專升本應(yīng)用題2

一、一元函數(shù)唯一駐點(diǎn)處的極值就是最值09年、10年、05年知識點(diǎn)：一元函數(shù)求極值10、要做一個容積為V的圓柱形帶蓋容器，問它的高與底面半徑的比值是多少時，用料最??？解：設(shè)容器的高與底面半徑分別為,其表面積為S，則，又因?yàn)榘褞?，得令，得唯一駐點(diǎn)，根據(jù)實(shí)際意義可知即為表面積的極小值點(diǎn)，此時故當(dāng)容器的高與底面半徑之比為2時用料最省。09、靠一堵充分長的墻邊，增加三面墻圍成一矩形場地，在限定場地面積為64平方米的條件下，問增加的三面墻各長多少時，其總長最小。解：設(shè)與已知墻面平行的墻的長度為，則另二面墻的長為故三面墻的總長為令得唯一駐點(diǎn)根據(jù)實(shí)際意義可知，當(dāng)時取得最小值此時三面墻的長度分別為二、二元函數(shù)唯一駐點(diǎn)處的極值就是最值03年、07年、08年知識點(diǎn)：二元函數(shù)求極值08、一塊鐵皮寬24厘米，把它的兩邊折上去，做成一個正截面為等腰梯形的槽，要使等腰梯形的面積A最大，求腰長和底邊的傾角解：根據(jù)題意知梯形的上底和下底分別為等腰梯形的面積令顯然不合題意，在定義域內(nèi)得唯一駐點(diǎn)所以，當(dāng)時，面積A最大07、某工廠欲建造一個無蓋的長方體污水處理池，設(shè)計(jì)該池容積為V，底面造價每平方米a元，側(cè)面造價每平方米b元，問長、寬、高各為多少時，才能使污水處理池的造價最低？解：設(shè)長方體的長、寬分別為x,y，則高為，又造價為z令得唯一駐點(diǎn)根據(jù)題意可知造價一定有最小值，故就是造價最小的取值，此時高為所以，排污無蓋的長方體的長、寬、高分別為此時，造價最低03、某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品甲和乙，出售單價分別為10元和9元。生產(chǎn)甲產(chǎn)品件與乙產(chǎn)品件的總費(fèi)用是問兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量各多少件時，利潤最大？解：根據(jù)題意，總利潤為即所以（120,80）為駐點(diǎn)所以因此，又所以（120，80）為極大值點(diǎn)，根據(jù)實(shí)際意義，此極大值為最大值，即x=120,y=80時，利潤L最大三、條件極值與拉格朗日乘數(shù)法06年、01年06、某公司的甲乙兩廠生產(chǎn)同一種產(chǎn)品月產(chǎn)量分別為x,y（千件），甲廠的月生產(chǎn)成本是，乙廠的月生產(chǎn)成本是，若要求該產(chǎn)品每月總產(chǎn)量為8（千件），并使總成本最小，求甲乙兩工廠的最優(yōu)產(chǎn)量和相應(yīng)的最小成本。解：用拉格朗日乘數(shù)法總成本約束條件作輔助函數(shù)令解得由于駐點(diǎn)（5,3）唯一，根據(jù)實(shí)際情況有最小值，所以當(dāng)x=5千件，y=3千件時，總成本最小，最小成本千件11、求點(diǎn)（0，1）到拋物線上的點(diǎn)的距離的平方的最小值。解：令（0,1）到拋物線上的距離為d因?yàn)椋缘淖钚≈凳抢耗彻就ㄟ^電視和報(bào)紙兩種形式做廣告，已知銷售收入R和電視廣告費(fèi)x和報(bào)紙廣告費(fèi)y有如下關(guān)系：（1）在廣告費(fèi)用不限的情況下，求最佳廣告策略（2）如果總廣告費(fèi)1.5，求相應(yīng)的廣告策略解（1）利潤最大的廣告策略，利潤函數(shù)為解得因?yàn)轳v點(diǎn)唯一，又因該問題最在最大利潤，所以最大利潤只能在駐點(diǎn)處取得，所以最大利潤為：（2）此問題為條件極值，即求利潤函數(shù)L在條件下的最大值，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)