傅里葉變換本質(zhì)及其公式解析

傅里葉變換本質(zhì)及其公式解析傅里葉變換的本質(zhì)傅里葉變換的公式為可以把傅里葉變換也成另外一種形式：可以看出，傅里葉變換的本質(zhì)是內(nèi)積，三角函數(shù)是完備的正交函數(shù)集，不同頻率的三角函數(shù)的之間的內(nèi)積為0，只有頻率相等的三角函數(shù)做內(nèi)積時，才不為0。下面從公式解釋下傅里葉變換的意義因為傅里葉變換的本質(zhì)是內(nèi)積，所以f(t)和求內(nèi)積的時候，只有f(t)中頻率為的分量才會有內(nèi)積的結(jié)果，其余分量的內(nèi)積為0。可以理解為f(t)在上的投影，積分值是時間從負(fù)無窮到正無窮的積分，就是把信號每個時間在的分量疊加起來，可以理解為f(t)在上的投影的疊加，疊加的結(jié)果就是頻率為的分量，也就形成了頻譜。傅里葉逆變換的公式為下面從公式分析下傅里葉逆變換的意義傅里葉逆變換就是傅里葉變換的逆過程，在和求內(nèi)積的時候，只有t時刻的分量內(nèi)積才會有結(jié)果，其余時間分量內(nèi)積結(jié)果為0，同樣積分值是頻率從負(fù)無窮到正無窮的積分，就是把信號在每個頻率在t時刻上的分量疊加起來，疊加的結(jié)果就是f(t)在t時刻的值，這就回到了我們觀察信號最初的時域。對一個信號做傅里葉變換，然后直接做逆變換，這樣做是沒有意義的，在傅里葉變換和傅里葉逆變換之間有一個濾波的過程。將不要的頻率分量給濾除掉，然后再做逆變換，就得到了想要的信號。比如信號中摻雜著噪聲信號，可以通過濾波器將噪聲信號的頻率給去除，再做傅里葉逆變換，就得到了沒有噪聲的信號。優(yōu)點：頻率的定位很好，通過對信號的頻率分辨率很好，可以清晰的得到信號所包含的頻率成分，也就是頻譜。缺點：因為頻譜是時間從負(fù)無窮到正無窮的疊加，所以，知道某一頻率，不能判斷，該頻率的時間定位。不能判斷某一時間段的頻率成分。例子：平穩(wěn)信號：x(t)=cos(2*pi*5*t)+cos(2*pi*10*t)+cos(2*pi*20*t)+cos(2*pi*50*t)傅里葉變換的結(jié)果：由于信號是平穩(wěn)信號，每處的頻率都相等，所以看不到傅里葉變換的缺點。對于非平穩(wěn)信號：信號是余弦信號，仍然有四個頻率分量傅里葉變換的結(jié)果：由上圖看出知道某一頻率，不能判斷，該頻率的時間定位。不能判斷某一時間段的頻率成分。短時傅里葉變換傅里葉變換存在著嚴(yán)重的缺點，就是不能實現(xiàn)時頻聯(lián)合分析。傅里葉變換要從負(fù)無窮計算到正無窮，這在實際使用當(dāng)中，跟即時性分析會有很大的矛盾。根據(jù)這一缺點，提出了短時傅里葉變換。后來的時間—頻率分析也是以短時傅里葉變換為基礎(chǔ)提出的。為了彌補傅里葉變換的缺陷，給信號加上一個窗函數(shù)，對信號加窗后計算加窗后函數(shù)的傅里葉變換，加窗后得到時間附近的很小時間上的局部譜，窗函數(shù)可以根據(jù)時間的位置變化在整個時間軸上平移，利用窗函數(shù)可以得到任意位置附近的時間段頻譜，實現(xiàn)了時間局域化。短時傅里葉變換的公式為：在時域用窗函數(shù)去截信號，對截下來的局部信號作傅立葉變換，即在t時刻得該段信號得傅立葉變換，不斷地移動t，也即不斷地移動窗函數(shù)的中心位置，即可得到不同時刻的傅立葉變換，這樣就得到了時間—頻率分析。短時傅里葉變換的本質(zhì)和傅里葉變換一樣都是內(nèi)積，只不過用代替了，實現(xiàn)了局部信號的頻譜分析。短時傅里葉變換的另一種形式：該式子表明在時域里加窗函數(shù)，得出在頻域里對加窗。優(yōu)點：在傅里葉變換的基礎(chǔ)上，增加了窗函數(shù)，就實現(xiàn)了時間—頻率分析。缺點：短時傅里葉變換使用一個固定的窗函數(shù)，窗函數(shù)一旦確定了以后，其形狀就不再發(fā)生改變，短時傅里葉變換的分辨率也就確定了。如果要改變分辨率，則需要重新選擇窗函數(shù)。短時傅里葉變換用來分析分段平穩(wěn)信號或者近似平穩(wěn)信號猶可，但是對于非平穩(wěn)信號，當(dāng)信號變化劇烈時，要求窗函數(shù)有較高的時間分辨率；而波形變化比較平緩的時刻，主要是低頻信號，則要求窗函數(shù)有較高的頻率分辨率。短時傅里葉變換不能兼顧頻率與時間分辨率的需求。測不準(zhǔn)原理告訴我們，不可能在時間和頻率兩個空間同時以任意精度逼近被測信號，因此就必須在信號的分析上對時間或者頻率的精度做取舍。短時傅里葉變換受到測不準(zhǔn)原理的限制，所以短時傅里葉變換窗函數(shù)的時間與頻率分辨率不能同時達到最優(yōu)。在實際使用時，根據(jù)實際情況選用合適的窗函數(shù)。例子：原始信號:信號是余弦信號，有四個頻率分量.當(dāng)窗函數(shù)選為：時，短時傅里葉變換為：由上圖可以看出，時域的分辨率比較好，但是頻率出現(xiàn)一定寬