2022-2023學(xué)年江西省鷹潭市貴溪市高二年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年江西省鷹潭市貴溪市高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．小李年初向銀行貸款萬元用于購(gòu)房，購(gòu)房貸款的年利率為，按復(fù)利計(jì)算，并從借款后次年年初開始?xì)w還，分次等額還清，每年次，問每年應(yīng)還（）萬元.A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)出每年應(yīng)還款的數(shù)額，分別求出10年還款的現(xiàn)金與利息和以及銀行貸款10年后的本利和，列等式后求得每年應(yīng)還款數(shù)．【詳解】設(shè)每年應(yīng)還萬元，則有，得，解得．故選：B．2．函數(shù)在上單調(diào)遞增，則k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由于函數(shù)在給定區(qū)間上單調(diào)遞增，故恒成立.【詳解】由題意可得，，，，.故選：A3．設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)等差數(shù)列片斷和的性質(zhì)得出、、、成等差數(shù)列，并將和都用表示，可得出的值．【詳解】若數(shù)列為等差數(shù)列，則也成等差數(shù)列，因?yàn)椋?，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，則，所以，所以.故選：A．4．某地病毒爆發(fā)，全省支援，需要從我市某醫(yī)院某科室的名男醫(yī)生(含一名主任醫(yī)師)?名女醫(yī)生(含一名主任醫(yī)師)中分別選派名男醫(yī)生和名女醫(yī)生，則在有一名主任醫(yī)師被選派的條件下，兩名主任醫(yī)師都被選派的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)事件A表示“有一名主任醫(yī)師被選派”，事件B表示“兩名主任醫(yī)師都被選派”，則由題意可知所求為，代入條件概率的公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)事件A表示“有一名主任醫(yī)師被選派”，事件B表示“兩名主任醫(yī)師都被選派”，則“在有一名主任醫(yī)師被選派的條件下，兩名主任醫(yī)師都被選派”的概率為.故選：A.5．如圖所示為一正態(tài)曲線，為方程的正根，若用區(qū)間內(nèi)的概率作為某次高二年級(jí)800人參加數(shù)學(xué)考試的優(yōu)秀率，則優(yōu)秀人數(shù)為（

）（取整數(shù)，只舍不入）（附：，，）A．36 B．72 C．126 D．254【答案】C【分析】解方程求出，由圖可知，，根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性可得優(yōu)秀率，從而可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)榈恼鶠?，所以，由圖可知，，由可得，所以,所以優(yōu)秀人數(shù)為，故選：C6．若是函數(shù)的極值點(diǎn)，則方程在的不同實(shí)根個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】首先根據(jù)極值點(diǎn)為1，求得，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，判斷實(shí)根個(gè)數(shù).【詳解】由，得則函數(shù)在，單調(diào)遞增，,函數(shù)與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為個(gè).故選：A7．已知是圓的直徑，點(diǎn)P是圓的圓心，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．0【答案】D【分析】運(yùn)用向量加減運(yùn)算和數(shù)量積的性質(zhì)，可得，再結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式即可求解．【詳解】由點(diǎn)P是圓的圓心，則點(diǎn)P為直線上的任意一點(diǎn)，又，所以當(dāng)最小時(shí)，的取值最小，所以的最小值是圓心到直線的距離，即，所以．故選：D．8．已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)正四棱錐的高為，由球的截面性質(zhì)列方程求出正四棱錐的底面邊長(zhǎng)與高的關(guān)系，由此確定正四棱錐體積的取值范圍.【詳解】∵球的體積為，所以球的半徑,[方法一]：導(dǎo)數(shù)法設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，高為，則，,所以，所以正四棱錐的體積，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，正四棱錐的體積取最大值，最大值為，又時(shí)，，時(shí)，,所以正四棱錐的體積的最小值為，所以該正四棱錐體積的取值范圍是.故選：C.[方法二]：基本不等式法由方法一故所以當(dāng)且僅當(dāng)取到，當(dāng)時(shí)，得，則當(dāng)時(shí)，球心在正四棱錐高線上，此時(shí)，，正四棱錐體積，故該正四棱錐體積的取值范圍是二、多選題9．（多選題）已知等比數(shù)列的公比，等差數(shù)列的首項(xiàng)，若且，則以下結(jié)論正確的有（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)等比數(shù)列的公比，可知，A正確；由于不確定和的正負(fù)，所以不能確定和的大小關(guān)系；根據(jù)題意可知等差數(shù)列的公差為負(fù)，所以可判斷出C不正確，D正確．【詳解】對(duì)A，等比數(shù)列的公比，和異號(hào)，，故A正確；對(duì)B，因?yàn)椴淮_定和的正負(fù)，所以不能確定和的大小關(guān)系，故B不正確；對(duì)CD，和異號(hào)，且且，和中至少有一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，又，，故D正確，一定是負(fù)數(shù)，即，故C不正確.故選：AD.10．二項(xiàng)式的展開式中第項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，則（）A． B．C．二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第項(xiàng) D．系數(shù)最小的項(xiàng)為第項(xiàng)【答案】ACD【分析】由二項(xiàng)式定理可得，由指數(shù)部分為0可得的值，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可判斷CD.【詳解】二項(xiàng)式的展開式中第項(xiàng)，令，得，即A正確，B錯(cuò)誤；因?yàn)檎归_式的項(xiàng)共有項(xiàng)，故第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，故C正確；則展開式的通項(xiàng)為，因?yàn)檎归_式的系數(shù)為，第項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)數(shù)，且其絕對(duì)值最大，所以系數(shù)最小的項(xiàng)為第項(xiàng)．故選：ACD．11．下列求導(dǎo)正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】BC【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式及導(dǎo)數(shù)的加法法則求出即可.【詳解】，A錯(cuò)誤；，B正確；，C正確；，D錯(cuò)誤.故選：BC.12．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，函數(shù)對(duì)于任意的滿足(其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù))，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)已知條件，易得函數(shù)偶函數(shù)，再結(jié)合，構(gòu)造函數(shù)，只需判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可做出正確選擇.【詳解】由，得，令，，則，因，則，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，因函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，知函數(shù)偶函數(shù)，故函數(shù)也為偶函數(shù).對(duì)于選項(xiàng)A，因，則，故，因此A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，因，則，故，因此B錯(cuò)；對(duì)于選項(xiàng)C，因，則，故，因此C錯(cuò)；對(duì)于選項(xiàng)D，因，則，故，因此D正確.故選：AD.【點(diǎn)睛】函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應(yīng)用貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.某些數(shù)學(xué)問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的作用.因此對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據(jù)題目的特點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡(jiǎn)潔明快的思路，有著非凡的功效.三、填空題13．已知，求_____________.【答案】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義即可求解.【詳解】，所以，故答案為：.14．電報(bào)發(fā)射臺(tái)發(fā)出“·”和“–”的比例為5∶3，由于干擾，傳送“·”時(shí)失真的概率為，傳送“–”時(shí)失真的概率為，則接受臺(tái)收到“·”時(shí)發(fā)出信號(hào)恰是“·”的概率為________.【答案】【分析】求出接收到“·”，再求出發(fā)出“·”且收到“·”的概率，由條件概率公式計(jì)算可得結(jié)論．【詳解】記事件為接收到“·”，事件為發(fā)出“·”且接收到“·”．則事件則接受臺(tái)收到“·”時(shí)發(fā)出信號(hào)恰是“·”為，則，，，故答案為：．15．已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的前n項(xiàng)和______.【答案】【分析】由得，得出數(shù)列是以3為公比的等比數(shù)列，其中首項(xiàng)，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得，從而可得，再運(yùn)用分組求和可得.【詳解】由得，所以數(shù)列是以3為公比的等比數(shù)列，其中首項(xiàng)，所以，所以，所以，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)數(shù)列的遞推式構(gòu)造新數(shù)列，使所構(gòu)造的新數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列，從而得原數(shù)列的通項(xiàng)公式的問題，屬于中檔題.16．已知是定義在上的奇函數(shù)，，且當(dāng)時(shí)，則不等式的解集是______.【答案】【解析】設(shè)，則為偶函數(shù)，由，則在是上單調(diào)遞增，在是上單調(diào)遞減，設(shè)，即求解，分和兩種情況解不等式和.【詳解】設(shè)，由當(dāng)時(shí)，即，所以在是上單調(diào)遞增.為奇函數(shù)，則為偶函數(shù)，在是上單調(diào)遞減,即（）設(shè)，當(dāng)時(shí)，，即由，為奇函數(shù)，則，所以由在是上單調(diào)遞增，，所以，即，所以當(dāng)時(shí)，，即由，則，根據(jù)在是上單調(diào)遞減所以當(dāng)時(shí)，則，即，所以綜上所述：不等式的解集是：故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查構(gòu)造函數(shù)討論單調(diào)性解不等式，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，由結(jié)合條件和奇偶性得出其單調(diào)性，屬于中檔題.四、解答題17．已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且是4與的等比中項(xiàng).（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【分析】（1）由題意得：，①,當(dāng)時(shí)，.②，①－②得.可得數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的解法可求得；（2），則可得，可求得答案.【詳解】（1）由題意得：，①,當(dāng)時(shí)，.②，①－②得.∵，∴，當(dāng)時(shí)，，，∴是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，∴.（2），設(shè)，∴.【點(diǎn)睛】本題考查由數(shù)列的前項(xiàng)的和求數(shù)列的通項(xiàng)，裂項(xiàng)求和法求數(shù)列的和，關(guān)鍵在于先將式子進(jìn)行處理，然后再將整個(gè)式子按裂項(xiàng)相減法的步驟化簡(jiǎn)即可得到結(jié)果，需要注意的是裂項(xiàng)之后還剩哪些項(xiàng)，搞清楚，屬于中檔題.18．設(shè)函數(shù)．(1)求函數(shù)在處的切線方程；(2)求函數(shù)的極值．【答案】(1)x+y=0；(2)的極大值為，極小值為.【分析】(1)對(duì)求導(dǎo)得，求出，由直線點(diǎn)斜式方程寫出切線方程即得；(2)求出方程＝0的根，并討論大于或小于0的x取值區(qū)間，由此判斷極值情況，再求解而得.【詳解】(1)由得，，過點(diǎn)(0,0)，斜率為-1的直線為y=-x，所以函數(shù)在處的切線方程為x+y=0；(2)由(1)知，＝0時(shí)，，或時(shí)，時(shí)，，所以x=-1時(shí)，取得極大值，x=ln2時(shí)，取得極小值，故的極大值為，極小值為.【點(diǎn)睛】可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處取得極值的充要條件是f′(x0)=0，且在x0左側(cè)與右側(cè)f′(x)的符號(hào)不同.19．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的動(dòng)直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，當(dāng)在上時(shí)，直線的斜率為.（1）求拋物線的方程；（2）在線段上取點(diǎn)，滿足，，證明：點(diǎn)總在定直線上.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）利用直線的斜率列方程，化簡(jiǎn)求得，由此求得拋物線方程.（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線的方程和拋物線方程，化簡(jiǎn)寫出根與系數(shù)關(guān)系.利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算建立中的關(guān)系式，由此求得點(diǎn)所在定直線方程.【詳解】（1）由題意，得，則，解得，故拋物線的方程為.（2）證明：設(shè)，，，直線的方程為.由得，，.由，，得，，故，化簡(jiǎn)得.又，故，化簡(jiǎn)得，即，則或.當(dāng)點(diǎn)在定直線上時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，與題意不符.故點(diǎn)在定直線上.【點(diǎn)睛】在解析幾何中的向量運(yùn)算，可用來建立方程，通過化簡(jiǎn)方程來進(jìn)行解題.20．如圖，四棱錐中，底面ABCD為菱形，平面ABCD，E為PD中點(diǎn).(1)平面平面.(2)設(shè)，，三棱錐的體積為，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)定理及判定定理證明平面PAC，從而證明面面垂直；（2）結(jié)合菱形性質(zhì)及線面垂直性質(zhì)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面AEC與平面DAE的法向量，根據(jù)空間向量夾角余弦公式，可得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以，因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，所以，又，AC，平面PAC，所以平面PAC，因?yàn)槠矫鍮PD，所以平面平面；（2）設(shè)菱形ABCD的邊長(zhǎng)為a，因?yàn)槠矫鍭BCD，四邊形ABCD為菱形，且，所以，又，所以，解得，取BC中點(diǎn)M，連接AM，由條件得，因?yàn)槠矫鍭BCD，AM、AD在平面ABCD內(nèi)，所以，，所以，AD，AP兩兩互相垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AM，AD，AP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，設(shè)平面AEC的法向量為，則，即，取，得，易知平面ADE的一個(gè)法向量，設(shè)二面角的平面角為，由圖可知，則，所以二面角的余弦值為21．已知函數(shù)f（x）＝（x﹣1）ex+ax2（a∈R）．（1）若a＝e，求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．【答案】（1）3ex﹣y﹣2e＝0（2）①當(dāng)a≥0時(shí)，y＝f（x）在（﹣∞，0）上為減函數(shù)，在（0，+∞）上為增函數(shù)；②當(dāng)時(shí)y＝f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a）），（0，+∞）上為增函數(shù)，在（ln（﹣2a），0）上為減函數(shù)；③若時(shí)，y＝f（x）在上為單調(diào)遞增的；④若時(shí)，y＝f（x）在（﹣∞，0），（ln（﹣2a），+∞）上為增函數(shù)，在（0，ln（﹣2a））上為減函數(shù)．【分析】（1）由a＝e得f（x）＝（x﹣1）ex+ex2．再＝xex+2ex，分別求得，f（1），用點(diǎn)斜式寫出切線方程.．（2）根據(jù)＝x（ex+2a），分a≥0，，，四種情況分類討論.【詳解】（1）∵a＝e，∴f（x）＝（x﹣1）ex+ex2．∴＝xex+2ex，∴＝3e，f（1）＝e．∴y﹣e＝3e（x﹣1），所以切線方程是3ex﹣y﹣2e＝0；（2）∵＝x（ex+2a）①若a≥0時(shí)，ex+2a＞0．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以y＝f（x）在（﹣∞，0）上為減函數(shù)，在（0，+∞）上為增函數(shù)；②若時(shí)，ln（﹣2a）＜0，當(dāng)x＜ln（﹣2a）或x＞0，＞0，當(dāng)ln（﹣2a）＜x＜0時(shí)，＜0，∴y＝f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a）），（0，+∞）上為增函數(shù)，在（ln（﹣2a），0）上為減函數(shù)；③若時(shí)，ln（﹣2a）=0，＞0成立，所以y＝f（x）在上為單調(diào)遞增的；④若時(shí)，ln（﹣2a）＞0，當(dāng)x＞ln（﹣2a）或x＜0時(shí)，＞0，當(dāng)0＜x＜ln（﹣2a）時(shí)，＜0，∴y＝f