薄板彎曲問題的有限元法

薄板彎曲問題的有限元法第1頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四21.定義：工程力學(xué)理論研究中，概念定義的板是指厚度尺寸相對長寬尺寸小很多的平板，且能承受橫向或垂直于板面的載荷。如板不是平板而為曲的(指一個單元)，則稱為殼問題。如作用于板上的載荷僅為平行于板面的縱向載荷，則稱為平面應(yīng)力問題；如作用于板上的載荷為垂直于板面的橫向載荷，則稱為板的彎扭問題，常簡稱板的彎曲問題。薄膜δ—厚度薄板厚板b—板長寬最小值一.定義及假設(shè)第2頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四32、基本假設(shè)（克希霍夫假設(shè)）

1）直線假設(shè)：即變形前垂直于板中面的直線，在彎曲變形后仍為直線，且垂直于彎曲后的中面。說明在平行于中面的面上沒有剪應(yīng)變，即第3頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四42）厚度不變假設(shè)：即忽略板厚變化。即。由于板內(nèi)各點(diǎn)的撓度與z坐標(biāo)無關(guān)，只是x，y的函數(shù)，即3）中面上正應(yīng)力遠(yuǎn)小于其它應(yīng)力分量假設(shè)：平行于中面的各層相互不擠壓，不拉伸，沿z向的正應(yīng)力可忽略，即4）中面無伸縮假設(shè)：彎曲過程中，中面無伸縮，（薄板中面內(nèi)的各點(diǎn)都沒有平行中面的位移）即縱向荷載：可以認(rèn)為他們沿薄板厚度均勻分布，因而他們所引起的應(yīng)力、形變和位移可以按平面應(yīng)力問題進(jìn)行計算。橫向荷載：將使薄板彎曲，他們所引起的應(yīng)力、形變和位移，可以按薄板彎曲問題進(jìn)行計算。第4頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四5二、基本方程

1）幾何方程積分可得繞x軸轉(zhuǎn)角繞y軸轉(zhuǎn)角分別表示薄板彎曲曲面在x，y方向的曲率表示薄板彎曲曲面在x，y方向的扭率變形前的直線變形后的直線zxz第5頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四62）物理方程（廣義胡克定律）寫為矩陣形式：第6頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四73）內(nèi)力矩公式及平衡方程 單位寬度上垂直x，y軸的橫截面上彎矩、扭矩xyzδ第7頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四8圖中力矩雙箭頭方向表示是力矩的法線方向，列平衡方程：由應(yīng)力的正負(fù)方向的規(guī)定得出：正的應(yīng)力合成的主矢量為正，正的應(yīng)力乘以正的矩臂合成的主矩為正；反之為負(fù)。第8頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四9應(yīng)力分量表達(dá)式第9頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四10三、矩形薄板單元分析用有限元法求解薄板彎曲問題，常在板中面進(jìn)行離散，常用的單元有三角形和矩形。為了使相鄰單元間同時可傳遞力和力矩，節(jié)點(diǎn)當(dāng)作剛性節(jié)點(diǎn)，即節(jié)點(diǎn)處同時有節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)力矩作用。每個節(jié)點(diǎn)有三個自由度，即一個擾度和分別繞x，y軸的轉(zhuǎn)角。1.設(shè)位移函數(shù)mjil節(jié)點(diǎn)位移分量和節(jié)點(diǎn)力分量第10頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四11 薄板彎曲時，只有w(x,y)是薄板變形的未知基本函數(shù)，而其它量，如u,v等都是w(x,y)的函數(shù)，故薄板矩形單元的位移函數(shù)的選擇實(shí)際就是w(x,y)的選取。注意單元有12個自由度，則另兩個轉(zhuǎn)角為：第11頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四12

待定系數(shù)：利用12個節(jié)點(diǎn)位移值可待定12個系數(shù)，整理w(x,y)為插值函數(shù)形式：其中，形函數(shù)：第12頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四132.單元收斂性分析：

1）位移函數(shù)中包含有常量項，反映了剛體位移，如為擾度常量，為轉(zhuǎn)角常量。

2）位移函數(shù)中包含了常量應(yīng)變項，如形變分量為：

表明薄板處于均勻彎扭變形狀態(tài)，即常應(yīng)變狀態(tài)。這里的常應(yīng)變?yōu)閿_度的二次函數(shù)，而在平面單元中為位移的一次式，這是因?yàn)榘逵泻穸?，其形變是指不同厚度上的。?3頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四14

3）相鄰單元在公共邊界上擾度是連續(xù)的但轉(zhuǎn)角不一定連續(xù)。 設(shè)邊界ij邊y=-b則有位移 四個系數(shù)剛好通過i，j兩個端點(diǎn)的擾度值和繞y軸的兩個轉(zhuǎn)角值唯一確定；同時，相鄰單元在此邊界上也能通過i，j的值唯一確定，故連續(xù)。

如對于繞x軸的轉(zhuǎn)角： 四個系數(shù)不能通過i，j的兩個已知轉(zhuǎn)角值唯一待定；同理，相鄰單元在此邊界上也不能唯一確定四個系數(shù)。故轉(zhuǎn)角不連續(xù)。

所以，薄板矩形單元是非協(xié)調(diào)單元。但實(shí)踐表明，當(dāng)單元細(xì)分，其解完全能收斂真實(shí)解。第14頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四153.單元剛度矩陣

1）應(yīng)變矩陣

其中：[B]為x，y的函數(shù)，與z無關(guān)第15頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四162）單元剛陣第16頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四174.總剛集成5.載荷移置6.邊界條件出來7.求解線性方程組

第17頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四18四.三角形薄板單元1.面積坐標(biāo)

三角形單元的面積坐標(biāo)定義:如圖示三角形單元中，任意一點(diǎn)P的位置可以用下面3個比例確定。其中A為△ijm的面積，Ai，Aj，Am分別為△Pjm，△Pim，△Pij的面積。比值Li，Lj，Lm就稱為P點(diǎn)的面積坐標(biāo)。ijmp第18頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四19實(shí)際為三角形的高與高的比，即平行jm線的直線上的所有點(diǎn)有相同的。同時，易得即，三角形內(nèi)與任一條邊平行的直線上的所有點(diǎn)有相同的面積坐標(biāo)。比較面積坐標(biāo)與平面三角形單元形函數(shù)可知，面積坐標(biāo)正是平面三節(jié)點(diǎn)三角形單元的三個形函數(shù)。面積坐標(biāo)與整體坐標(biāo)之間的變換。第19頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四202、位移函數(shù)三角形單元能較好地適應(yīng)斜邊界，實(shí)際中廣泛應(yīng)用。單元的節(jié)點(diǎn)位移仍然為節(jié)點(diǎn)處的撓度wi和繞x，y軸的轉(zhuǎn)角θxi、θyi，獨(dú)立變量為wi。三角形單元位移模式應(yīng)包含9個參數(shù)。若考慮完全三次多項式，則有10個參數(shù)：若以此為基礎(chǔ)構(gòu)造位移函數(shù)，則必須去掉一項，則無法保證對稱。經(jīng)過多種選擇，采用面積坐標(biāo)比較合理可行。對于三角形單元，面積坐標(biāo)的一、二、三次齊次分別有以下項：第20頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四21將三個節(jié)點(diǎn)的位移和面積坐標(biāo)代入上式，可得：α1=wi，α2=wj，

α3=wm。代入上式對Li，Lj求導(dǎo)，注意Lm=1-Li-Lj，可得將節(jié)點(diǎn)的面積坐標(biāo)代入上述兩式，可得6個關(guān)于α4~α9的方程，求解后可得α4~α9：第21頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四22第22頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四23最后，待定常數(shù)α1~α9代入位移模式，整理后得：

將w,Lii和w,Lji變換成θxi、θyi，從而得到相應(yīng)于θxi、θyi的形函數(shù)Nxi、