倒易點陣模擬題集

例題2．1體心立方和面心立方點陣的倒易點陣 證明體心立方點陣的倒易點陣是面心立方點陣．反之，面心立方點陣的倒易點陣是體心立方點陣．[證明]選體心立方點陣的初基矢量如圖 1．8所示，a???2a???2xyz2a???a3xyz2其中a是立方晶胞邊長， x?,y?,z?是平行于立方體邊的正交的單位矢量。初基晶胞體積Vca1a2a31a32根據(jù)式(2．1)計算倒易點陣矢量b1222a2a3,b2a3a1,b3a1a2VcVcVc???xyzVcb1aaaa2??2a2a3222xy2aaa222???xyzVcb2aaaa2??2a3a1222yz2aaa222???xyzVcb3a1a2aaaa2??22222zxaaa2221/26于是有：2??2?2?b1xy,b2ayz?,b3az?xa顯然b1,b2,b3正是面心立方點陣的初基矢量，故體心立方點陣的倒易點陣是面心立方點陣，立方晶胞邊長是 4 a．同理，對面心立方點陣寫出初基矢量a??2a??2yz2a??a3xz2如圖1.10所示。初基晶胞體積Vca1a2a31a3。4根據(jù)式(2．1)計算倒易點陣矢量2???2???2???b1xyz,b2axyz,b3axyza顯然，b1,b2,b3正是體心立方點陣的初基矢量， 故面心立方點陣的倒易點陣為體心立方點陣，其立方晶胞邊長是 4 a．2．2(a)證明倒易點陣初基晶胞的體積是32/Vc，這里Vc是晶體點陣初基晶胞的體積；(b) 證明倒易點陣的倒易點陣是晶體點陣自身．[證明](a) 倒易點陣初基晶胞體積為 b1 b2 b3，現(xiàn)計算b1 b2 b3．由式(2．1)知，b2a2a,b2a3a,b2aa21Vc32Vc131Vc此處Vc a1 a2 a3而2/2622b2b32a1a1a22a1a2a1a3a1a1a2a3a3VcVc這里引用了公式：ABCDABDCABCD。由于a3 a1 a1 0，故有22b2b3a3a1a2a1Vc而Vca3a1a2故有22b2b3a1Vc2233b1b2b32a1a22a1b1Vc2a3VcVc或?qū)懗蒪1 b2 b3

32a1 a2 a33倒易點陣初基晶胞體積為晶體點陣初基晶胞體積倒數(shù)的 2 倍。現(xiàn)要證明晶體點陣初基矢量a1,a2,a3滿足關(guān)系a12b2b3,a22b3b1,a3b1b2b1b2b32b1b2b3b1b2b3有前面知：22b2b3a1Vcb2b3221令c122a1b1b2b3Vcb1b2b3又知b1b2b3123，代入上式得：Vc3/263Vcc12a1a13Vc2同理c22b3b1a2b1b2b3b1b2a3c32b1b2b3可見，倒易點陣的倒易點陣正是晶體點陣自身．2．3面間距考慮晶體中一組互相平行的點陣平面(hkl)，(a)證明倒易點陣矢量Ghklhb1kb2lb3垂直于這組平面(hkl)；(b)證明兩個相鄰的點陣平面間的距離d(hkl)為：2dhklhkl證明對初基矢量a1,a2,a3互相正交的晶體點陣，有dhkl

12 2 2h k la1 a2 a3證明對簡單立方點陣有dhklak2l2h2證明(a)參看圖2．3，在平面族(hkl)中，距原點最近的點陣平面ABC在三個晶軸上的截距分別是a1h,a2k,a3l．現(xiàn)要證明G(hkl)垂直于ABC，只需證明G(hkl)垂直于平面ABC上的兩個矢量CA和CB即可．4/26CAa1a3，CBa2a3hlkl用倒易點陣基矢與晶體點陣基矢間的正交關(guān)系式 (2．2)，立即可得GhklCAhb1kb2lb3a1a3hb1a1lb3a30hlhl同理，GhklCB0故G(hkl)垂直于點陣平面(hkl)．點陣平面(hkl)的面間距d(hkl)為a1Ghkla1hb1kb2lb32dhklOAn?GhklhGhklGhklh如果晶體點陣的初基矢量a1,a2,a3彼此正交，則倒易點陣的初基矢量也必然彼此正交．設(shè) b bx?,b by?,b bz?1 1 2 2 3 3由倒易點陣基矢的定義b12a2a32a3a1,b32a2Vc,b2a1VcVc及Vca1a2a得3b12a1,b22a2,b32a3h2k2l2222Ghklhb12222hklkb2lb32a12a22a322a2a3a15/26于是面間距為d21hkl222Ghklhkla1a2a3(d)對立方晶系中的簡單立方點陣，a1a2a3a，用(c)的結(jié)果可得dhklak2l2h22．4二維倒易點陣一個二維晶體點陣由邊長AB＝4，AC=3，夾角BAC3的平行四邊形ABCD重復(fù)而成，試求倒易點陣的初基矢量．[解] 解法之一參看圖2．4，晶體點陣初基矢量為a1 4x?3?33?22用正交關(guān)系式(2．2)求出倒易點陣初基矢量 b1,b2。設(shè)bbx?by?bbx?by?11x1y,22x2y由b1a12,b1a20,b2a10,b2a22得到下面四個方程式???(1)4xb1xxb1yy26/263?33???0(2)x2yb1xxb1yy24x?b2xx?b2yy?0(3)3?33???2(4)x2y2x2y2由式(1)得：4b1x2,b1x2由式(2)得：333b1y0，即33232b1x222b1y0解得：b1y23由式(3)得：4b2x0,b2x0代入式(4)得：332,b2y42b2y33于是得出倒易點陣基矢b1??4?2x2233y3解法之二選取a3為z?方向的單位矢量，即令a3 z?于是初基晶胞體積Vc為4?3?33??63Vca1a2a3xxyz22倒易點陣基矢為b12a323?33????26xyzxyVc322223b22a14?a33yVc37/26b32a2?12zVc對二維點陣，僅取 x?,y?兩個方向，于是得b1??4?x3y,b23y2232．5 簡單六角點陣的倒易點陣 簡單六角點陣的初基矢量可以取為3?a?3?a??a1axa2axa322y2ycz2(a)證明簡單六角點陣的倒易點陣仍為簡單六角點陣，其點陣常數(shù)為2π／c和43a，并且相對于正點陣轉(zhuǎn)動了30角；(b)當(dāng)比率c／a取什么值時，正點陣和倒易點陣的這個比率有相同數(shù)值?如果正點陣的c／a比率取理想值，倒易點陣的這個比率又是多少?(c)繪出簡單六角點陣的第一布里淵區(qū)，并計算其體積．[解](a)選取簡單六角點陣的初基矢量如圖2．5所示．a(chǎn)13?a?3?a??axy,a2axy,a3cz2222初基晶胞體積為8/26Vca3a1a23a2c2倒易點陣初基矢量為???xyzb1223aaa2?2?232223axayVcVc00c2a3a12x?y?z?2x?2y?b200cVcVc3aa3aa022???xyzb32a223aa2?1Vc220zVcc3aa022或?qū)憺??3?4?3?2?b1xx3a223a23cz22同正點陣初基矢量3??3???yay2222比較看出，b1,b2,b3所確定的點陣仍是簡單六角點陣，點陣常數(shù)為2c和4 3a，并相對于正點陣?yán)@ c轉(zhuǎn)動了30角(見圖2．6)。9/26(b)設(shè)倒易點陣的點陣常數(shù)比為ca，出(a)可知24a3ca3ac2c若caca，則有c2a23,ca30.93122故當(dāng)正點陣的ca值為3時，倒易點陣的ca和正點陣的ca有相同值。2若正點陣c／a＝8，則倒易點陣的ca為3ca3ac0.532故當(dāng)正點陣的c／a為理想值時，倒易點陣的這個比值為0.53．(c)簡單六角點陣的第一布里淵區(qū)即倒易簡單六角點陣的 W—S晶胞．顯然為一六角正棱柱(如圖2．7)，其體積為23316Vc3a2c即倒易簡單六角點陣初基晶胞的體積為163b1 b2 b3 3a2c10/262．6 底心正交點陣的倒易點陣 證明底心正交點陣的倒易點陣仍為底心正交點陣．[證明]底心正交點陣的慣用晶胞如圖 2．8所示．選取初基矢量為?,1?1?,?a1axa22ax2bya3cz初基晶胞體積為abcVc2倒易點陣基矢為b2aa1x?1y?b2aa4y?b2aa22z?bcVcaVcbVc由圖2．9可以看出，這組基矢所確定的仍是一底心正交點陣，點陣常數(shù)為4a,4b,2c。2．7三角點陣的倒易點陣 三角點陣初基矢量具有相等長度 a，彼此夾角為θ，試證明三角點陣的倒易點陣仍為三角點陣， 且倒易點陣初基矢量的長度為a。a212a12coscos其中是倒易點陣初基矢量間的夾角，滿足11/26*-cosθ＝cosθ／(1+cosθ)[證明]三角點陣三個初基矢量的大小相等，且彼此夾角亦相等．現(xiàn)令初基矢量為a1?axa2acos?asin?(1)xya3acos?acos?acos?xyz參見圖2.10，cos,cos,cos是a3在x、y、z三個方向的方向余弦。由a3a1cosa2得coscos(2)由a3a2cosa2得cos1cos(3)cossin于是有cos21212cos[1cos2cos2]12cos(4)1sin212/26由倒易點陣基矢的定義可知 b1,b2,b3分別垂直于正點陣初基晶胞的a2a3,a3a1,a1a2平面，且有相同長度，b1b2b3baa2a2sin(5)Vc將3Vcaaaaaasiancos(6)123312代入上式得a2a2sin21(7)a3sincosacosb1,b2,b3彼此間應(yīng)有相間夾角．設(shè)b1,b2間的夾角為，cosb1b2a2122cosa2a3a3a1a2Vc利用公式ABCBCACABABCCABABC上式化為cosa2a3a3a1a2a3a3a1a22a1a3cos42421cosasinasin(8)同理可以證明b1,b2,b3任意二矢量間的夾角均為此值。為了計算a，利用式(4)得到21cos212212cos1cos2cos12cos12sin212coscos1cos代入式(7)得212coscos12(9)aa13/262.8點陣平面上的陣點密度(a)證明點陣平面上的陣點密度（單位面積上的陣點數(shù)） dVc，這里Vc是初基晶胞的體積，d是該點陣平面所屬的平面族中相鄰兩點陣平面之間的距離；證明面心立方點陣陣點密度最大的平面是{111}面，體心立方點陣陣點密度最大的平面是{110}面．[證明]考慮晶體點陣中相鄰二平行點陣平面所構(gòu)成的平行六面體，如圖2．11所示．設(shè)該平行六面體中包含 n個陣點，它的體積為V nVc或?qū)憺閂 Ad其中A是所考慮的平行六面體底面的面積， d是它的高．由以上二式得Ad nVc于是點陣平面上的密度為dAVc由(a)可知，面間距d較大的點陣平面也有較大的陣點密度．由倒易點陣矢量與面間距d的關(guān)系Ghkl

2dhkl可知，倒易點陣矢量 G(hkl)越短，與之垂直的點陣平面 (hkl)兩點密度也就越大．面心立方點陣的倒易點陣是體心立方點陣，其初基矢量2x?y?z?b1a2??z?b2xya2???b3xyza都是最短的倒易點陣矢量，b1b2b3，并都在立方晶胞的<111>方向，故{111}14/26平面有最大的陣點密度．體心立方點陣的倒易點陣是面心立方點陣，其初基矢量b12??axyb22??ayzb32??axz也都是最短的倒易點陣矢量，并都沿立方晶胞的＜110＞方向，故{110}平面是體心立方點陣陣點密度最大的平面．2．9 單斜點陣的面間距 已知平面族(hkl)的面間距與倒易點陣矢量 G(hkl)間的關(guān)系為dhkl2Ghkl其中Ghklhb1kb2lb3，試證明單斜點陣的面間距d(hkl)由下式?jīng)Q定11h2l22hlcosk2d2hklsin2a12a32a1a3a22其中a1,a2,a3是單斜點陣慣用晶胞的三個邊長，為a1,a3間的夾角，90（參看圖2.12）證明：單斜點陣慣用晶腦的幾何特征是90, 90,a1 a2 a3初基晶胞的體積為Vc a2 a3 a1 a1a2a3sin15/26(hkl)平面族的面間距為dhkl

2Ghkl要計算d(hkl)，除了計算各倒易點陣基矢的長度外，還要求出它們之間的標(biāo)量積，由倒易點陣基矢的定義2a2a32b1Vca1sin2a3a12b2Vca22a1a22b3Vca3sin此外，有b3b142a1a2a2a342a1a2a2a342cosVc2Vc2a1a3sin2b1b2b2b30代入d(hkl)的表達(dá)式中得4242h2l21k2d2hklsin22hlcosa12a32a1a3a2211h2l22hlcosk2d2hklsin2a2a2aaa2131322．10 外斯晶帶定律 屬于同一晶帶的晶面彼此的交線相互平行，這些平行的晶棱的共同方向稱為晶帶軸的方向，試證明，晶帶軸[uvw]與該晶帶中的平面(hkl)滿足關(guān)系uh vk wl 0證明晶面(h1k1l1)，(h2k2l2)，(h3k3l3)屬于同一晶帶的條件是h1 k1 l1h2 k2 l2 0h3 k3 l316/26證明以晶面指數(shù)(hkl)為指數(shù)的倒易點陣矢量G(hkl)是與晶面垂直的最短倒易點陣矢量，于是Ghklhb2kb3lb1必定在晶面(hkl)法線方向．而晶帶軸[uvw]的方向矢量為Rua1va2wa3.既然晶帶軸是以晶帶中互相平行的交線為方向， 帶軸和屬于該晶帶的晶面總是相互平行的，于是行R G hkl0用晶體點陣和倒易點陣基矢間的正交關(guān)系0,ijaibj2ijj2,i直接可得uh vk wl 0(b)既然h1k1l1,h2k2l2,h3k3l3屬于同一晶帶，由(a)有uh1vk1wl10uh2vk2wl20uh3vk3wl30由于u,v,w不同時為零，上述方程組的系數(shù)行列式必定為零，即h1 k1 l1h2 k2 l2 0h3 k3 l32．11一個單胞的尺寸為a14,a26,a38,a90,120，試求：(a)倒易點陣單胞基矢；(b)倒易點陣單胞體積；(c)(210)平面的面間距；(d)此類平面反射的布喇格角 (己知λ＝1．54?)．[解](a)畫出此單胞如圖 2．13所示． 寫出晶體點陣單胞基矢如下：17/26a1????4x,