第二章各向異性彈性力學(xué)演示文稿

第二章各向異性彈性力學(xué)演示文稿目前一頁\總數(shù)五十九頁\編于七點各向異性與各向同性彈性力學(xué)的基本方程的差別差別在于:本構(gòu)方程其它平衡方程,幾何方程,協(xié)調(diào)方程,和邊界條件等則完全相同.即用各向異性胡克定律代替各向同性胡克定律,這一代換將使力學(xué)計算及反映的現(xiàn)象十分復(fù)雜.目前二頁\總數(shù)五十九頁\編于七點單元體應(yīng)力及正負號規(guī)定如果作用面的外法線指向坐標(biāo)系中相應(yīng)坐標(biāo)軸的正向,而應(yīng)力分量也指向?qū)?yīng)坐標(biāo)軸的正向,則應(yīng)力分量為正。當(dāng)兩個下標(biāo)中,只有一個指向坐標(biāo)軸的正向時,該應(yīng)力分量就為負.yx作用在y面上的正應(yīng)力作用在y面內(nèi)x方向的剪應(yīng)力z目前三頁\總數(shù)五十九頁\編于七點靜力平衡方程（3）X，Y，Z作用于微元體的體積力力要平衡！目前四頁\總數(shù)五十九頁\編于七點幾何關(guān)系(小變形)(6)變形要協(xié)調(diào)！三個獨立的位移場即可以完全確定變形，而應(yīng)變亦可以描述變形，它們之間滿足以下關(guān)系！目前五頁\總數(shù)五十九頁\編于七點本構(gòu)方程（6）反映出材料的性質(zhì)！與之間的關(guān)系目前六頁\總數(shù)五十九頁\編于七點各向異性彈性力學(xué)問題需滿足的基本方程與各向同性彈性力學(xué)一樣,各向異性彈性力學(xué)有15個未知量15個場方程靜力平衡方程（3）＋幾何關(guān)系（6）＋本構(gòu)方程（6）可以求解了嗎？目前七頁\總數(shù)五十九頁\編于七點給定力的邊界條件(3)定解還需邊界條件！目前八頁\總數(shù)五十九頁\編于七點給定位移的邊界條件(3)目前九頁\總數(shù)五十九頁\編于七點各向異性彈性力學(xué)問題需滿足的基本方程（另一組定解方程）與各向同性彈性力學(xué)一樣,各向異性彈性力學(xué)有12個未知量12個場方程靜力平衡方程（3）＋幾何關(guān)系（6）＋本構(gòu)方程（6）＋變形協(xié)調(diào)方程（3）目前十頁\總數(shù)五十九頁\編于七點變形協(xié)調(diào)方程(3/6)只有三個是獨立的，為什么？目前十一頁\總數(shù)五十九頁\編于七點以上的力學(xué),幾何,物理,以及邊界條件諸方面構(gòu)成各向異性彈性力學(xué)的基本方程,與各向同性彈性力學(xué)的區(qū)別在于物理方程.其它均相同目前十二頁\總數(shù)五十九頁\編于七點

彈性介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系均質(zhì)彈性體的彈性性質(zhì)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換(應(yīng)力應(yīng)變及彈性系數(shù)轉(zhuǎn)軸公式)彈性對稱性——本構(gòu)關(guān)系的簡化正交異性材料彈性常數(shù)的物理意義目前十三頁\總數(shù)五十九頁\編于七點2.1彈性介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系

2.1.1彈性介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系

規(guī)定下標(biāo)i，j與一維指標(biāo)對應(yīng)如下次序：(2－1)則（2－1）

的兩式可以寫成矩陣乘法的形式，第一式可以寫作

目前十四頁\總數(shù)五十九頁\編于七點記作

可以理解為張量等式，，理解為應(yīng)力張量和應(yīng)變張量，L理解為彈性剛度張量；也可以理解為矩陣等式，，理解為應(yīng)力列矢量和應(yīng)變列矢量，[L]理解為彈性剛度矩陣。L與M具有Voigt對稱性，因此矩陣L與M為9列9行的對稱矩陣。

（2－2）目前十五頁\總數(shù)五十九頁\編于七點由于應(yīng)力張量與應(yīng)變張量都是對稱張量。（2－2）式中的列矢量與的第4行與第5行相同，第6行與第7行相同，第8行與第9行相同。彈性剛度矩陣與柔度矩陣第4行、列與第5行、列相同，第6行、列與第7行、列相同，第8行、列與第9行、列相同。利用這種對稱性，可以把應(yīng)力張量與應(yīng)變張量寫成6個元素的“列矢量”相應(yīng)的，L與M可寫成6行6列的對稱矩陣目前十六頁\總數(shù)五十九頁\編于七點也就是說，各列除去重復(fù)的元素，但第1、2、3列的元素的數(shù)值不變，而第4、5、6列的元素則乘以2。此時，張量運算與矩陣運算仍然一樣，但失去了矩陣地對稱性。目前十七頁\總數(shù)五十九頁\編于七點有的文獻中定義應(yīng)力“列矢量”為應(yīng)變“列矢量”為

注意：，，就是剪切角，，。

目前十八頁\總數(shù)五十九頁\編于七點于是可以把彈性本構(gòu)關(guān)系寫成：

或

（2－3）（2－4）目前十九頁\總數(shù)五十九頁\編于七點容易導(dǎo)出矩陣C，s與L，M之間的關(guān)系為

目前二十頁\總數(shù)五十九頁\編于七點2.1.2彈性應(yīng)變能密度

固體變形時，加在它上面的外力要做功。完全彈性體在等溫條件下，當(dāng)緩慢卸載后可以完全恢復(fù)其初始狀態(tài)。因此，可以認(rèn)為，外力功全部以能量的形式儲存在彈性體內(nèi)。這種能量稱為應(yīng)變能。通過對體微元的研究，可以得到彈性應(yīng)變能密度：其中

(Voigt對稱性)(Voigt對稱性)目前二十一頁\總數(shù)五十九頁\編于七點由線彈性可以得目前二十二頁\總數(shù)五十九頁\編于七點2.2均質(zhì)彈性體的彈性性質(zhì)

對于均質(zhì)彈性體，材料的性質(zhì)與位置坐標(biāo)無關(guān)。其應(yīng)變位能是應(yīng)變分量，，…，的函數(shù)，而且只取決于應(yīng)變的最終值。從數(shù)學(xué)上說，是應(yīng)變狀態(tài)的單值函數(shù)，而且與積分路徑無關(guān)，必是對應(yīng)變分量的全微分，即：可得（2－5）目前二十三頁\總數(shù)五十九頁\編于七點為了便于以后的討論，給出的展開式（2－6）目前二十四頁\總數(shù)五十九頁\編于七點2.3坐標(biāo)轉(zhuǎn)換(應(yīng)力應(yīng)變及彈性系數(shù)轉(zhuǎn)軸公式)2.3.1斜面應(yīng)力為了討論過點A任意斜面的應(yīng)力，在點A附近取一個四面體微元ABCD(圖2－1)。

圖2－1目前二十五頁\總數(shù)五十九頁\編于七點斜面BCD的外法線為N，令N的方向余弦為：則有式中，、、、依次為三角形BCD、ACD、ABD、ABC的面積。令四面體微元的體積為dV，斜面BCD上應(yīng)力向量在坐標(biāo)方向上的分量為、、，則由四面體微元的的條件得到：（2－7）目前二十六頁\總數(shù)五十九頁\編于七點得到方程如下：寫成矩陣形式也就是說，若應(yīng)力張量為已知，則任一斜面上的應(yīng)力均可求出。因此，應(yīng)力張量完全決定了一點的應(yīng)力狀態(tài)。（2－8）目前二十七頁\總數(shù)五十九頁\編于七點2.3.2應(yīng)力應(yīng)變轉(zhuǎn)軸公式三維情況：圖2－2坐標(biāo)系如圖2－2所示，新坐標(biāo)與原坐標(biāo)的方向余弦列于表1

：其中目前二十八頁\總數(shù)五十九頁\編于七點

xyzx′l1m1n1y′l2m2n2z′l3m3n3表1

即

（2－9）目前二十九頁\總數(shù)五十九頁\編于七點將式（2－9）展開，并按一定次序排列應(yīng)力張量，可得應(yīng)力分量轉(zhuǎn)軸公式：（2－10）稱為應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣目前三十頁\總數(shù)五十九頁\編于七點同理可得，應(yīng)變分量轉(zhuǎn)軸公式（2－11）稱為應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣目前三十一頁\總數(shù)五十九頁\編于七點二維情況：二維情況的坐標(biāo)建立如下兩圖：圖2－3圖2－4目前三十二頁\總數(shù)五十九頁\編于七點

同理：（2－12）（2－13）（2－14）目前三十三頁\總數(shù)五十九頁\編于七點2.3.3彈性系數(shù)的轉(zhuǎn)軸公式各向異性體的彈性特性隨方向不同而異，即各向異性體的彈性系數(shù)是方向的函數(shù)，它們與坐標(biāo)的取向有關(guān)，只有在各向同性情況下，彈性系數(shù)在任意正交坐標(biāo)系是不變的。

已知

求逆

又因為

所以可得目前三十四頁\總數(shù)五十九頁\編于七點通過單位體積應(yīng)變能函數(shù)U0可以證明：從而可以得到：所以其中為新坐標(biāo)系中的柔度矩陣

為新坐標(biāo)系中的剛度矩陣

以上即為彈性系數(shù)轉(zhuǎn)軸公式的矩陣形式。

（2－15）目前三十五頁\總數(shù)五十九頁\編于七點2.4彈性對稱性——本構(gòu)關(guān)系的簡化

大多數(shù)工程材料內(nèi)部結(jié)構(gòu)具有對稱性，這決定了材料的彈性特性也具有對稱性。均質(zhì)彈性體中，若過每一點的不同方向的彈性特征不同，稱為一般均質(zhì)各向異性體，它具有36個非零的彈性系數(shù)，但其中21個獨立的彈性系數(shù)。若物體中的每一點出現(xiàn)有對稱的方向，這些方向上的彈性特征相同，它就具有彈性對稱。具有彈性對稱的物體，廣義虎可定律的方程和能量函數(shù)的表達式都可以簡化，在彈性系數(shù)之間出現(xiàn)依賴關(guān)系。

Voigt對稱性:可證明張量L對雙指標(biāo)ij和kl具有對稱性。目前三十六頁\總數(shù)五十九頁\編于七點2.4.1一個彈性對稱面

彈性對稱面就是指經(jīng)過物體內(nèi)的每一點都有這樣的平面，在這個平面的對稱方向上彈性特性是相同的。取xy坐標(biāo)面與彈性對稱面平行，z軸與彈性對稱面垂直（如圖），現(xiàn)研究體微元ABCDE的彈性對稱問題。

由彈性對稱面的定義知，當(dāng)?shù)怪脄軸時，在坐標(biāo)系(x、y、z)和（x、y、）中，體微元具有相同的應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系。換言之，彈性系數(shù)、不因倒置z軸而發(fā)生變化。

圖2－5目前三十七頁\總數(shù)五十九頁\編于七點彈性體單位體積的應(yīng)變能是應(yīng)變狀態(tài)的單位函數(shù)，而且能量是標(biāo)量，不因坐標(biāo)的選擇不同而改變其量值。但是當(dāng)z軸變成軸時，有些物理量將變號。用u，v，w和u，v，w’分別表示兩坐標(biāo)中的位移分量，存在著下述關(guān)系：與有關(guān)的剪應(yīng)變分別為：所以可得：

也就是說，z軸倒置時，與z方向有關(guān)的剪應(yīng)變分量變號。

（2－16）（2－17）目前三十八頁\總數(shù)五十九頁\編于七點由的表達式不難看出，除非含和的一次項的剛度系數(shù)等于零，否則不能保證的量值不變。于是，有剛度系數(shù)減少了8個，剩下13個。同樣可以證明，柔度系數(shù)也剩下13個。于是，當(dāng)z軸垂直彈性對稱面時，應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系為：

（2－18）垂直于彈性對稱面的方向為彈性主方向，坐標(biāo)軸在彈性主方向時稱為彈性主軸。上述的z軸即為彈性主軸。

目前三十九頁\總數(shù)五十九頁\編于七點只有13個(21-8)彈性常數(shù)目前四十頁\總數(shù)五十九頁\編于七點如果其他應(yīng)力分量為0,當(dāng)沿彈性主軸拉伸時,除縱向伸長,橫向收縮外,還會引起與主軸垂直的面(彈性對稱面)內(nèi)的剪應(yīng)變,且彈性主軸方向不變目前四十一頁\總數(shù)五十九頁\編于七點2.4.2三個彈性對稱面——正交異性

若經(jīng)過均質(zhì)彈性體的每一點都有三個互相垂直的彈性對稱面，則稱之為正交異性彈性體。

取坐標(biāo)x，y，z方向為彈性主方向。沿用前面的方法，將y軸轉(zhuǎn)1800成y’軸，因為和變號，必須有：

新增加的等于零的剛度系數(shù)是后四個。再轉(zhuǎn)動x軸不能增加新的等于零的剛度系數(shù)。將z軸轉(zhuǎn)1800成z’軸同樣可以得出，新增加的等于零的柔度系數(shù)為四個。獨立的彈性系數(shù)剩下9個。從而得到應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為：目前四十二頁\總數(shù)五十九頁\編于七點設(shè)僅有作用,其余應(yīng)力分量為0,這時應(yīng)變能對于上述兩種坐標(biāo)系計算時,變號，為了使W保持不變,必須使同理利用彈性主軸改變,彈性能不變的原理證明:目前四十三頁\總數(shù)五十九頁\編于七點（2－19）從上可以看出，對于正交異性體，若坐標(biāo)方向為彈性主方向，則正應(yīng)力不引起剪應(yīng)變，剪應(yīng)力不引起線應(yīng)變，反之亦然。

目前四十四頁\總數(shù)五十九頁\編于七點沒有拉壓剪切耦合現(xiàn)象沒有不同平面內(nèi)的剪切耦合現(xiàn)象目前四十五頁\總數(shù)五十九頁\編于七點2.4.3一個各向同性面——橫觀各向同性

在平面內(nèi)一切方向的彈性特性均相同的平面稱為各向同性面．如果過材料的每一點都有一個相互平行的各向同性面，就稱為橫觀各向同性材料。

取oxy面為各向同性面，z軸垂直于該面．顯然當(dāng)涉及x或y方向時，剛度系數(shù)的下標(biāo)可以不加區(qū)別，即，，而且可以證明。因此，獨立的彈性常數(shù)減少為5個，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系簡化為：

目前四十六頁\總數(shù)五十九頁\編于七點（2－20）目前四十七頁\總數(shù)五十九頁\編于七點2.4.4完全對稱——各向同性

若經(jīng)過均質(zhì)體內(nèi)每一點的任意方向上彈性特性均相同，即任意方向都是彈性主方向，則稱之為各向同性體。顯然，彈性系數(shù)之間存在下述關(guān)系：

對于各向同性材料，彈性系數(shù)與方向無關(guān)。應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為（顯然只有兩個獨立的彈性常數(shù)了）：（2－21）目前四十八頁\總數(shù)五十九頁\編于七點2.4.5小結(jié)

表2目前四十九頁\總數(shù)五十九頁\編于七點2.5正交異性材料彈性常數(shù)的物理意義

在本構(gòu)關(guān)系式中，剛度矩陣和柔度矩陣雖然是聯(lián)系應(yīng)力和應(yīng)變的數(shù)學(xué)符號，但是也有其物理意義。通過簡單的拉伸試驗和剪切試驗，可以導(dǎo)出各分量與材料機械性能之間的關(guān)系，稱為用工程常數(shù)表示。

首先：研究沿彈性主方向1簡單拉伸情況（如圖2－6

）

（圖2－6）目前五十頁\總數(shù)五十九頁\編于七點其應(yīng)力和應(yīng)變張量為：根據(jù)正交異性材料的本構(gòu)關(guān)系，可得到：由此可得：同理，根據(jù)2和3方向的簡單拉伸，可得：

目前五十一頁\總數(shù)五十九頁\編于七點式中和即為人們所熟悉的工程彈性常數(shù)，是i方向的彈性模量，是i方向正應(yīng)力引起j方向橫向應(yīng)變的泊松比。

其次：研究一個純剪切試驗，這時應(yīng)力和應(yīng)變張量為：同樣根據(jù)本構(gòu)關(guān)系可寫出：于是得到：目前五十二頁\總數(shù)五十九頁\編于七點類似的有：由此得到用工程常數(shù)表達的正交異性材料柔度矩陣為（剛度系數(shù)的表示可由剛度系數(shù)與柔度系數(shù)的關(guān)系得到）：目前五十三頁\總數(shù)五十九頁\編于七點2.5.1正交異性體的彈性系數(shù)(由物理意義可求）1.剛度系數(shù)和柔度系數(shù)的關(guān)系

因為剛度矩陣和柔度矩陣是互逆的:，所以根據(jù)求逆法則，可得到相互關(guān)系：其中

在用剛度系數(shù)表示柔度系數(shù)時，只要將式中的C與S