湘教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)思想方法專題：直角三角形中的思想方法

小學(xué)教育復(fù)習(xí)系列資料小學(xué)教育復(fù)習(xí)系列資料小學(xué)教育復(fù)習(xí)系列資料思想方法專題：直角三角形中的思想方法——找準(zhǔn)方法，快準(zhǔn)解題eq\a\vs4\al(◆)類型一方程思想一、利用方程思想求角度1．如果直角三角形的一個(gè)銳角是另一個(gè)銳角的4倍，那么這個(gè)直角三角形中一個(gè)銳角的度數(shù)是()A．9°B．18°C．27°D．36°2．如圖，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC邊上的高，則∠DBC＝________°.第2題圖第3題圖第4題圖二、結(jié)合勾股定理利用方程思想進(jìn)行計(jì)算3．如圖，在△ABC中，CD⊥AB于D，若AD∶BD＝5∶2，AC＝17，BC＝10，則BD的長(zhǎng)為()A．4B．5C．6D．84．如圖，有一直角三角形紙片，兩直角邊AC＝6cm，BC＝8cm，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且點(diǎn)C落到E點(diǎn)，則CD的長(zhǎng)度為()A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm5．如圖，小剛準(zhǔn)備測(cè)量一條河的深度，他把一根竹竿垂直插到離岸邊1.5米遠(yuǎn)的水底(不計(jì)淤泥深度)，竹竿高出水面0.5米，再把竹竿的頂端拉向岸邊，竿頂和岸邊的水面剛好相齊．求河水的深度．eq\a\vs4\al(◆)類型二分類討論在勾股定理中的應(yīng)用一、直角邊與斜邊不明時(shí)需分類討論6．(湘潭縣期末)若一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為2，4，則第三邊長(zhǎng)為____________．【易錯(cuò)1】二、三角形形狀不明時(shí)需分類討論(分鈍角三角形和銳角三角形)7．★在△ABC中，AB＝13cm，AC＝20cm，BC邊上的高為12cm，則△ABC的面積為________cm2.【易錯(cuò)2】【變式題】一般三角形→等腰三角形等腰三角形的腰長(zhǎng)為5，一腰上的高為3，則這個(gè)等腰三角形底邊長(zhǎng)的平方為____________．三、等腰三角形腰和底不明時(shí)需分類討論8．有一塊直角三角形的綠地，量得BC，AC兩直角邊長(zhǎng)分別為6m，8m.現(xiàn)在要將綠地?cái)U(kuò)充成等腰三角形，且要求擴(kuò)充的綠地部分是以AC為直角邊的直角三角形ACD，求擴(kuò)充后綠地所構(gòu)成等腰三角形ABD的周長(zhǎng)．eq\a\vs4\al(◆)類型三利用轉(zhuǎn)化思想結(jié)合勾股定理求最短距離9．(武岡市期中)如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為20dm，3dm，2dm.A和B是這個(gè)臺(tái)階上兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，點(diǎn)A處有一只螞蟻，想到點(diǎn)B處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬行到點(diǎn)B的最短路程為________．參考答案與解析1．B2.183．C解析：設(shè)BD＝2x，則AD＝5x.在Rt△ACD與Rt△BCD中，AC2－AD2＝BC2－BD2，即172－(5x)2＝102－(2x)2，解得x＝3，∴BD＝6.故選C.4．B解析：由題意可知AE＝AC＝6cm，CD＝ED，ED⊥AB.在Rt△ACB中，AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(62＋82)＝10(cm)，∴BE＝10－6＝4(cm)．設(shè)CD＝DE＝xcm，則BD＝(8－x)cm.在Rt△BDE中，DE2＋BE2＝BD2，即x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3，即CD＝3cm.故選B.5．解：設(shè)河水的深度為x米，由題意得x2＋1.52＝(x＋0.5)2，解得x＝2.答：河水的深度為2米．6．2eq\r(3)或2eq\r(5)7．126或66解析：當(dāng)∠B為銳角時(shí)，如圖①，在Rt△ABD中，BD＝eq\r(AB2－AD2)＝eq\r(132－122)＝5(cm)．在Rt△ADC中，CD＝eq\r(AC2－AD2)＝eq\r(202－122)＝16(cm)．∴BC＝BD＋CD＝5＋16＝21(cm)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)·BC·AD＝eq\f(1,2)×21×12＝126(cm2)；當(dāng)∠B為鈍角時(shí)，如圖②，同理求出BD＝5cm，CD＝16cm.∴BC＝CD－BD＝16－5＝11(cm)．∴S△ABC＝eq\f(1,2)·BC·AD＝eq\f(1,2)×11×12＝66(cm2)．故答案為126或66.【變式題】90或10解析：分兩種情況討論：①當(dāng)?shù)妊切螢殇J角三角形時(shí)，可求得底邊長(zhǎng)的平方為10；②當(dāng)?shù)妊切螢殁g角三角形時(shí)，可求得底邊長(zhǎng)的平方為90.8．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8m，BC＝6m，由勾股定理得AB＝10m.應(yīng)分以下三種情況：(1)如圖①，當(dāng)AB＝AD＝10m時(shí)，∵AC⊥BD，∴CD＝CB＝6m，∴△ABD的周長(zhǎng)為10＋10＋2×6＝32(m)；(2)如圖②，當(dāng)AB＝BD＝10m時(shí)，∵BC＝6m，∴DC＝BD－BC＝4m，∴AD＝eq\r(AC2＋CD2)＝eq\r(82＋42)＝4eq\r(5)(m)，∴△ABD的周長(zhǎng)為10＋10＋4eq\r(5)＝(20＋4eq\r(5))(m)；(3)如圖③，當(dāng)AB為底時(shí)，設(shè)AD＝BD＝xm，則CD＝(x－6)m，由勾股定理得AD2＝AC2＋CD2，即x2＝82＋(x－6)2，解得x＝eq\f(25,3)，∴△ABD的周長(zhǎng)為AD＋BD＋AB＝eq\f(25,3)＋eq\f(25,3)＋10＝eq\f(80,3)(m)．綜上所述，擴(kuò)充后綠地所構(gòu)成的等腰三角形ABD的周長(zhǎng)為32m或(20＋4eq\r(,5))m或eq\f(80,3)m.9．25dm解析：三級(jí)臺(tái)階平面展開圖為長(zhǎng)方形(如圖)