B．7．已知點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若非零向量與向量共線，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】計(jì)算得出，可得出，即可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，所以與垂直，因?yàn)榕c共線，所以，則.故ABC均無法判斷，D對(duì).故選：D.8．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象，若在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)輔助角公式和圖象的平移變換得到，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，然后根據(jù)條件給出的區(qū)間建立不等式關(guān)系進(jìn)行求解即可．【詳解】由，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象，則，由，，得，又在上單調(diào)遞增，則，，解得，即，又，則當(dāng)時(shí)，，即的取值范圍是．故選：C．二、多選題9．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則（

）A．為實(shí)數(shù) B．為實(shí)數(shù)C．為實(shí)數(shù) D．為實(shí)數(shù)【答案】ACD【分析】根據(jù)題意，設(shè)且，得到，結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】因?yàn)闉榧兲摂?shù)，設(shè)且，則，由，所以A正確；由，所以B錯(cuò)誤；由為實(shí)數(shù)，所以C正確；由為實(shí)數(shù)，所以D正確.故選：ACD.10．已知函數(shù)，則下列關(guān)于函數(shù)的圖象與性質(zhì)的敘述中，正確的有（

）A．函數(shù)的最小正周期為B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D．【答案】ABC【分析】根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)畫出圖象，即可判斷A、B、C的正誤，由正切函數(shù)及誘導(dǎo)公式求判斷D.【詳解】函數(shù)的大致圖象，如下圖示，由上圖象，易知：最小正周期為、上單調(diào)遞增、圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故A，B，C正確，又，所以，故D錯(cuò)誤．故選：ABC.11．已知非零向量，滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，共線，則B．若，則C．若，則D．【答案】BD【分析】當(dāng)，同向時(shí)即可判斷A；根據(jù)，有，再對(duì)兩邊平方即可判斷B；根據(jù)，求解即可判斷C；對(duì)兩邊平方，再結(jié)合基本不等式，絕對(duì)值不等式即可判斷D．【詳解】對(duì)于A，由，，所以當(dāng)，同向時(shí)，，此時(shí)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則，，兩邊平方得，故B正確；對(duì)于C，由，所以，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，得，故D正確．故選：BD．12．在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．a(chǎn)>c C．c>a D．【答案】ACD【分析】利用正弦邊角關(guān)系可得，結(jié)合余弦定理及銳角三角形知、判斷A、B、C正誤；再由正弦邊角關(guān)系得，應(yīng)用倍角公式得，注意，即可得范圍判斷D正誤.【詳解】由正弦邊角關(guān)系知：，則，所以，而，則，A正確；由上知：，即，B錯(cuò)誤，C正確；由知：，則，又，故，則，即，D正確.故選：ACD三、填空題13．計(jì)算：___________.【答案】【分析】由復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，進(jìn)而求模即可.【詳解】.故答案為：14．已知，向量在上的投影向量為，則__________.【答案】【分析】設(shè)向量的夾角為，根據(jù)投影向量的概念，再結(jié)合數(shù)量積的概念即可求解．【詳解】設(shè)向量的夾角為，由在方向上的投影向量為，則，即，所以．故答案為：．15．已知某扇形材料的面積為，圓心角為，則用此材料切割出的面積最大的圓的周長(zhǎng)為______.【答案】【分析】根據(jù)條件求出扇形半徑，設(shè)割出的圓半徑為，圓心為，由求得，從而求得的周長(zhǎng).【詳解】設(shè)扇形所在圓半徑為，∴如圖：設(shè)割出的圓半徑為，圓心為，∴,，故，所以最大的圓周長(zhǎng)為.故答案為：16．記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若為的重心，，，則__________．【答案】【分析】根據(jù)及余弦定理建立方程得出，再由余弦定理求解即可．【詳解】連接，延長(zhǎng)交于，由題意得為的中點(diǎn)，，所以，，因?yàn)?，所以，得，又，則，故．故答案為：．四、解答題17．已知虛數(shù)z滿足.(1)求證：在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線上；(2)若是方程的一個(gè)根，求與.【答案】(1)證明見解析(2)，【分析】（1）由題設(shè)可得，應(yīng)用代數(shù)運(yùn)算化簡(jiǎn)并確定點(diǎn)坐標(biāo)，即可證結(jié)論；（2）將復(fù)數(shù)代入方程求參數(shù)即可.【詳解】（1）設(shè)，由，則，所以，所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在直線上.（2）同（1）設(shè)復(fù)數(shù)，因?yàn)閦是方程的一個(gè)根，所以，即，所以且，得，因?yàn)?，所以，把代入得：，所以?18．已知函數(shù)的圖象的一部分如圖所示.（1）求函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最值.【答案】（1）；（2）最小值；最大值.【分析】（1）由函數(shù)的圖象，求得，，得到，再由，求得，即可得到函數(shù)的解析式；（2）化簡(jiǎn)得到函數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）由函數(shù)的圖象，可得，，即，所以，可得，又因?yàn)椋?，可得，又由，所以，所以函?shù)的解析式為.（2）由題意，函數(shù).因?yàn)?，所以，所以?dāng)，即時(shí)，取最小值；當(dāng)，即時(shí)，取最大值.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用三角函數(shù)的圖象求解函數(shù)的解析式，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，其中解答中熟練應(yīng)用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力.19．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，向量，且.(1)求角A；(2)若的周長(zhǎng)為，且外接圓的半徑為1，判斷的形狀，并求的面積.【答案】(1)(2)等邊三角形，【分析】（1）由，可得，后由正弦定理結(jié)合即可得答案；（2）由（1），的周長(zhǎng)為，且外接圓的半徑為1，可得，后由余弦定理可得，解出b,c即可得答案.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，?由正弦定理得，因?yàn)椋?因?yàn)?，所以，所?因?yàn)椋?（2）設(shè)外接圓的半徑為，則.由正弦定理，得.因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為，所以.由余弦定理，得，即，所以.則.所以為等邊三角形，的面積.20．已知向量，滿足，，．(1)求向量與的夾角；(2)求．【答案】(1)(2)【分析】（1）由，，解得，再由向量的數(shù)量積，即可得出答案．（2），由向量的數(shù)量積，即可得出答案．【詳解】（1）解：因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，解得．而，所以，又，所以．?）解：因?yàn)椋?，所以，所以?1．2023年的春節(jié)，人們積蓄已久的出行熱情似乎在這一刻被引爆，讓旅游業(yè)終于迎來真正意義上的“觸底反彈”.如圖是某旅游景區(qū)中的網(wǎng)紅景點(diǎn)的路線圖，景點(diǎn)A處下山至處有兩種路徑：一種是從A沿直線步行到，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到.現(xiàn)有甲?乙兩位游客從A處下山，甲沿勻速步行，速度為.在甲出發(fā)后，乙從A乘纜車到B，在B處停留后，再?gòu)腂勻速步行到.假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)行的速度為，索道長(zhǎng)為，經(jīng)測(cè)量，.(1)求山路的長(zhǎng)；(2)乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí)，甲?乙兩游客距離最短【分析】（1）利用，可得，后由正弦定理可得答案；（2）假設(shè)乙出發(fā)分鐘后，甲在D點(diǎn)，乙在E點(diǎn).由圖，題意，余弦定理可得，即可得答案.【詳解】（1）在中，因?yàn)?，所?從而.由正弦定理，得.所以山路的長(zhǎng)為；（2）假設(shè)乙出發(fā)分鐘后，甲在D點(diǎn)，乙在E點(diǎn).此時(shí)，，，所以由余弦定理得.因?yàn)椋?，故?dāng)時(shí)，甲?乙兩游客距離最短.22．已知圓的半徑為2，圓與正的各邊相切，動(dòng)點(diǎn)在圓上，點(diǎn)滿足.(1)求的值；(2)若存在，使得，求的最大值.【答案】(1)51(2)5【分析】（1）方法1，由題可得O為正三角形中心，則，，又由，可得，后注意到即可得答案；方法2，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線為軸，過點(diǎn)與直線垂直的直線為軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，則可得，化簡(jiǎn)后可得答案；（2）方法1，由，可得，平方后結(jié)合（1）可得，后由基本不等式可將其化為，即可得答案；方法2，由（1）結(jié)合，可得，則.