2023學(xué)年完整公開課版基礎(chǔ)知識

地球的自然表面有高山、丘陵、平原、海洋等起伏形態(tài)，海洋面積約占地球表面的71%，陸地面積約占29%，是一個不規(guī)則曲面。

第一部分基礎(chǔ)知識一、地球橢球與大地坐標(biāo)系1．鉛垂線、水準(zhǔn)面和大地水準(zhǔn)面鉛垂線地球離心力和引力的合力，稱為重力，重力的作用線稱為鉛垂線。大地水準(zhǔn)面海洋的靜止表面是地球上最大的水準(zhǔn)面，這個水準(zhǔn)面稱為大地水準(zhǔn)面。大地體大地水準(zhǔn)面是測量工作所依據(jù)的最基本的一個基準(zhǔn)面，它所包圍的整體稱為大地體。大地水準(zhǔn)面是一個不規(guī)則的曲面由于地球內(nèi)部物質(zhì)密度分布也極不均勻。各點吸引力大小不同，引起地面上各點的鉛垂線方向發(fā)生不規(guī)則的變化。由于大地水準(zhǔn)面處處與鉛垂線正交，所以大地水準(zhǔn)面是一個不規(guī)則的曲面。觀測的基準(zhǔn)面、基準(zhǔn)線

觀測的基準(zhǔn)面——大地水準(zhǔn)面

觀測的基準(zhǔn)線——鉛垂線（處處與大地水準(zhǔn)面垂直）2.

地球橢球

野外測量是在復(fù)雜的非數(shù)學(xué)的地球表面進行的，這個復(fù)雜的不規(guī)則的自然表面是無法進行控制測量成果計算的。這就必須選擇一個與地球形體十分接近而數(shù)學(xué)上又能簡單表示的參考橢球面（簡稱橢球面）作為測量計算的基準(zhǔn)面，并要求將地面上所有觀測元素（水平方向、水平距離）都?xì)w算到這個面上來?？偟厍驒E球與參考橢球

總地球橢球

與大地體最接近的地球橢球，叫做總地球橢球?？偟厍驒E球應(yīng)滿足下列具體條件：⑴總地球橢球中心應(yīng)與地球質(zhì)量中心重合；⑵總地球橢球的旋轉(zhuǎn)軸應(yīng)與地軸重合，赤道應(yīng)與地球赤道一致；⑶總地球橢球的體積應(yīng)與大地體的體積相等，各點大地水準(zhǔn)面與總地球橢球面之間的高差平方和為最小；⑷總地球橢球的總質(zhì)量應(yīng)等于地球的總質(zhì)量；⑸總地球橢球的旋轉(zhuǎn)角速度應(yīng)等于地球旋轉(zhuǎn)的角速度。總地球橢球是很難求得的。參考橢球

各個國家和地區(qū)都是各自采用本國或本地區(qū)的天文、大地測量和重力資料，推算出一個與總地球橢球形狀和大小相近似的地球橢球，并把它安置在適當(dāng)?shù)奈恢蒙?，使它與本國或本地區(qū)大地水準(zhǔn)面密切配合，并以此地球橢球面作為測量計算的基準(zhǔn)面，這種橢球叫做。總地球橢球只有一個，而參考橢球可有許多個，它們都不盡相同。計算的基準(zhǔn)面、基準(zhǔn)線

計算的基準(zhǔn)面——參考橢球面計算的基準(zhǔn)線——法線（處處與橢球面垂直）二、地球橢球的基本幾何參數(shù)及其相互關(guān)系1.地球橢球的基本幾何參數(shù)地球橢球：在控制測量中，用來代表地球的橢球，它是地球的數(shù)學(xué)模型。

參考橢球：具有一定幾何參數(shù)、定位及定向的用以代表某一地區(qū)大地水準(zhǔn)面的地球橢球。地面上一切觀測元素都應(yīng)歸算到參考橢球面上，并在這個面上進行計算。參考橢球面是大地測量計算的基準(zhǔn)面，同時又是研究地球形狀和地圖投影的參考面。地球橢球的幾何定義：O是橢球中心，ＮＳ為旋轉(zhuǎn)軸，a為長半軸，b為短半軸。子午圈：包含旋轉(zhuǎn)軸的平面與橢球面相截所得的橢圓。赤道：通過橢球中心的平行圈地球橢球地球橢球的五個基本幾何參數(shù)：橢圓的長半軸橢圓的短半軸b

橢圓的扁率

橢圓的第一偏心率橢圓的第二偏心率

其中、b稱為長度元素；扁率反映了橢球體的扁平程度。偏心率和是子午橢圓的焦點離開中心的距離與橢圓半徑之比，它們也反映橢球體的扁平程度，偏心率愈大，橢球愈扁。兩個常用的輔助函數(shù)，

第一基本緯度函數(shù)，

第二基本緯度函數(shù)：我國建立1954年北京坐標(biāo)系應(yīng)用的是克拉索夫斯基橢球；建立1980年國家大地坐標(biāo)系應(yīng)用的是1975年國際橢球；而全球定位系統(tǒng)(GPS)應(yīng)用的是WGS-84系橢球參數(shù)。

幾種常見的橢球體參數(shù)值克拉索夫斯基橢球體1975年國際橢球體WGS-84橢球體6378245.0000000000(m)6356863.0187730473(m)6399698.9017827110(m)1／298.30.0066934216229660.0067385254146836378140.000000000（m）6356755.288157528（m）6399596.6519880105（m）1／298.2570.0066943849995880.0067395018194736378137.0000000000(m)6356752.3142（m）6399593.6258（m）1/298.2572235630.00669437990130.006739496742272.地球橢球參數(shù)間的相互關(guān)系其他元素之間的關(guān)系式如下：式中，W第一基本緯度函數(shù)，V第二基本緯度函數(shù)。三、橢球面上的常用坐標(biāo)系及其相互關(guān)系1.大地坐標(biāo)系p點的子午面NPS與起始子午面NGS所構(gòu)成的二面角L，叫做p點的大地經(jīng)度，由起始子午面起算，向東為正，叫東經(jīng)（0°～180°），向西為負(fù)，叫西經(jīng)（0°～180°）。P

點的法線與赤道面的夾角B，叫做P點的大地緯度。由赤道面起算，向北為正，叫北緯（0°～90°）；向南為負(fù)，叫南緯(0°～90°）；從地面點P沿橢球法線到橢球面的距離H叫做P點大地高

。

大地方位角——測站點P（包括P點法線）至照準(zhǔn)點Q的法截面與點P的子午面之間的夾角，稱為PQ方向的大地方位角，以符號A表示，自點P的正北方向順時針計算，0°-360°。大地坐標(biāo)系：用大地經(jīng)度L、大地緯度B、大地高H表示地面點位大地高H，它同正常高及正高有如下關(guān)系

我國的大地坐標(biāo)系統(tǒng)

建立統(tǒng)一的國家大地坐標(biāo)系，就是把參考橢球的基本參數(shù)和定位確定下來，從而確定測量計算的基準(zhǔn)面和大地原點的大地基準(zhǔn)數(shù)據(jù)。

1954年北京坐標(biāo)系

1954年北京坐標(biāo)系參考橢球的參數(shù)是采用克拉索夫斯基參考橢球的數(shù)值。其長半徑a=6378245m，扁率α=1：298.3。該橢球并沒有根據(jù)當(dāng)時我國的天文觀測資料進行重新定位，而是由蘇聯(lián)西伯利亞地區(qū)的一等鎖，經(jīng)東北地區(qū)1934—1944年間施測的部分一等鎖，與我國新測的一等鎖相聯(lián)，以角度為元素在高斯平面上進行平差并傳遞坐標(biāo)。這個坐標(biāo)系在我國稱為1954年北京坐標(biāo)系。顯然，它是蘇聯(lián)當(dāng)時采用的1942年普爾科夫坐標(biāo)系的延伸。實踐證明，這個坐標(biāo)系的參考橢球面與我國的大地水準(zhǔn)面呈東高西低的系統(tǒng)性傾斜，兩面的最大差距達60多米，與我國大地水準(zhǔn)面的實際情況不符。1980年西安大地坐標(biāo)系

1980年西安大地坐標(biāo)系，參考橢球采用1975年國際推薦的橢球，即a=6378140m，α=1：298.257m；參考橢球定位，其大地原點設(shè)在陜西省涇陽縣，簡稱為西安原點。橢球定位和定向的條件：橢球短軸平行于地球地軸（由地球質(zhì)心指向1968.0JYD地極原點方向）；首子午面平行于格林尼治平均天文臺子午面；橢球面同似大地水準(zhǔn)面在我國境內(nèi)最密合。因此，1978—1982年我國進行天文大地網(wǎng)整體平差時，采用了1980年西安大地坐標(biāo)系。

天文坐標(biāo)系用天文定位測量方法直接測定地面點的水平位置時，所采用的坐標(biāo)系是天文坐標(biāo)系，測得的坐標(biāo)是天文坐標(biāo)，即天文經(jīng)度和天文緯度。天文坐標(biāo)不是推算得出，而是用測量儀器實地測得，它的依據(jù)是測站點的鉛垂線與大地水準(zhǔn)面。所以嚴(yán)格講天文坐標(biāo)系是建立在大地水準(zhǔn)面上的。

在天文坐標(biāo)系中規(guī)定：通過鉛垂線且與地軸平行的平面為天文子午面，它是天文經(jīng)度的起算面；通過地球質(zhì)量中心且與地軸NS垂直的平面為地球赤道面。它是天文緯度的起算面。天文經(jīng)度——點M的天文子午面與英國格林尼治平均子午面的夾角，稱為天文經(jīng)度，以符號λ表示。天文緯度——點M的鉛垂線與地球赤道面的夾角，稱為天文緯度，以符號φ表示。天文坐標(biāo)系的高程以正高h表示。天文方位角——點M通過包含M點的鉛垂線且通過Q點的鉛垂面與M點天文子午面之間的夾角，以符號α表示。2.空間直角坐標(biāo)系

以橢球體中心O

為原點，起始子午面與赤道面交線x為軸，在赤道面上與X

軸正交的方向為Y軸，橢球體的旋轉(zhuǎn)軸為Z軸，構(gòu)成右手坐標(biāo)系O—XYZ，在該坐標(biāo)系中，p點的位置用X,Y,Z表示。地球空間直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點位于地球質(zhì)心（地心坐標(biāo)系）或參考橢球中心（參心坐標(biāo)系），Z

軸指向地球北極，x

軸指向起始子午面與地球赤道的交點，y

軸垂直于XOZ

面并構(gòu)成右手坐標(biāo)系?？臻g直角坐標(biāo)系同大地坐標(biāo)系的關(guān)系

同一地面點在地球空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)和在大地坐標(biāo)系中的坐標(biāo)可用如下兩組公式轉(zhuǎn)換式中：e——子午橢圓第一偏心率，可由長短半徑按式算得。N——法線長度，可由式算得?？臻g直角坐標(biāo)系的意義

球心坐標(biāo)系統(tǒng)坐標(biāo)與參心坐標(biāo)系統(tǒng)坐標(biāo)之間的換算

GPS定位是基于WGS-84坐標(biāo)系，其橢球體是總地球橢球，稱為球心坐標(biāo)系統(tǒng)。常規(guī)測量是基于1954年北京坐標(biāo)系或1980年西安坐標(biāo)系，其橢球體是參考橢球體（克拉索夫斯基橢球；1975年國際橢球）。由于總地球橢球與參考橢球定位方法不同（橢球球心位置不同；X、Y、Z三軸方向不同；球橢大小參數(shù)不同），因此GPS測量得到的大地坐標(biāo)與常規(guī)測量得到大地坐標(biāo)不是同一個坐標(biāo)系統(tǒng)中的坐標(biāo)。

總地球橢球上的大地坐標(biāo)與參考橢球體上的大地坐標(biāo)不能直接進行換算，必須根據(jù)大地坐標(biāo)與空間直角坐標(biāo)的換算公式先將總地球橢球上的大地坐標(biāo)換算成空間直角坐標(biāo)，再將總地球橢球上的空間直角坐標(biāo)換算成參考橢球體上的空間直角坐標(biāo)（七參數(shù)換算），然后再將參考橢球體上的空間直角坐標(biāo)換算成大地坐標(biāo)。四、幾種主要的橢球公式

過橢球面上任意一點可作一條垂直于橢球面的法線，包含這條法線的平面叫做法截面，法截面同橢球面交線叫法截線（或法截弧）。包含橢球面一點的法線，可作無數(shù)多個法截面，相應(yīng)有無數(shù)多個法截線。橢球面上的法截線曲率半徑不同于球面上的法截線曲率半徑都等于圓球的半徑，而是不同方向的法截弧的曲率半徑都不相同。

1.子午圈曲率半徑

子午橢圓的一部分上取一微分弧長，相應(yīng)地有坐標(biāo)增量，點n是微分弧的曲率中心，于是線段及便是子午圈曲率半徑M。任意平面曲線的曲率半徑的定義公式為：子午圈曲率半徑公式為：或與緯度有關(guān)．它隨的增大而增大，變化規(guī)律如下表所示：說明

在赤道上，小于赤道半徑此間隨緯度的增大而增大在極點上,等于極點曲率半徑

2.卯酉圈曲率半徑過橢球面上一點的法線，可作無限個法截面，其中一個與該點子午面相垂直的法截面同橢球面相截形成的閉合的圈稱為卯酉圈。在圖中即為過Ｐ點的卯酉圈。卯酉圈的曲率半徑用Ｎ表示。

卯酉圈曲率半徑可用下列兩式表示：3.

任意法截弧的曲率半徑子午法截弧是南北方向，其方位角為0°或180°。卯酉法截弧是東西方向，其方位角為90°或270°?，F(xiàn)在來討論方位角為Ａ的任意法截弧的曲率半徑的計算公式。任意方向Ａ的法截弧的曲率半徑的計算公式如下：4.

平均曲率半徑

在實際際工程應(yīng)用中，根據(jù)測量工作的精度要求，在一定范圍內(nèi)，把橢球面當(dāng)成具有適當(dāng)半徑的球面。取過地面某點的所有方向的平均值來作為這個球體的半徑是合適的。這個球面的半徑——平均曲率半徑R：或因此，橢球面上任意一點的平均曲率半徑Ｒ等于該點子午圈曲率半徑Ｍ和卯酉圈曲率半徑Ｎ的幾何平均值。5.子午線弧長計算公式子午橢圓的一半，它的端點與極點相重合；而赤道又把子午線分成對稱的兩部分。如下圖所示，取子午線上某微分弧，令Ｐ點緯度為Ｂ，點緯度為，Ｐ點的子午圈曲率半徑為Ｍ，于是有：從赤道開始到任意緯度Ｂ的平行圈之間的弧長可由下列積分求出：克拉索夫斯基橢球子午線弧長計算公式：1975年國際橢球子午線弧長計算公式：式中為求子午線上兩個緯