數(shù)學建模論文-長江水質(zhì)的評價和預測

PAGEPAGE30高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽承諾書我們仔細閱讀了中國大學生數(shù)學建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的,如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們參賽選擇的題號是（從A/B/C/D中選擇一項填寫）：B 我們的參賽報名號為（如果賽區(qū)設(shè)置報名號的話）：所屬學校（請?zhí)顚懲暾娜簠①愱爢T(打印并簽名)：1.2.3.指導教師或指導教師組負責人(打印并簽名)：日期：年月日賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽編號專用頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用）：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進行編號）：長江水質(zhì)的評價和預測摘要本文針對文章提出的不同問題，應(yīng)用不同的理論對問題進行分析求解。對于問題（1），我們在對原始數(shù)據(jù)進行歸一化綜合處理的基礎(chǔ)上，確定了水質(zhì)新的綜合評判指標，并對整個長江流域所有觀測站的位置關(guān)系進行簡化假設(shè)，得到長江綜合評定函數(shù)值，水質(zhì)為良好，主要污染物為氨氮，次要污染物為溶解氧，污染嚴重的地區(qū)為四川樂山和江西南昌，較為嚴重的地區(qū)為四川瀘州沱江和湖南長沙新港（詳細結(jié)果見正文表4-3）。對于問題（2），我們首先建立了關(guān)于污染濃度的反應(yīng)擴散方程，然后用三種方法來反演污染源強迫函數(shù)。解法一為用差分離散法來反演出，解法二是簡化擴散方程后用微分方程來分段反演出，解法三是考慮支流影響得出解析解來反演出。分別分析f的數(shù)據(jù)結(jié)果1、2、3并綜合考慮這三批數(shù)據(jù)結(jié)果，得出相同的結(jié)論：高錳酸鉀鹽污染源主要在湖北宜昌南津關(guān)——湖南岳陽城陵磯地區(qū)，氨氮污染源主要分布在四川攀枝花——重慶朱沱地區(qū)和湖北宜昌南津關(guān)——湖南岳陽城陵磯地區(qū)。對于問題（3），我們僅考慮水文年全流域各類水質(zhì)百分比的變化情況，建立回歸分析模型并對回歸系數(shù)進行F檢驗，得到預測結(jié)果為：可飲用水逐年下降，10年后將低于50%，受污染水質(zhì)逐年遞增，其中劣V類水增長速率較快，10年后達到25%。在對問題（4）的討論中，我們首先利用一元線性回歸模型對污水處理量進行預測分析，出現(xiàn)了兩組與實際情況不好的數(shù)據(jù)；然后將IV+V類和劣V類綜合考慮，建立了二元線性回歸模型并進行了F檢驗，得到了較好的結(jié)果：年份2005年2006年2007年2008年2009年2010年2011年2012年2013年2014年（億噸）75.19589.047102.9116.75130.6143.46157.32171.17185.02198.87污水處理量逐年遞增，最小處理量為75.195億噸，最大處理量為198.87億噸。最后，在問題（5）中我們提出了解決長江水質(zhì)污染問題一些意見和建議。1問題的重述水是人類賴以生存的資源，保護水資源就是保護我們自己，對于我國大江大河水資源的保護和治理應(yīng)是重中之重。長江是我國第一、世界第三大河流，長江水質(zhì)的污染程度日趨嚴重，已引起了相關(guān)政府部門和專家們的高度重視。2004年10月，由全國政協(xié)與中國發(fā)展研究院聯(lián)合組成“保護長江萬里行”考察團，從長江上游宜賓到下游上海，對沿線21個重點城市做了實地考察，揭示了一幅長江污染的真實畫面，其污染程度讓人觸目驚心。為此，專家們提出“若不及時拯救，長江生態(tài)10年內(nèi)將瀕臨崩潰”（附件１），并發(fā)出了“拿什么拯救癌變長江”的呼喚（附件2）。附件3給出了長江沿線17個觀測站（地區(qū)）近兩年多主要水質(zhì)指標的檢測數(shù)據(jù)，以及干流上７個觀測站近一年多的基本數(shù)據(jù)（站點距離、水流量和水流速）。通常認為一個觀測站（地區(qū)）的水質(zhì)污染主要來自于本地區(qū)的排污和上游的污水。一般說來，江河自身對污染物都有一定的自然凈化能力，即污染物在水環(huán)境中通過物理降解、化學降解和生物降解等使水中污染物的濃度降低。反映江河自然凈化能力的指標稱為降解系數(shù)。事實上，長江干流的自然凈化能力可以認為是近似均勻的，根據(jù)檢測可知，主要污染物高錳酸鹽指數(shù)和氨氮的降解系數(shù)通常介于0.1~0.5之間，比如可以考慮取0.2(單位：1/天)。附件4是“1995~2004年長江流域水質(zhì)報告”給出的主要統(tǒng)計數(shù)據(jù)。下面的附表是國標(GB3838-2002)給出的《地表水環(huán)境質(zhì)量標準》中4個主要項目標準限值，其中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ類為可飲用水。請你們研究下列問題：（1）對長江近兩年多的水質(zhì)情況做出定量的綜合評價，并分析各地區(qū)水質(zhì)的污染狀況。（2）研究、分析長江干流近一年多主要污染物高錳酸鹽指數(shù)和氨氮的污染源主要在哪些地區(qū)?（3）假如不采取更有效的治理措施，依照過去10年的主要統(tǒng)計數(shù)據(jù)，對長江未來水質(zhì)污染的發(fā)展趨勢做出預測分析，比如研究未來10年的情況。（4）根據(jù)你的預測分析，如果未來10年內(nèi)每年都要求長江干流的Ⅳ類和Ⅴ類水的比例控制在20%以內(nèi)，且沒有劣Ⅴ類水,那么每年需要處理多少污水？（5）你對解決長江水質(zhì)污染問題有什么切實可行的建議和意見。附表:《地表水環(huán)境質(zhì)量標準》（GB3838—2002）中4個主要項目標準限值單位：mg/L序號

分類

標準值

項目Ⅰ類Ⅱ類Ⅲ類Ⅳ類Ⅴ類劣Ⅴ類1溶解氧(DO)

≥7.5（或飽和率90%）653202高錳酸鹽指數(shù)(CODMn)≤2461015∞3氨氮（NH3-N）≤0.150.51.01.52.0∞4PH值（無量綱）692問題的分析對于長江水質(zhì)的評價和預測，主要是基于對大量統(tǒng)計數(shù)據(jù)的處理。因此對于問題的解決需要扎住關(guān)鍵有用的數(shù)據(jù)，對數(shù)據(jù)進行轉(zhuǎn)變、篩選。問題（1）對長江近兩年水質(zhì)定量的綜合評價，是對附件3中數(shù)據(jù)的綜合分析，由于原始數(shù)據(jù)是17個站點、28個月份、4個項目指標量值的離散數(shù)據(jù)，因此對于數(shù)據(jù)的處理應(yīng)該分步驟進行，考慮到要求分析不同地區(qū)的污染狀況，將地區(qū)間的水質(zhì)綜合放到最后處理；考慮到不同項目指標的量綱不同，在對數(shù)據(jù)進行綜合前應(yīng)首先對數(shù)據(jù)進行歸一化處理。在最后綜合評價水質(zhì)時，由于數(shù)據(jù)的綜合可能導致有效信息的丟失，考慮從多個角度對水質(zhì)情況進行評價。問題（2）從簡單情況入手，首先考慮水體具有自凈能力和污染物融入水流時擴散速度等性質(zhì)，確立一個符合情況并滿足其性質(zhì)的模型，分析該模型得出的數(shù)據(jù)結(jié)果，判定污染源在那些地區(qū)。繼續(xù)進一步修正、簡化模型，分析結(jié)果。再考慮支流帶來的影響建立新模型，分析結(jié)果。最后綜合考慮三個模型得到的結(jié)果，得出結(jié)論。問題（3）是預測分析問題，文章提供了枯水期、豐水期、整個水文年的全流域、干流、支流六類水質(zhì)河長的百分比。由于是對整個長江水質(zhì)污染發(fā)展趨勢的預測分析，主要考慮水文年全流域各類水質(zhì)百分比的變化趨勢，采用回歸分析的方法進行預測，當然，對于六類水，我們主要關(guān)心的是污水的變化，可以嘗試將可飲用水（即I、II、III類水）綜合起來回歸分析。問題（4）是長江水質(zhì)控制問題，由于要用IV、V類水質(zhì)百分比和劣V類水質(zhì)百分比來控制污水處理量，因此需要根據(jù)已知數(shù)據(jù)尋找污水排放量與兩個百分比的關(guān)系，當滿足百分比要求時，污水流入量有一個限值，同時污水排放量隨年份也有一個變化趨勢，污水排放量和流入量限值決定了需要處理的污水量。從本質(zhì)上來講，也是一個回歸分析問題。問題（5）相當于一個報告性質(zhì)的短文，文章應(yīng)該在前四問的基礎(chǔ)上，結(jié)合實際情況，綜合考慮多方面的因素，給出合理化建議。文章不僅要反映前四問的理論成果，更要注重實際指導意義；不僅要提出意見，更要提出建議；不僅要有技術(shù)性，同時要有鼓動性。3符號系統(tǒng)水質(zhì)綜合指標向量第個觀測點第個月的水質(zhì)綜合指標值（單位：1）第個觀測站水質(zhì)的綜合量值（單位：1）第個觀測站水質(zhì)為不可飲用水的月份個數(shù)（單位：個）長江水年總流量（單位：億立方米）長江水年平均總流量（單位：億立方米）年廢水排放總量（單位：億噸）年廢水處理量（單位：億噸）相對排污量為（單位：噸/立方米）IV+V類水百分比劣V類水百分比污染物質(zhì)在長江內(nèi)濃度（單位：毫克/升）河流水流速度（米/秒）外界加入的污染物濃度，且在任意一個分段內(nèi)為常數(shù)，即整個是一個分段的常數(shù)函數(shù)擴散系數(shù)各站點的水流量（單位：立方米/秒）4問題（1）：長江水質(zhì)的綜合評價4.1問題的分析附件3-1（長江流域主要城市水質(zhì)檢測報告）從多方面反映了長江近兩年多的水質(zhì)情況，因此對于長江流域水質(zhì)的綜合評價，主要是對水質(zhì)檢測報告原始數(shù)據(jù)的處理。由于數(shù)據(jù)量較大，因此對于數(shù)據(jù)的綜合分析分步進行，考慮如下的處理步驟：原始數(shù)據(jù)原始數(shù)據(jù)不同觀測點不同月份的水質(zhì)指標值不同觀測點水質(zhì)的綜合指標向量全流域水質(zhì)綜合評價函數(shù)數(shù)據(jù)歸一化、綜合多目標考察假設(shè)、簡化、構(gòu)造圖4-1數(shù)據(jù)處理流程圖4.2理論分析與算法步驟一、數(shù)據(jù)的歸一化和綜合對于地表水環(huán)境質(zhì)量標準的四個主要項目指標來講，原始數(shù)據(jù)的量綱各不相同，考慮下面要求：1、歸一化后的數(shù)據(jù)能夠反映可飲用水與不可飲用水的區(qū)別，為此將III類與IV類水的分界點作為界值點，賦值為1；2、對于任一個項目指標值來講，數(shù)據(jù)越小，水質(zhì)越好；3、四個項目指標的數(shù)據(jù)綜合后仍以1作為可飲用水與不可飲用水的分界點，且數(shù)據(jù)越小，水質(zhì)越好。按照上述要求，根據(jù)附表中提供的項目標準限值，對數(shù)據(jù)歸一化處理：以一個觀測點某一時刻為例，分別記四個主要項目指標為、、、，對于溶解氧（DO），定義4-1對于高錳酸鉀指數(shù)（CODMn），定義4-2對于氨氮（NH3-N），定義4-3對于PH值來講，從表中可以看出，對于6—9之間的PH值來講，均為可飲用水，假設(shè)當PH值=7時，水質(zhì)是最好的，因此可以作如下定義4-4其中，、、和為實際測量值；、、和為轉(zhuǎn)化后的水質(zhì)指標值，均以1為界值點，當大于1時為不可飲用水，當小于1時為可飲用水?？紤]不同項目指標對水質(zhì)影響程度的不同，將四個項目指標的權(quán)重設(shè)為、、、，則水質(zhì)指標值為：（）。但是，對于水質(zhì)情況來講，當有一項指標不符合飲用水的要求時，即為不可飲用水，考慮以1作為飲用水和非飲用水的分界，即上述要求3，改進水質(zhì)指標值表達式為：（）4-5將17個觀測點順次記編號，并將2003年6月到2005年月按照月份順序編號，根據(jù)式5-5，則有（）4-6其中，，為第個觀測點第個月的水質(zhì)綜合指標值。二、單個觀測點水質(zhì)的評估向量知道了一個觀測點28個月份的水質(zhì)綜合指標值，如何對該水域的水質(zhì)做出一個綜合評價，要求給出的綜合評價能夠反映下述多個目標：（1）水質(zhì)情況；（2）是否可飲用及可飲用的程度。按照上述目標要求構(gòu)造觀測點水質(zhì)綜合指標向量。其中，為第個觀測站水質(zhì)的綜合量值，4-7為第個觀測站水質(zhì)為不可飲用水的月份個數(shù)。三、長江流域水質(zhì)的綜合評價函數(shù)假設(shè)一個觀測站代表一塊水域，該水域內(nèi)水質(zhì)均勻，設(shè)該水域內(nèi)水量為，17個觀測站代表的水域覆蓋了整個長江流域且不重復覆蓋，構(gòu)造整個長江流域水質(zhì)綜合評價函數(shù)為：4-84.3水質(zhì)等級標準的確定根據(jù)上述對數(shù)據(jù)的處理方法，計算附表中四個項目標準限值對應(yīng)指標值，為了便于以后的討論計算，不妨將PH值也進行嚴格的分類，具體分類結(jié)果見下表。表4-1：水質(zhì)主要項目標準歸一化限值（單位：1）序號

分類

標準值

項目Ⅰ類Ⅱ類Ⅲ類Ⅳ類Ⅴ類劣Ⅴ類1溶解氧(DO)≤0.66670.833311.66672.5∞2高錳酸鹽指數(shù)(CODMn)≤0.33330.666711.66672.5∞3氨氮（NH3-N）≤0.150.511.52∞4PH值（無量綱）0.150.511.52∞取、、，根據(jù)計算四個項目標準對應(yīng)的綜合指標值，同時考慮出項水質(zhì)污染月份的個數(shù)，將其分別對應(yīng)到水質(zhì)為優(yōu)質(zhì)、良好、輕微污染、污染和嚴重污染，則得到水質(zhì)等級的劃分標準：表4-2：水質(zhì)綜合指標分類限值分類Ⅰ類Ⅱ類Ⅲ類Ⅳ類Ⅴ類劣Ⅴ類水質(zhì)類別優(yōu)質(zhì)良好輕微污染污染嚴重污染強嚴重污染綜合指標值Qi1≤0.3174950.62500511.66672.5100綜合指標值Qi2≤0171319284.4長江全線總體綜合指標的建立與計算首先根據(jù)式4-1~4-4對原始數(shù)據(jù)進行歸一化處理，然后利用式4-6計算第個觀測點第個月的水質(zhì)綜合指標值，根據(jù)式4-7計算水質(zhì)綜合指標向量，結(jié)合表5-2的水質(zhì)標準，對應(yīng)寫出對應(yīng)水質(zhì)類別，給出相應(yīng)的評價。表4-3：不同觀測點水質(zhì)綜合評價序號點位名稱水質(zhì)綜合量值污染月份個數(shù)水質(zhì)類別污染程度評價1四川攀枝花0.416432輕微污染★2重慶朱沱0.397530良好3湖北宜昌南津關(guān)0.418440良好4湖南岳陽城陵磯0.49440良好5江西九江河西水廠0.352410良好6安徽安慶皖河口0.389010良好7江蘇南京林山0.338010良好8四川樂山岷江大橋1.066315嚴重污染★★★9四川宜賓涼姜溝0.590224輕微污染★10四川瀘州沱江二橋1.00238污染★★11湖北丹江口胡家?guī)X0.300890優(yōu)質(zhì)12湖南長沙新港0.834111污染★★13湖南岳陽岳陽樓0.583843輕微污染★14湖北武漢宗關(guān)0.468571良好15江西南昌滁槎4.669125強嚴重污染★★★★16江西九江蛤蟆石0.557824輕微污染★17江蘇揚州三江營0.46691良好下面利用式4-8來綜合評定整個長江流域的水質(zhì)情況：問題的關(guān)鍵在于如何確定，已知主干流和各觀測點的相對位置關(guān)系如圖4-2所示（該相對距離關(guān)系圖根據(jù)地圖近似取得）：長江長江1504641442029021072517161513121411109夾江贛江漢江15380湘江7781875150沱江7432654岷江長江圖4-2長江流域觀測點相對位置關(guān)系圖設(shè)每一個觀測點對應(yīng)的水域長度為，對應(yīng)水流橫截面積為，則有4-9不考慮支流的情況，則干流觀測站對應(yīng)的、可以根據(jù)附件3-2（長江干流主要觀測站點的基本數(shù)據(jù)）求得?？紤]支流的、，有如下假設(shè)：（1）干流相鄰兩個觀測站的水流橫截面積之差，即為兩觀測站之間所有支流水流橫截面積之和；（2）兩觀測站之間所有支流水流橫截面積相等；（3）支流匯入干流的水量在下一個觀測點處瞬間與干流水質(zhì)均勻混合，即在支流進入干流到下一個觀測點水質(zhì)不混合；（4）對于支流對應(yīng)水域的長度，考慮觀測點與干流間的距離，根據(jù)觀察適當賦值即可；（5）當一個支流上有兩個觀測點時，認為兩者對應(yīng)的水流截面積相等；（6）任意觀測站到下一個干流觀測站之間水質(zhì)均勻，與該觀測站水質(zhì)相同。假設(shè)第個觀測點第個月的水流量為，第個觀測點第個月的水流速度為，則第個觀測點的平均水流截面積為4-10可以得到長江干流個各站點間距離和水流橫截面積。表4-4長江干流個各站點間距離和水流橫截面積觀測站點四川攀枝花重慶朱沱湖北宜昌湖南岳陽江西九江安徽安慶江蘇南京標號i1234567站點間距離（km）095017282123262327873251（m2）736.595586.51654917459205292187921721根據(jù)上述假設(shè)和處理結(jié)果，來確定所有觀測點的和。一、的確定對于觀測站7，其對應(yīng)的是該觀測點到長江入?？诘木嚯x，從圖上僅能知道，不妨設(shè)，結(jié)合表5-4則有：表4-5-1：干流觀測點對應(yīng)水域長度觀測點標號1234567950778395500164464350對于支流上的觀測點，由觀測站到干流距離和干流入口處到下一干流觀測站距離共同決定，結(jié)合圖4-2，則有：表4-5-2：干流觀測點對應(yīng)水域長度觀測點標號8910111213141516171000502001002501000100225225150290151529014414420032522520049011540290244144300二、的確定干流的平均截面積已知，下面來分析分析各個支流觀測點的，根據(jù)假設(shè)（1）（2）（5），結(jié)合圖示位置關(guān)系，則有：，，；，，，；。結(jié)合表4-4中的數(shù)值，可以解得，對于無法定量解得，靠其它支流的水流橫截面積情況，令則有：表4-6：支流觀測點水流橫截面積觀測點標號8910111213141516171062.51062.52125153545545515356756752125確定了所有觀測點的和，即可利用式4-9計算。表4-7：觀測點對應(yīng)水量觀測點標號123456789()69.764346.36536.98729.53366.8101527602.4345.31239.06觀測點標號1011121314151617()425752.1552.32518.2445.15164.797.2637.5利用式4-8計算整個長江流域的綜合評價值。4.5整體綜合指標結(jié)果分析根據(jù)上述求解結(jié)果，從整體、地域分布、污染物種類三個方面給出整個長江流域水質(zhì)情況的綜合評價為：1、從整體來看：綜合評定函數(shù)值，水質(zhì)為良好；2、從被污染的地域范圍來看：表4-8：各別類水質(zhì)所占地域百分比水質(zhì)類別優(yōu)質(zhì)良好輕微污染污染嚴重污染強嚴重污染地域分布（%）5.8847.0623.5311.765.885.883、從主要污染物次數(shù)分布來看：表4-8：各類污染物出現(xiàn)次數(shù)分布表污染物溶解氧(DO)高錳酸鹽指數(shù)(CODMn)氨氮（NH3-N）PH值（無量綱）出現(xiàn)次數(shù)2214481對于17個地區(qū)的水質(zhì)污染情況，表4-3已經(jīng)給出了比較詳細的分析。5問題（2）：長江污染源的判定在問題（2）中，通過考慮不同的條件，建立了三個模型，首先單獨作分析，然后綜合三個模型得出結(jié)論，具體情況分析如下：1、差分方程反演模型的建立與求解1.1模型I的建立問題II研究和分析的是長江干流近一年多來受高錳酸鉀鹽指數(shù)及氨氮的污染源情況，建立該模型主要考慮以下幾個因素：一、濃度是隨時間、距離變化的量。二、長江中的水流量及水中污染物在消耗減少，同時也在補充，支流以及沿干流的排污都是其“外援”。三、長江自身具有自凈能力，由于降解系數(shù)介于0.1~0.5之間，我們考慮取其值0.2。四、考慮河流在受污染時的擴散能力，其擴散系數(shù)為。根據(jù)以上考慮的因素及流體力學的基本理論，我們建立一個反應(yīng)擴散方程來反映長江流域污染物濃度的變化情況：5-1-1其中，為污染物質(zhì)在長江內(nèi)濃度；為該段河流水流速度；為外界輸入的污染物濃度，根據(jù)現(xiàn)有數(shù)據(jù)資料，我們不妨先假設(shè)，在任意一個分段內(nèi)為常數(shù)，即整個是一個分段的常數(shù)函數(shù)。為擴散系數(shù)，為降解系數(shù)。差分方程反演模型對污染源的判定根據(jù)每一段已經(jīng)給出的數(shù)據(jù)，我們確定每一小段的水流速度。首先考慮整條長江流域的平均流速5-1-2其中是第個干流站點的水流速度。假設(shè)考慮權(quán)重，可以用于表示任一小段的平均水流速度，并且和整條長江的平均水流速度聯(lián)系到起來，表示如下：5-1-3其中，。由于沿長江往下，水流速度在逐漸減少，在上游速度比較大時可以用后一個點的流速決定該流水段的水流速度，到下游時可以將權(quán)重逐漸轉(zhuǎn)移到了上，由此我們?nèi)?，其?215是干流上站點之間的總間隔。表示從上游往下權(quán)重的變化情況。依據(jù)上述方程5-1-3可以依次解出。用下表列出結(jié)果（表5-1-1）：表5-1-1各段的平均流速：第一段第二段第三段第四段第五段第六段第1月2.56751.53780.90.919321.01431.1第2月2.4261.38470.83470.938631.11.1第3月2.6261.67841.23471.33861.51.5第4月2.8261.87841.43471.51.51431.6第5月2.59681.77211.41.41931.52851.7第6月4.88773.34771.76941.93862.28553.4第7月2.53381.92521.53471.61.61431.7第8月2.13381.33780.73470.819320.90.9第9月1.96751.12520.73470.80.80.8第10月1.67531.03150.53470.619320.70.7第11月1.29220.718920.469390.619320.70.7第12月1.19220.665760.469390.638630.80.8第13月1.4630.825220.43470.538630.714270.8從資料[1]中我們查得，擴散系數(shù)取。對微分方程兩邊積分，積分區(qū)間為（），其中。其中。對上式進行處理，含積分項利用梯形公式，含偏導數(shù)項利用一階向前差商，得到的表達式：5-1-4其中，。當，時，時間偏導的差分用向后差商，得到的結(jié)果為：5-1-5當，時，擴散項對距離偏導的差分用向后差商處理，得到結(jié)果如下：5-1-61.3模型的結(jié)果與分析根據(jù)表達式5-1-4，5-1-5，5-1-6，利用Matlab編程代入數(shù)據(jù)分別求解出污染物高錳酸鉀鹽在各段流域的的值（程序見附錄2程序1），由于表示的是長江水流中污染物的濃度，所以總是不小于零的數(shù)，故將其中負數(shù)歸零處理（其它關(guān)于的數(shù)值同樣處理），列入下表(表5-1-2)：表5-1-2高錳酸鉀鹽的值鉀鹽第一段第二段第三段第四段第五段第六段第1月0.871920.339570.7850.564790.526740.17498第2月0.169950.669680.78130.578860.653240.18947第3月0.672740.824140.650680.4135900.47018第4月0.836330.605761.0490.2570100.38149第5月00.771460.989130.20470.0860610.30163第6月0.159310.366510.92202000.83506第7月0.464330.955710.607950.0875170.576890.33663第8月0.293070.371780.585910.440010.43340.32784第9月0.229630.49910.785280.442480.163450.43812第10月0.268560.398611.04470.440880.58720.49527第11月0.380780.399250.659980.612690.41070.4394第12月0.388420.421370.810660.319250.826570.30398第13月0.431420.483310.562640.389470.539840.24891年度和5.166467.1062510.234254.7512474.8040914.94296對表5-1-2進行分析，可以看出在一年多時間里，每個月的高錳酸鉀鹽的的最大值主要分布在第三段，即湖北宜昌南津關(guān)到湖南岳陽城陵磯，

年度和最大的兩個也是第三段，因此主要受高錳酸鉀鹽污染的河段有第三段。同樣根據(jù)表達式5-1-4，5-1-5，5-1-6，可以編程代入數(shù)據(jù)求解出污染物氨氮在各段流域的的值，列入下表（表5-1-3表5-1-3氨氮的氨氮第一段第二段第三段第四段第五段第六段第1月0.0496770.0597490.052530.0547640.0219590第2月0.076130.060780.0668260.0371040.0619270第3月0.0554350.0788250.0688810.0040570.0488330第4月0.0738180.0301520.114790.0009730.0862570第5月00.041430.0960560.03460100第6月0.0571150.09350.0628740.03826500第7月0.0659020.0468280.102830.0084930.018670第8月0.078090.0492040.0771370.03568800.006414第9月0.136290.024750.0739640.0200550.0369460.021029第10月0.134120.0388270.0869220.039350.0356370.04578第11月0.118690.0434410.0867090.0233710.0499410.061985第12月0.10920.0476050.0836540.0192540.0838360第13月0.142370.0306550.0816170.0304230.0319260.044131年度和1.0968370.6457461.054790.3463980.4759320.179339對表5-1-3進行分析，在一年多時間里，每個月的氨氮的的最大值主要分布在第一段和第三段，即四川攀枝花到重慶朱沱

，綜合該六段水域在近一年多內(nèi)受兩種污染物污染的情況，可以得出污染物高錳酸鉀鹽指數(shù)的污染源主要在第三段，污染物氨氮的污染源主要在第一段和第三段。另外，分析差分方程中的擴散項及濃度隨時間變化率，根據(jù)其差分格式計算出結(jié)果，可以觀察得出其中擴散項非常小，接近于零；又將濃度隨時間的變化率項與平流項兩者的絕對值作比較，濃度隨時間的變化率在短時間內(nèi)很小，而平流項是一個不小的數(shù)值，因此可以將濃度隨時間的變化率項省略。通過兩者的實際數(shù)據(jù)（分別在表F—1和表F—2中（見附錄1）），可以觀察得出的絕對值遠大于絕對值，因此在實際計算中，擴散項及濃度隨時間變化率項省略對整個等式不影響。2、微分方程反演模型對污染源的判定2.1微分模型的建立與求解對反應(yīng)擴散方程5-1-1進行簡化，考慮以下兩點：一、考慮在一個很小的時間段內(nèi)任一處濃度的變化比較小，將反應(yīng)擴散方程的項忽略不計，簡化方程式為：5-2-1二、進一步省略5-2-1中的擴散項，即將擴散系數(shù)視為零，物理上即是考慮理想情況下，污染物在水中擴散的過程省略，即將擴散視為在瞬間完成，可以得出。方程式5-2-1在固定時刻可以變化為常微分方程：5-2-2參照模型I中對擴散項及濃度隨時間變化率項定量分析的出的結(jié)果，說明這樣考慮是完全可行的。根據(jù)17個觀察點在長江流域的分布情況，干流的七個觀察點相鄰兩點之間作為一小段。把支流也看作是污染源，即我們反演出的將濃度隨時間的變化率項中會有支流的影響。（如下圖）：DDAC假設(shè)CD兩點之間的距離為A，以某一種污染物質(zhì)為例，假設(shè)該物質(zhì)在兩點的濃度分別為：、，以這三個數(shù)為初始條件解出以及該段的污染源排出的污染物濃度，其數(shù)學模型為：5-2-3對該微分方程積分求解：，（的表達式1）。2.2模型的結(jié)果與分析根據(jù)得出的速度以及已知數(shù)據(jù)，代入（的表達式1），利用MATLAB軟件編程可以分別求出高錳酸鉀鹽值大?。ǔ绦蛞姼戒?程序2），結(jié)果如下表（表5-2-1）：表5-2-1第一段第二段第三段第四段第五段第六段第1月0.877140.323170.784860.548280.515940.1429第2月0.155360.659890.780290.578880.688530.19081第3月0.676310.843150.645310.3890100.47646第4月0.812870.627571.06440.2449100.3809第5月00.744790.995330.190210.0962330.2946第6月0.281610.39930.9278000.83685第7月0.435781.01130.650890.0785080.570870.3346第8月0.311250.372960.576650.414250.440.32519第9月0.230840.535620.789020.386140.142390.42121第10月0.267360.405361.16130.381470.575560.4945第11月0.400150.403560.679910.616350.428890.43801第12月0.410050.422870.886510.270240.836410.29637第13月0.451490.490170.59390.376240.545530.24344年度和5.310217.2397110.536174.4744884.8403534.87584對（表5-2-同樣根據(jù)得出的速度以及已知條件可以分別求出每一個月每一段的對氨氮的值大小，如下表所示(表5-2-2)：表5-2-2氨氮的值第一段第二段第三段第四段第五段第六段第1月0.0508570.0593920.0508650.0547930.0219710第2月0.0811080.0622460.066010.0357760.0645580第3月0.0573670.084630.0718230.000890.0478890第4月0.059780.0295130.1168700.0861160第5月00.0402690.0963850.03371700第6月0.056640.0944910.0629560.03775600第7月0.0677090.0460.103920.0059670.0189130第8月0.0772980.0458890.0817110.03498800.003909第9月0.143790.0143030.0741390.0123050.0345870.017172第10月0.142610.0304720.0928320.0343370.0372220.045099第11月0.127840.0294190.0943140.0150530.0498890.069146第12月0.118520.0329840.0916490.0099020.0855210第13月0.156320.0132890.0920620.0206070.0328510.043535年度和1.1398390.5828971.0955360.296090.4795170.178861對（表5-2-2）進行分析，在一年多時間里，每個月的氨氮的的最大值主要分布也是綜合該六段水域在近一年多內(nèi)受兩種污染物污染的情況，可以得出污染物高錳酸鉀鹽指數(shù)的污染源主要在第三段，污染物氨氮的污染源主要在第一段和第三段。3、含支流的微分方程反演模型3.1模型III的建立與求解考慮兩站點之間出現(xiàn)支流情況，根據(jù)地圖描述的相鄰干流站點間出現(xiàn)支流數(shù)量將這類情況分為兩種，并可以依據(jù)地圖近似得出支流入口處距相鄰兩干流站點的距離（參考問題I）：（一）兩站點間只有一個支點情況（如圖5-DCDCBE（圖5-3-假設(shè)C、D各點的濃度和支流上站點（也即看作是支流入口點處）的濃度分別為、、，當支流匯入長江時，支流入口處干流上的點E的濃度發(fā)生突變，因此該點處三個方向的濃度是不同的，具體假設(shè)用下圖（圖5-3-2）說明：DDEC（圖5-3-假設(shè)在E點處突變后三處的單位時間水流量分別為、、，則有：5-3-1是在分段的常數(shù)函數(shù)，在某一個CD段內(nèi)是不變的待定常數(shù)。由C到E、C到D點，兩段距離可以依據(jù)地圖近似測量，分別記為E、D，根據(jù)兩點間無支流情況得出兩個含邊界條件的微分方程：首先由C到E點有，積分后代入邊界條件消去積分常數(shù)可以得出：5-3-2同理可以得出E到D點微分方程：，積分后代入邊界條件消去積分常數(shù)可以得出：5-3-3根據(jù)方程式（8--1）、（8--2）、（8--3）可以消去和，求解出的表達式2為：（表達式2）。（二）兩站點間有兩個支點情況（如圖5-E和F中點E和F中點CBAEFDFBE（圖5-3-由于題目給出支流的信息不多，為簡化模型我們做一些必要的假設(shè)如下：一、假設(shè)各個支流進入長江前的污染物濃度取決于該支流上距干流最近的一個觀察站點，即上圖各支流的污染物濃度為A觀察站和B觀察站的污染物濃度。二、假設(shè)支流污染物進入長江后使得入口處污染物濃度立即變化，這種變化我們視為一種突變。記干流上的點E、F、D與段始點C的距離分別用E、F、D表示。由A~E根據(jù)微分方程可以得到：，保留常數(shù)得出微分結(jié)果：，5-3-4則水流到達E處發(fā)生突變前時，。由于支流路口處發(fā)生突變，所以在E~F時，E處的某種污染物的濃度發(fā)生變化，根據(jù)方程組5-3-4得出的結(jié)果，假設(shè)在E~F這段流域內(nèi)的常數(shù)變?yōu)?，則此時E處的某污染物濃度為：，根據(jù)單個支流得出的方程式5-3-1式，可以得到：5-3-5同樣在F處發(fā)生突變前有，當其發(fā)生突變后，改變，假設(shè)在F~D段常數(shù)為：同理根據(jù)單個支流得出的方程式5-3-1式，可以得到：5-3-6在點D處，由于在F~D段內(nèi)常數(shù)為，根據(jù)方程組5-3-4得出的結(jié)果，則可以得出：5-3-7聯(lián)立方程組5-3-4及等式5-3-5，5-3-6，5-3-7可以消去未知常數(shù)、和，求解出的表達式3為：（表達式3）。聯(lián)立表達式1、2、3，得到整個長江流域六段的表達式如下：（沒有支流）（有一個支流）（有兩個支流）3.2模型的結(jié)果與分析根據(jù)地圖描述的17個站點的相對位置，可以確定任意兩干流站點間需要哪一類計算，即確定該段水域使用的f的表達式。然后分別根據(jù)f的表達式，利用Matlab編程（程序見附錄2程序3）求出高錳酸鉀鹽的f的結(jié)果如下表（表5-3表5-3-1高錳酸鉀鹽的值第一段第二段第三段第四段第五段第六段第1月1.09690.323170.792720.554280.53960.1429第2月0.0094810.659890.778340.625610.887680.19081第3月0.52390.843150.544540.351700.47646第4月0.359120.627571.01120.2604500.3809第5月0.208220.744790.963330.149210.0682380.2946第6月2.16530.39930.92561000.83685第7月0.437831.01130.546170.0573660.576210.3346第8月0.15630.372960.527630.375550.0835830.32519第9月0.129010.535620.746910.347510.070530.42121第10月0.241680.405361.09280.35320.488470.4945第11月0.394030.403560.523870.610280.536870.43801第12月0.435690.422870.831770.245081.11240.29637第13月0.36160.490170.535460.377590.728910.24344年度和6.5190617.239719.820354.3078265.0924914.87584對（表5-3-1）進行分析，可以觀察得出第三段為主要污染源。同樣求解得到的氨氮的f的結(jié)果如下表（表5表5-3-2氨氮的值第一段第二段第三段第四段第五段第六段第1月00.0593920.051380.0557020.0084380第2月0.0494430.0622460.0658070.03924900第3月0.0515510.084630.0708480.00197100第4月0.053130.0295130.11495000第5月00.0402690.0950020.03850800第6月0.0971370.0944910.0628780.04660400第7月0.0902370.0460.0946480.00965900第8月0.0903620.0458890.0803840.03810400.003909第9月0.162410.0143030.0696570.01312700.017172第10月0.152620.0304720.0676860.0355600.045099第11月0.134970.0294190.0710980.01604900.069146第12月0.133450.0329840.0861920.01043100第13月0.187820.0132890.0923670.02669700.043535年度和1.203130.5828971.0228970.3316610.0084380.178861對（表5-3-2）進行分析，在一年多時間里，每個月的氨氮的的最大值主要分布也是在第一段和第三段，年度和最大的兩個也是第一段和第三段，并且差距很小，因此主要受污染的河段有第一段和第三段，兩者中第一段污染是劇增的，綜合該六段水域在近一年多內(nèi)受兩種污染物污染的情況，可以得出污染物高錳酸鉀鹽指數(shù)的污染源主要在第三段，污染物氨氮的污染源主要在第一段和第三段。4、問題（2）的結(jié)果分析綜合三個模型得出的六個表格的結(jié)果取出年度和組成兩個表格，表格如下：表5-4-1高錳酸鉀第一段第二段第三段第四段第五段第六段模型I5.310217.2397110.536174.4744884.840354.87584模型II5.166467.1062510.234254.7512474.804094.94296模型III6.5190617.239719.820354.3078265.092494.87584總和16.9957321.5856730.5907713.5335614.736914.69464表5-4-2氨氮第一段第二段第三段第四段第五段第六段模型I1.1398390.5828971.0955360.296090.4795170.178861模型II1.0968370.6457461.054790.3463980.4759320.179339模型III1.203130.5828971.0228970.3316610.0084380.178861總和3.4398061.811543.1732230.9741490.9638870.537061從這兩個表格可以分析得到，在這六段流域中高錳酸鉀鹽污染源主要分布在第三段即湖北宜昌南津關(guān)——湖南岳陽城陵磯地區(qū)，第二段受污染程度也比較高，其它幾段都是偶爾出現(xiàn)受污染比較嚴重的情況，但隨后又恢復正常。氨氮污染源主要分布在第一段和第三段，即在四川攀枝花——重慶朱沱和湖北宜昌南津關(guān)——湖南岳陽城陵磯地區(qū)，兩者值得差距比較小，但與其它四段相比較差距比較大，第五、六段值比較小幾乎不受污染物影響。在這個問題的計算中，我們把看作分段常數(shù)，因為在固定時，先暫時看作常數(shù)，相當于在該段處處都有一個相同的排放量在向江中排放污染，而事實上污染源是在某些點上集中向江中排放的，但根據(jù)現(xiàn)有數(shù)據(jù)無法得到污染源的確切地點，因此我們做的假設(shè)是合理的。在這里，的數(shù)值只需乘以該段的長度就可以得到該段上污染物的排放濃度量。6問題（3）：回歸模型對水質(zhì)的預測分析6.1問題的分析對于長江未來水質(zhì)的污染狀況的預測分析，首先應(yīng)該對附件4的數(shù)據(jù)進行處理，提取有用信息，首先考慮水文年長江流域水質(zhì)變化，對于河流的污染狀況，只需考慮各類水所占百分比即可。僅考慮全流域，則可以提取相應(yīng)數(shù)據(jù)得到表6-1：表6-1水文年長江流域水質(zhì)報告表（全流域）標號年份Ⅰ類百分比Ⅱ類百分比Ⅲ類百分比Ⅳ類百分比Ⅴ類百分比劣Ⅴ類百分比11995年25.842.624.73.93.0021996年15.320.249.89.71.93.131997年12.224.943.613.32.63.441998年11.524.152.88.31.71.651999年5.239.835.29.56.24.162000年5.632.835.616.64.45.372001年5.933.134.7145.56.882002年4.44428.310.03.210.092003年4.741.531.36.45.810.3102004年1.226.939.914.85.911.36.2回歸模型的建立[2]一、模型建立已知有組觀測值，要對值進行預測分析，可以建立線性回歸模型6-1其中，為未知參數(shù)，為其它隨機因素對的影響，。二、參數(shù)估計根據(jù)已知觀測值，利用最小二乘法容易估計參數(shù)和，這里不再羅列求解過程，僅直接列出結(jié)果6-2在實際計算的過程中，可以直接應(yīng)用MATLAB等數(shù)學軟件進行求解。三、回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗對于回歸系數(shù)的檢驗，這里直接引用F檢驗法：平方和分解公式，考慮檢驗假設(shè)。當為真時，可以證明6-3給定顯著性水平，則檢驗準則為：當，拒絕，回歸效果好；否則，接受，回歸效果差。6.3回歸模型對問題的求解根據(jù)表6-1，對于六類水質(zhì)，分別最近十年的觀測數(shù)據(jù)，可以記為，（），其中表示年份，表示第年第類水所占百分比。分別令建立線性回歸模型6-4首先利用MATLAB進行參數(shù)估計，分別求得六類水的線形回歸方程。給定顯著性水平，查表，然后利用F檢驗法對回歸系數(shù)進行假設(shè)檢驗，確定回歸分析的效果表6-2回歸分析結(jié)果（1）（，）值水質(zhì)類別回歸方程比較回歸效果1I29.6124>好2II0.5836<差3III0.5355<差4IV1.3597<差5V7.4387>好6劣V78.1631>好由上面表格可知，對于的回歸方程，回歸效果很差，所以不能用該方程來預測未來10年的水質(zhì)發(fā)展趨勢。因此，需要對原始數(shù)據(jù)進行適當?shù)奶幚?，然后再進行回歸分析。為了剔除數(shù)據(jù)中的偶然因素，保持長遠趨勢，將原始數(shù)據(jù)進行去除波動處理，利用三項移動平均法對數(shù)據(jù)進行平滑處理，具體方法為：令6-5這樣原始數(shù)據(jù)點減少了兩個，數(shù)據(jù)得到了平滑處理。利用式6-5將表6-1中的II、III、IV類水質(zhì)對應(yīng)的數(shù)據(jù)進行處理，處理后的數(shù)據(jù)如表6-3所示：表6-3數(shù)據(jù)平滑處理結(jié)果類別標號12345678II類水29.23323.06729.632.23335.23336.63339.53337.467III類水39.36748.73343.86741.235.16732.86731.43333.167IV類水8.966710.43310.36711.46713.36713.53310.13310.4同樣，首先利用MATLAB求解回歸方程，給定顯著性水平，查表，然后利用F檢驗法對回歸系數(shù)進行假設(shè)檢驗，得到表6-4：表6-4回歸分析結(jié)果（2）（，）值水質(zhì)類別回歸方程比較回歸效果2II63.1492>好3III14.7212>好4IV1.1988<差由表6-4可知，IV類水質(zhì)的線性回歸效果依然不好，為此，將IV類水質(zhì)的原始數(shù)據(jù)進行深度光滑處理，即令得到六個處理后的數(shù)據(jù)，仍按照同樣的方法步驟進行回歸分析，得到表6-5：表6-5回歸分析結(jié)果（3）（，）值水質(zhì)類別回歸方程比較回歸效果4IV3.34<差回歸效果仍然很差，因此我們可以認為：不存在理想的線性回歸方程，來描述IV類水的變化趨勢。根據(jù)上述的分析求解，考慮到各類水質(zhì)百分比是正值，最終得到各類水質(zhì)百分比隨時間變化的線性回歸方程為，，，，。由于六類水質(zhì)的總的百分比之和為100，因此可以定義。根據(jù)上述表達式即可進行預測，但是為了保證六類水質(zhì)的總的百分比之和為100，需要對預測值進行標準化處理，即將預測值乘以系數(shù)。則有未來10年預測值（見表6-6）。表6-6：未來十年長江水質(zhì)污染發(fā)展預測（1）年份Ⅰ類百分比Ⅱ類百分比Ⅲ類百分比Ⅳ類百分比Ⅴ類百分比劣Ⅴ類百分比112006年045.57125.15310.7376.2212.32122007年047.52423.1429.17096.6213.544132008年049.47721.1317.60517.0214.767142009年051.4319.1196.03957.4215.991152010年053.38317.1084.47397.8217.215162011年055.33715.0972.90818.2218.438172012年057.2913.0861.34248.6219.662182013年059.24311.07509.0220.886192014年061.1969.063909.4222.109202015年063.1497.052809.8223.3336.4模型的改進上述回歸分析中II、III、IV類水質(zhì)在首次回歸分析中不滿足對回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗，而且在預測中出現(xiàn)了負值，這是不符合實際情況的。而且對于長江未來水質(zhì)污染發(fā)展趨勢的預測分析，我們主要考慮的是IV、V、劣V類水質(zhì)的變化趨勢，為此，對回歸分析模型作如下改進：（1）將可飲用水，即I、II、III類水綜合考慮；（2）由于IV類水沒有符合要求的線性回歸函數(shù)，則同樣采取總量減去其余預測量的方法求得。首先對表6-1數(shù)據(jù)進行轉(zhuǎn)化處理，得到新的數(shù)據(jù)，表6-7標號年份可飲用水百分比Ⅳ類百分比Ⅴ類百分比劣Ⅴ類百分比11995年93.13.93.0021996年85.39.71.93.131997年80.713.32.63.441998年88.48.31.71.651999年80.29.56.24.162000年73.716.64.45.372001年73.7145.56.882002年76.810.03.210.092003年77.56.45.810.3102004年6814.85.911.3根據(jù)表6-7提供的數(shù)據(jù)，首先對數(shù)據(jù)光滑處理，然后進行向性回歸，求出回歸方程并檢驗。則有：表6-8回歸分析結(jié)果（4）（，）水質(zhì)類別回歸方程比較回歸效果可飲用水64.712>好V類16.861>好劣V類95.384>好同樣有：，根據(jù)方程、、、的表達式預測未來10年的水質(zhì)情況，見下表。表6-9未來十年長江水質(zhì)污染發(fā)展預測（2）年份可飲用水百分比Ⅳ類百分比Ⅴ類百分比劣Ⅴ類百分比112006年67.10612.6166.668313.61122007年65.212.8567.084514.86132008年63.29413.0967.500816.109142009年61.38913.3357.917117.359152010年59.48313.5758.333318.608162011年57.57813.8158.749619.858172012年55.67214.0549.165921.108182013年53.76714.2949.582122.357192014年51.86114.5349.998423.607202015年49.95614.77310.41524.8566.5長江水質(zhì)污染發(fā)展預測的結(jié)果分析觀察分析表6-6和表6-9對未來十年水質(zhì)污染發(fā)展的預測，有以下分析結(jié)果：表6-6中預測值出現(xiàn)里較多的0值，這會對預測的結(jié)果造成較大的影響，而且最后三年的每年預測百分比總和超過了100，表6-9沒有這些情況，因此認為表6-9的預測情況較好。可飲用水呈逐年遞減的趨勢，10年以后將低于50%；IV類、V類和劣V類水均呈逐年遞增的趨勢，而且劣V類遞增的速率較快。長江流域水質(zhì)呈整體下降的趨勢，需要即時治理。對于表6-9各類水變化的趨勢，可以用曲線圖更直觀的表示出來。圖6-1長江未來10年各類水質(zhì)變化趨勢圖對于表6-9的預測結(jié)果，可以將可飲用水預測值按照三類水的平均比例關(guān)系重新分配，從而得到三類水各自的預測值，平均比例關(guān)系可以由近10年三類水所占百分比的相對比例綜合求得，具體結(jié)果見附錄1（表F-3）。但事實上，對于水質(zhì)的污染趨勢的預測分析，我們主要關(guān)心的是不同污水所占百分比的變化，對于可飲用水的不同分類，完全可以視為一體，在詳細的分析并無太大的實際意義。我們用同樣的方法，可以得到長江干流和支流的預測結(jié)果，具體結(jié)果見附錄1（表F-4）（表F-5）。7問題（4）：基于回歸模型的預測控制7.1問題的分析考慮影響污水處理量的因素：污水處理量=污水排放量-長江允許排污量其中，污水排放量可以由預測得到，長江允許排污量與干流IV+V類水百分比和劣V類水百分比有關(guān)，我們可以從附表4中提取我們所需要的數(shù)據(jù)信息，經(jīng)過提取處理后的數(shù)據(jù)如表7-1所示表7-1年份長江總流量（億立方米）廢水排放總量（億噸）相對排污量（噸/立方米）IV+V類水百分比劣V類水百分比1995年92051740.01899.601996年95131790.01880.801997年9171.261830.020013.301998年131271890.0144001999年95132070.021812.802000年99242340.023625.402001年8892.8220.50.024826.55.82002年102102560.025122.58.72003年99802700.02716.102004年94052850.030323.59.07.2理論分析及算法流程分別記長江總流量為（億立方米）、廢水排放總量為（億噸）、相對排污量為（噸/立方米）和IV+V類水百分比為、劣V類水百分比為。由于決定了和的取值，同時考慮的影響，不妨設(shè)，，如果和已知，根據(jù)同時滿足和的取值要求，那么需要處理的相對污水量為：，7-1則廢水處理量：7-2其中為長江平均總流量。在式7-1中，和的表達式可以根據(jù)已知10組數(shù)據(jù)點分別回歸分析得到，預測得到為10年長江總流量的平均值。根據(jù)上述分析過程可以確定基本算法流程圖為：原始10組數(shù)據(jù)原始10組數(shù)據(jù)，，，，回歸分析計算預測代入式8-1，求解圖7-1污水處理量分析預測流程圖7.3回歸模型對污水處理量的預測一、回歸分析求線形回歸方程按照7.2的理論分析與算法流程對問題進行求解。首先按照問題三的回歸分析模型求解線形回歸方程，，。在求解回歸方程的過程中，為了使結(jié)果更符合普遍情況，適當剔除了一些點，在求時，剔除了2003年的點（該點是一個突變量），在求時，剔除了1998年的點（該點的自變量太?。貧w方程進行了F檢驗。結(jié)果如下：表7-2回歸分析結(jié)果（）回歸方程與比較回歸效果16.8547>5.32好19.2461>5.99好6.1097>5.99好二、計算令解得。令解得。記，求得。三、預測與求解根據(jù)預測未來十年的污水排放量，根據(jù)和可以得到未來10年每年要處理的污水量。表7-3-1未來10年每年需處理的污水量（1）年份2005年2006年2007年2008年2009年2010年2011年2012年2013年2014年i值111213141516171819200.03030.03170.03310.03450.03590.03720.03860.04000.04140.04280.01060.0120.01340.01480.01620.01750.01890.02030.02170.0231（億噸）104.88118.73132.58146.43160.28173.15187200.85214.7228.557.4二元線性回歸模型的建立與求解在上面對和進行回歸分析的過程中，都剔除了特殊點，而且在對回歸方程進行F檢驗時發(fā)現(xiàn)，F(xiàn)檢驗剛好滿足要求，說明回歸的效果并不是太好。對原始數(shù)據(jù)進行觀察，由于劣V類所占百分比出現(xiàn)了大量的0值，僅有三個非零點，所以考慮將IV、V類和劣V類綜合考慮，這樣可以減少0值的影響。一、建立二元線性回歸模型[3]，對于參數(shù)的確定，利用最小二乘法即可求得。二、回歸模型的檢驗問題可轉(zhuǎn)化為對的檢驗，給定，檢驗標準為：若，拒絕，回歸效果好；否則，接受，回歸效果不好。三、問題的求解假設(shè)，利用最小二乘法用MATLAB編程（程序見：附錄2程序4），求得回歸方程對回歸模型進行檢驗，給定，查表有，計算得，滿足，回歸效果較好。令，計算出臨界值，其它值不變，則有新的結(jié)果。表7-3-2未來10年每年需處理的污水量（2）年份2005年2006年2007年2008年2009年2010年2011年2012年2013年2014年i值111213141516171819200.03030.03170.03310.03450.03590.03720.03860.04000.04140.04280.00760.0090.01040.01180.01320.01450.01590.01730.01870.0201（億噸）75.19589.047102.9116.75130.6143.46157.32171.17185.02198.877.5未來10年污水處理量預測的結(jié)果分析對比分析兩次不同的預測值，二者的不同在于臨界值不同，將兩個不同的值結(jié)合原始數(shù)據(jù)進行分析：若，即當相對排污量大于0.0197時，即需要對污水進行處理，對于1997年和1999年來講，雖然相對排污量大于0.0197，但是IV、V類百分比小于20，劣V類百分比為0，符合要求，不需要進行污水處理，所以認為與實際情況不是很符合；若，觀察原始數(shù)據(jù)，當相對排污量大于0.0227時，IV、V類百分比均大于20，當相對排污量小于0.0227時，IV、V類百分比均小于20，對于劣V類百分比，臨界值恰好出現(xiàn)在百分比不為0的前面附近，這時符合實際情況的?；谏鲜龇治觥？梢哉J為，利用二元線性回歸對污水處理量的預測比較符合實際情況，因此將表7-3-2作為最終預測結(jié)果：表7-4未來十年每年需處理的污水量年份2005年2006年2007年2008年2009年2010年2011年2012年2013年2014年（億噸）75.19589.047102.9116.75130.6143.46157.32171.17185.02198.87在上面對處理的污水量求解中，將污水視為長江流量的一部分，這樣當污水經(jīng)過處理后排入長江，對長江的總流量不會造成影響。8問題（5）：拯救長江還我清秀河山長江是我國第一大河，幾千年來養(yǎng)育了一代又一代的華夏兒女，如果說黃河是母親河的話，那么長江無愧于父親河的稱號。然而，父親一天一天的衰老了：近年來長江的污染日益嚴重。如不及時治理，長江將面臨崩潰，本題對長江水質(zhì)的評價和預測，也充分說明了這一點。一、治理長江，勢在必行在對本題進行分析解決的過程中，我們注意到以下幾個現(xiàn)實：1、長江整體水質(zhì)呈下降趨勢，可飲用水的百分比在未來10年內(nèi)將低于50%；2、廢水排放呈總體上升的趨勢，1995年為174億噸，2004年為285噸，10年期間增加了100多億噸，而長江總流量基本不變。按照這種趨勢，如果不加治理，長江將不堪重負；3、……不用一一列舉了，長江的治理已經(jīng)迫在眉睫!二、治理長江，趕緊行動長江沒有太多的時間來等待治理，長江也沒有太大的能力承受這么多的污染了，對長江的治理與保護必須馬上進行，我們有以下的意見和建議：1、完善法制，治理長江有法可依；加強管理，做到有法必依。長期以來，對于長江的治理不能夠從法律的角度給與強有力的保證，導致治理不能夠堅持進行；對于危害長江的不法活動，打擊力度不夠。因此，要加強依法治江，對那些違法行為，堅決打擊，決不手軟。2、加大檢查力度，注重長期效果。環(huán)保部門和長江治理管理部門應(yīng)該制定嚴格的環(huán)保標準，更重要的是堅持檢查，不僅要擊檢查，更重要的是經(jīng)常檢查，堅持不懈，不給不法分子可乘之機。3、加強對污染源的治理。污染源包括工業(yè)污水和生活污水的排放。對于工業(yè)污染源的治理方法有：減少直排、建造污水處理廠、不同污水中和處理等方法，對于污染嚴重的工廠企業(yè)，堅決關(guān)閉；對于生活污水的治理，要加宣傳力度，培養(yǎng)居民良好的環(huán)保意識生活習慣，比如：避免使用含磷洗衣粉、生活用水的重復利用、污染物的回收處理等。4、加強對長江源頭的治理，長江源頭的水質(zhì)惡化和水量減少，對長江流域的影響巨大，比如在長江源頭植樹造林等；5、興修水利，保護天然水庫——湖泊，建造水庫、大壩。水庫、湖泊對污染物有巨大的凈化能力，在本文對前4個問題的研究過程中也能發(fā)現(xiàn)這一點。因此，建造大的水庫和保護湖泊十分重要，一定禁止圍湖造田等破壞湖泊的行為出現(xiàn)。6、重點區(qū)域重點治理。從上文中可以發(fā)現(xiàn)，四川樂山和江蘇南昌污染比較嚴重，應(yīng)該重點突出，加強治理力度；在問題（2）對污染源的判斷分析中，對污染源所在地域同樣要重點治理。7、建立長江全流域的水質(zhì)監(jiān)控體系，及時快速的了解水質(zhì)的變化，及時制定相應(yīng)的整治措施，這個體系的建立全國人民的通力協(xié)作，包括自覺監(jiān)督、主動服務(wù)等。只有全國人民都認識到治理長江的重要意義，自覺行動起來，這個系統(tǒng)才會真正生效。8、控制人口增長，減輕環(huán)境壓力。從長遠情況來看，人口的增多必然增加資源的壓力，同樣也包括對長江的壓力，因此，控制人口，也是治理長江的一個重要方面。三、全國動員，還我清秀河山總之，對于長江的治理，是一個綜合的問題，包括經(jīng)濟、環(huán)境、人文、文化等多個方面，是一個龐大的工程。對于中國這個人口大國來講，如果不引起全國人民的足夠重視，那么污染永遠大于治理。所以，宣傳是十分重要的，我們要大聲的呼吁：趕快行動吧！還我清秀河山！注：文章的電子稿和文中的程序文件的使用清單見附錄3。參考文獻[1]徐祖信廖振良張錦平，《基于數(shù)學模型的蘇州河上游和支流水質(zhì)對干流水質(zhì)的影響分析》，《水動力學研究與發(fā)展》，A輯第19卷第6期，2004年。[2]傅鸝劉瓊蓀何中市，《數(shù)學實驗》，北京：科學出版社，2003年。[3]梁之舜鄧集賢楊維權(quán)司徒榮鄧永錄，《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》，北京：高等教育出版社，2003年。附錄1：表格表F-2濃度隨時間變化率項()第一段第二段第三段第四段第五段第六段第1月0.333331.51.50.166670.333330第2月20.833331.16670.666672.50第3月032.83330.3333310第4月15.8330.3333300.833330.333330第5月15.3331.51.16670.333330.166670第6月10.16667000.50第7月0.333330.833330.166670.50.333330第8月4.33332.66672.16672.51.33330第9月0.333331.52.83333.33332.50第10月1.50.50.51.16671.66670第11月1.6667000.50.50第12月1.16670.510.50.833330第13月1.16670.510.50.833331.6667表F-1含速度項()第一段第二段第三段第四段第五段第六段第1月14.01110.2471.96861.588626.7170第2月44.1284.61323.651516.2217.3850第3月33.43629.8222.700746.26315.8050第4月35.9824.17262.76351.8447.8660第5月196.023.935942.87222.07364.4230第6月31.11648.3313.870316.75132.450第7月34.566043.6447.00217.0090第8月40.7534.457219.28419.82147.4150第9月76.94643.73624.10626.2668.42930第10月71.61236.65823.39122.4743.68780第11月47.0129.5425.66832.10518.4390第12月30.3625.87823.61534.2150.5760第13月70.5195.82227.57426.0613.7637.4483表F-3未來十年長江水質(zhì)污染發(fā)展預測（3）年份I類百分比II類百分比III類百分比Ⅳ類百分比Ⅴ類百分比劣Ⅴ類百分比112006年18.59630.70617.80412.6166.668313.61122007年11.69515.4438.06512.8567.084514.86132008年9.568719.5334.19613.0967.500816.109142009年7.986116.73636.66713.3357.917117.359152010年3.856829.51926.10713.5758.333318.608162011年4.357225.52127.713.8158.74961